《張朝陽的物理課》介紹電動力學與相對論的關係

搜狐科技 發佈 2022-09-27T15:24:18.536669+00:00

狹義相對論的四維語言是怎樣的?電動力學與狹義相對論具有怎樣的關係?夏天的時候白車比黑車更節能?

狹義相對論的四維語言是怎樣的?電動力學與狹義相對論具有怎樣的關係?夏天的時候白車比黑車更節能?9月25日12時,《張朝陽的物理課》線下第九課開播,搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽介紹了為什麼麥克斯韋的電磁理論與牛頓時空觀矛盾,從而介紹起狹義相對論的四維形式,並推導了電磁勢所滿足的方程以及得到了推遲勢解。期間,張朝陽還介紹了在夏天的時候,白車比黑車更節能的物理原理。

麥克斯韋理論隱含光速不變 時空轉動導致洛倫茲變換

課程開始,張朝陽直接從麥克斯韋方程組入手:

考慮真空的情況,也就是沒有電流與電荷的情況,對第二式求旋度:

上式最左邊可以寫為:

藉助磁感應強度的散度,上面倒數第二式的最右邊可以寫為:

於是得到:

這就是電磁波電場部分的波動方程。可見,如果麥克斯韋電磁理論在所有慣性系都成立的話,那麼每個慣性系上的光速都是c,這是違背伽利略時空觀的。

事實上,假如伽利略時空觀是正確的話,那麼時間與空間獨立,如果假設與速度垂直的方向的度量不受速度變換影響,那麼根據勾股定理,可以從一個速度v得到一個更大的速度u,而且u甚至可以是v的常數倍。也就是說,在伽利略時空觀下不存在速度上限。

現代物理已經證明,速度上限是存在的,這個上限就是真空光速c。真空光速在任何慣性系下都具有相等的值。這就是狹義相對論中的光速不變假設。

伽利略時空觀不是正確的,這就導致相應的伽利略變換是不對的,那么正確的慣性系變換是怎樣的呢?

張朝陽先考慮了空間中的定軸轉動,可知,如下的量不隨轉動而改變:

這個量就是轉動的不變量。

假設在轉動前,(x,y)寫成極坐標形式為:

那麼在位置矢量繞z軸轉動角度Ф(相當於坐標架反方向轉動相同角度)後到達的位置為:

這個結果可以表示成矩陣形式:

在慣性系的變換下,有沒有類似的不變量呢?是有的。假設在t=0時刻S』系與S系的坐標軸原點重合,S』系的y』軸、z』軸分別與S系的y軸、z軸重合,S』系相對於S系以速度v勻速向x正方向運動,張朝陽通過光速不變證明了-(ct)^2+x^2在參考系變換下不變。為了將它表示成與三維空間中的R^2類似的形式,張朝陽引入了虛數i:

這個量在S』系與S系之間的變換是不變的,因此,這個變換很必然是「虛時空」中的旋轉變換。類比前面的空間極坐標可以得到:

假設從S繫到S』系,「虛時空」經過了角度Ф』的旋轉, 張朝陽介紹說,角度θ』與Ф』是個虛數,和實角度的關係為θ』=iθ,Ф』=iФ。將其代入,藉助三角函數與雙曲函數的關係,類似前面的推導過程,可以得到:

這就是S繫到S』系的變換公式,不過,角度Ф還需要和速度v聯繫起來才行。為此,考慮S』系的坐標原點,有:

所以:

在這些量代入變換式,得到:

這正是大名鼎鼎的洛倫茲變換。

引入電磁勢 求解達朗貝爾方程

介紹完洛倫茲變換,張朝陽開始講解怎麼求解麥克斯韋方程組。首先,因為磁感應強度的散度等於0,根據亥姆霍茲定理可以知道B一定等於某個矢量場A的旋度。將這個關係代入電場的旋度公式中消掉B可得:

可見,存在一個標量場Ф,它的梯度的負一倍等於上式括號中的量,寫成公式就是:

這裡的A與Ф就被稱為電磁勢。

由於從電磁勢到電場、磁場需要經過求導,因此電磁勢不是唯一確定的。事實上,如果電磁勢作如下的變換:

那麼電場、磁場並不會改變。上式的變換被稱為規範變換。

雖然電磁勢存在規範自由度,但是可以通過引入一些約束條件使得電磁勢能夠最大程度地被確定下來。比如,常有的約束條件有洛倫茲規範條件:

