數學的形象

neverspeak 發佈 2022-05-18T04:06:07.169664+00:00

哲學曾被認為就是濫用術語,而術語就是為此目的編造出來的,那麼數學好比精巧地操作概念和規則,概念和規則就是為此目的而創造出來的。

哲學曾被認為就是濫用術語,而術語就是為此目的編造出來的,那麼數學好比精巧地操作概念和規則,概念和規則就是為此目的而創造出來的。如果數學中的定理必須靠公理中所蘊涵的已有概念來建立,那麼數學中有趣的定理很快就會枯竭,而超越公理範圍之外的概念,是按照允許進行邏輯運算的目的定義出來的,無論其運算還是結果的普遍性和簡單性,都訴諸於我們的審美意識。一位信奉柏拉圖哲學的數學家會認為,概念並非數學家發明的,而是由數學家的直覺對數學實在的感知,而直接在腦中反應出來的,是一種對數學實在的發現。數學家在對這些概念的定義上施展的精巧有趣的設想,總是近乎毫不留情地利用了種種允許的推理,並繞過不允許的推理,然而不顧一切的推理並沒有陷入自相矛盾的泥潭,這本身就是一大奇蹟。

雖然世界錯綜複雜,我們確能發現某些事件的確定規則,有一種規則是在相同高度同時下落的兩塊石頭,它們同時到達地面,這條規則已被公認具有不變性的性質。也就是說,一個重物從一個給定的高度下落所需時間與下落物體的大小、材料、形狀無關。我們利用數學來計算自然規律引出的結果,把有條件的陳述,運用到恰好使我們感興趣的特殊情況中,自然規律必須已經用數學語言加以表述。牛頓把自由落體定律與月亮的運行聯繫起來,他注意到地球上拋物體的拋物線路徑,和天空中月亮的圓形路徑都是同一數學對象橢圓的特例,並根據在當時看也是近似的數值方面相符的結果,提出了萬有引力定律,從經驗上講這個定律所依據的觀測極為不足。牛頓勉強建立起來的他自己證實只有4%精確性的萬有引力定律,現在已被證明其精度高於百萬分之一。

數學自明的概念、抽象的推理、確定的結論,贏得了哲學最持久的仰慕,哲學真理要立得住就有必要達到數學真理的層次,宏大而複雜的哲學主題,加上不由人不信服的邏輯構成一個論斷系統,它所斷言的都是真理,同時一切可能的真理也無不蘊含其中。歷史表明,自然科學長期停滯不前,哲學一直風雨飄搖,惟有數學真正在歐幾里得《幾何原本》中成熟起來。該書按邏輯規則勾織了一張不由分說的命題之網。為數很少的初始原則幾乎無一例外地具有自明性,但卻能演繹出極其豐富可靠的命題。此種以簡馭繁、一致而百慮的效能給哲學提供了一個可望且似乎可及的榜樣。

中世紀神學前期以柏拉圖主義為支柱,後期以亞里士多德主義為權威,奧古斯丁仍把在畢達哥拉斯和柏拉圖哲學中優先的數學揉進神學。斯賓諾莎把《倫理學》加工成了《幾何原本》的模樣,不過有兩個嚴重缺陷,它的界說和公則遠不像點、線、面那樣顯明,而不甚明晰的概念對於嚴格可靠的演繹來說是無窮隱患;為使「證明」可理解非用日常語言來修修補補不可,這表明所謂證明根本不夠嚴謹。康德把數學真理以先天綜合判斷的形式提升為「先驗真理」,並以此勘測形上學作為科學是否可能,他在主體先驗能力的範圍內,擬定了一套範疇演繹體系,想達到的依舊是數學般不可抗拒的嚴密性與可靠性,徹底地把對確定性與完備性的尋求,埋入哲學活動的心臟。分析哲學慣於這樣來從事哲學:如果有什麼論斷引起迷惑或爭議,就把它翻譯成標準的邏輯表達式,使用真值表機械地指出所提問題的非正當性而取消之。

在《純粹理性批判》問世前後,一些數學家已從證明平行公理的徒勞中領會到,它作為公理可能只是基於經驗歸納並非自明真理。此後近一個世紀的推敲使非歐幾何成長起來,當非歐幾何的一類在相對論中得到物理解釋之後,歐氏幾何更露出其經驗性。任何數學形式系統其一致性,不能通過預製的若干公理在系統內部得到證明,一個適當豐富的無矛盾形式系統,可以構造至少一個數學命題,其真偽不能在這個系統內得到判定,於是數學陷於出自不同基礎假設的學派紛爭。林林總總的知識其源泉不盡相同,這些源泉不可能被邏輯反思完全同化或翻譯,因而靠邏輯整理而自覺到的知識基礎,總比實際產生知識的土壤更貧乏更狹隘。這提醒我們,在實際生活中的生長運作的真理是一回事,從若干抽象條件去邏輯地構建完備真理又是另一回事。

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看得出我快五十了嗎?

2021-05-12T07:26:26.812663+00:00

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