2021年浙江杭州的這道中考關於圓的綜合問題，還是蠻有個性的。第一小題很有創意，題型不算新，但在圓中看到這樣的列表法求函數解析式的情形，還是比較少見的。只要能適應，就是送分題。第二小題就比較燒腦。如果借用老教材的「割線定理」，就會比較容易解決。
如圖，△ABC內接於⊙O，點C在劣弧AB上(不與點A,B重合)，點D為弦BC的中點，DE⊥BC，DE與AC的延長線交於點E，射線AO與射線EB交於點F，與⊙O交於點G，設∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ.
(1)點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數據：
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α |
30度 |
40度 |
50度 |
60度 |
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β |
120度 |
130度 |
140度 |
150度 |
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γ |
150度 |
140度 |
130度 |
120度 |
猜測： β關於α的函數表達式， γ關於α的函數表達式，並給出證明；
(2)假設γ=135⁰，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長.
解：(1)猜想： β=α+90度, γ=180度-α. 理由如下：【說是猜想，其實已經在草稿紙上畫出來了，八九不離十】
連接CG, 則∠ACG=90度, ∠BCG=∠GAB,【由於作輔助線之後，兩個圖形過於相似，所以這裡先不提供，以防系統誤判圖形重複】
∠ACB=∠ACG+∠BCG=90度+∠GAB, 即β=α+90度；
∵DE⊥BC, CG⊥AE, ∴∠BCG=∠CED=α, 【這是「兩邊互相垂直的兩個銳角相等」定理的應用。也可以由「直角三角形斜邊上的高將直角三角形分成與原三角形相似的兩個直角三角形」推出這對角相等的關係，後者會比較麻煩，使得解題過程非常繁瑣，前者就很簡便，但前面這個定理，會用的考生可能不多。學了老黃的解題過程，以後就會用了】
又點D為弦BC的中點，∴∠BEC=2∠CED=2α,【這是等腰三角形底邊「三線合一」的靈活應用】
γ=∠EAG+∠EBA=∠GAB+∠BAE+∠EBA=∠BAE+∠EBA+α
=∠BAE+∠EBA+2α-α=∠BAE+∠EBA+∠BEC-α=180⁰-α.
(2)當γ=135⁰時, α=180⁰-β=45⁰，∠BEC=2α=90⁰,【可以看到原圖非常不準確。圖形不準確往往對解題有比較大的影響。但是這裡想畫準確的圖形，很困難，而且畫出來的圖看著會叫人難受，如下圖。像這樣的圖，在考場上畫出來，很不划算。】
△BCE是等腰直角三角形, BE=CE=根號2CD=3根號2,
∵S△ABE=4S△ABC, ∴AE=4AC，∴AC=CE/3=根號2，【接下來運用割線定理，就可以輕鬆很多，由於割線定理沒有出現在當前的教材里，所以要註明一下，就可以了。】
記OE交⊙O於點H，HE=x，則x(x+2r)=CE(CE+AC)=24(割線定理),【如果不用割線定理，就相當於要證明一次割線定理。割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等】
即x^2+2rx=24,
連接OC，
在Rt△OCD中，CD^2=OD^2+CD^2=(OF+EF-ED)^2+CD^2=(OF+EF-CD)^2+CD^2，
即r^2=(r+x-3)^2+9=r^2+x^2+9+2rx-6r-6x+9, 【事實上，這裡已經得到了一個關於x,r的二元方程組，可以直接解出r的值了】
∴x^2+2rx-6r-6x+18=42-6r-6x=0, r+x=7, r^2=42+9=25,
解得r=5或r=-5(捨去), ∴⊙O半徑的長為5.
怎麼樣？割線定理是不是很好用啊？