張朝陽簡單證明了洛倫茲規範總是可以被滿足的。

在洛倫茲規範下,電磁勢的方程可以寫成非常對稱的形式。為了得到電磁勢的方程,張朝陽將E用電磁勢表示,然後代入電場的散度公式中得到:

上式的推導過程中使用了洛倫茲規範條件。移項可以得到:

同樣可以得到矢量勢滿足的方程為:

上述關於電磁勢滿足的方程稱為達朗貝爾方程。

可見,標量勢與矢量勢滿足的方程是類似的,只要求得標量勢的解,相應也能得到矢量勢的解。而且,這兩個方程都是線性方程,因此可以先對某個點電荷求出它的標量勢,然後藉助疊加原理就可以得到總的標量勢解。為此,張朝陽考慮了如下方程:

這個方程是球對稱的,因此可以認為Ф只與r和t有關。除了原點之外,這個方程等式右邊都等於零,藉助球坐標,可以寫為:

通過一些推導,上式可以改寫為:

可見,rФ滿足二維波動方程。如果忽略從外向里傳播的波,那麼這個方程的通解為:

到目前為止,張朝陽只考慮了除原點之外的情況。在原點處,電荷無窮大,該怎麼處理那個方程呢?他使用了積分的方法。在原來的方程兩邊對以原點為球心、半徑為R的球B(R)求體積分可得:

這時候讓R去向於0,可得:

因為:

所以:

這樣立即得到:

所以:

在此結果上,利用疊加原理立即得到:

同理,可以求出矢量勢的解為:

熱機逆向運行得到空調 白車反射陽光降低空調功耗

張朝陽還結合了熱力學知識講解了為什麼在夏天的戶外,白車會比黑車節能。

在之前的直播課中講過,太陽輻射常數大約是1400W/m^2,不過這是大氣層邊界的太陽光輻射功率,太陽光經過大氣層會被散射、反射掉一部分。根據現有數據,海平面在晴天正午的時候太陽光功率最高可以達到1000W/m^2,考慮到雲層遮擋等影響,這裡取太陽輻射常數的一半來計算,也就是700W/m^2。

根據一般的家庭轎車尺寸,張朝陽假設車身長4米,寬1.7米。如果這輛車是黑色的,假設它會把太陽光全部吸收掉;如果這輛車的車身是白色,假設它會把太陽光完全反射掉。在太陽直射的時候,黑色車吸收太陽光的面積為4×1.7=6.8平方米,吸熱功率為:

黑色車每秒鐘比白色車多吸收大約4800焦耳的熱量。

接著他開始計算空調需要增加多少功率才能將這些熱量排出車外。張朝陽介紹說,空調是一種熱泵,它的過程與熱機剛好相反,就是輸入能量,然後從低溫熱源吸熱釋放給高溫熱源。一個熱機,反向運行就會成為熱泵。熱泵示意圖如下:

其中T2<T1。ε=Q2/W被稱為製冷係數,用于衡量熱泵的吸熱效果。對於可逆熱泵,根據卡諾定理,有:

所以有:

假設車外溫度為35攝氏度,也就是308.15開爾文;車內溫度為18攝氏度,也就是291.15開爾文,此時:

因為ε=Q2/W,所以W=Q2/ε。如果使用可逆熱泵來給車內降溫,為了把太陽熱量排出車外,那麼空調需要增加的功率為:

可見車內空調需要增加大約300瓦的功率。

張朝陽強調,上述分析是在理想熱泵的情況下得到的,實際上目前市面上的空調(包括車載空調),其製冷係數大約在2.5至5之間,取最大值5,為了把太陽輻射熱量排到車外,空調需要增加的功率為:

也就是說,在夏天的中午,車內開空調的話,白色車每小時能比黑色車節省大約一度電。

據了解,《張朝陽的物理課》於每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播,網友可以在搜狐視頻「關注流」中搜索「張朝陽」,觀看直播及往期完整視頻回放;關注「張朝陽的物理課」帳號,查看課程中的「知識點」短視頻。此外,還可以在搜狐新聞APP的「搜狐科技」帳號上,閱覽每期物理課程的詳細文章。

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有沒有人也覺得『生理期到後面,用衛生棉會癢癢的』

2021-10-04T04:14:39.255424+00:00

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