主題：用窮舉法理解「三門問題」，笨辦法有時候也是好辦法
目標：講清楚三門問題；刻意練習：教程：細緻完整
目標讀者：所有人
這兩天被「三門問題」折磨得茶飯不思，今天可算是把它想清楚了，來跟大家分享一下成果。
首先，解釋一下三門問題的由來，它來自於美國一個電視節目裡的遊戲。
遊戲規則如下，分別有2隻羊和一輛車藏在3扇門的後面，玩家如果能選中有車的門，就可以把車開回家。
首先，玩家要在A、B、C三扇門裡選擇一扇。然後，主持人會在另外兩扇沒有被選擇的門裡，選擇一扇有羊的門打開，相當於排除了一個錯誤答案。
然後主持人問玩家，要不要把選擇換成另一扇門？
如果是你，你會選擇換還是不換呢？
從直覺來看，每一扇門的概率都是1/3，所以換不換都一樣，概率是一樣的。但是正確的答案非常反直覺，換要比不換贏的概率增加了兩倍，也就是換門之後贏的概率是2/3。
我雖然很早就知道了這個答案，但我一直都沒有想通。
後來有看到老師給這個問題做了延伸，即假設3扇門變成了100扇門，主持人會在你第一次選擇後，打開98扇，這時候換還是不換？
如果是這樣的話，肯定會選擇換，因為第一次選擇就從100個裡面挑中那個有車的門的概率是很低的，肯定是剩的那扇門是對的的機率更大。
但即便是做了這樣的延伸，我也只是在理論上認可了這個答案，內心深處總是不能夠百分百地接受。
還有通過貝葉斯公式算出來的答案也是一樣的結果，但公式雖然能得出答案，但不能幫助理解原因。
所以，我們準備來使用窮舉法來討論這個問題，笨人笨辦法，簡單直接。
首先，我們假設玩家初選A，然後車分別在ABC三個門後面：
然後在第①種情況下，主持人可能會開B門，也可能會開C門；在第②種情況下，主持人只可能會開C門;
在第③種情況下，主持人只可能會開B門。
如下圖所示：
再計算換與不換的結果：
得出結果：換和不換各占1/2，所以換不換都行。
但這是有問題的，因為車在三個門的概率是一樣的，都是1/3，把主持人開哪個門加上的話，車在A門後面的概率就變成1/2了。
所以最上面兩種情況都只占了1/2，它們倆加一起，才完整地代表了車在A們後面的情況。
從圖上也可以看出，當初選就選對的情況下，之後無論主持人開哪扇門並不影響最後的結果（從計算的角度：分別乘以1/2，再相加，相當於乘2，結果不變）。所以，主持人開門這一欄可以直接去掉了。
然後迎來我們最終的結果：
可以看到換門贏的概率是6/9，也就是2/3；不換門贏的概率是3/9，也就是1/3。
我突然醒悟過來，可以用一個更簡單的邏輯來思考這個問題。如果我們不換，堅定自己的選擇，那第一次就選中，贏的概率是1/3，這件事應該沒什麼爭議。
那麼不換輸的概率就是1-1/3=2/3。不換輸的概率=換門贏的概率=2/3。
加了主持人反而讓我們陷入了思維陷阱，而實際上主持人沒有什麼用，計算的時候都可以忽略他。
而很多我們的思維錯誤的來源都來自於，相信主持人兩個門裡開一個也是1/2的獨立隨機事件。
但實際上並不是的，這是一個條件概率事件，主持人開哪個門是受到我們初選門影響的，他一定不會去開那扇有車的門。
只有當主持人自己也不知道門裡都有什麼才是獨立的隨機事件。
所以，一定要算的話,也會是下面這樣：
假設我們初選了A，主持人會開B門的概率為：如果車在A門，概率為1/2，即1/3*1/2=1/6；
如果車在B門，概率為0，即1/3*0=0;
如果車在C門，概率為1，即1/3*1=1/3。
顯而易見地，主持人開哪扇門並不是一個等概率事件，這也就進一步地影響了我們的結果。
今天總算是把三門問題給想清楚了，了卻心中一件大事。希望我的文章也能幫助你釐清這個問題。
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參考文獻：
[1] 吳軍.第193封信|為什麼要聽取可信度高的建議？《矽谷來信2·谷歌方法論》：得到app
[2] 劉嘉.不同概率學派的爭論《劉嘉概率論通識講義》：得到app
[3] bugxch.三門問題精解［dive into think］.
https://www.cnblogs.com/bugxch/p/16177280.html，2022-04-22
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