反證法是數學證明強有力的方式，為什麼它是有效的，你怎麼證明這個證明方法本身是正確的？
先大致說一下：考察證明方法的領域一般都在現代邏輯學中。邏輯學一般包括命題邏輯、詞項邏輯和謂詞邏輯。它們的層次是不同：命題邏輯是最大的層次，後兩個都是它的細緻化，詞項邏輯好比分子層次，謂詞邏輯是原子層次。震撼數學、邏輯學、哲學的哥德爾不完全性定理是謂詞邏輯層次的。
一般來說我們是在命題邏輯的層次使用反證法的，因此我們也在這個層次進行證明。證明本身不複雜，但仍需要一些基礎知識。
我們用p→q表示命題p能推出命題q；用├ p表示命題集合存在一個對於命題p的證明，它意味著從里我們可以用邏輯推理公理【即推理法則】和中的某些【可以是全部】命題來證明p。
為了簡潔起見，我們需要承認一個定理、一個規則和兩個永真式。
一個定理叫「演繹定理」，它是命題邏輯的經典定理。它不是某個具體的數學定理，而是命題邏輯這個邏輯系統本身的定理，屬於對於該系統性質的描述。具體表述為：
├ (p→q)若且唯若∪{p}├ q。∪{p}表示在命題集中添加一個新命題p。
一個規則叫「分離規則」：若q以及q→p，則p。
這個規則是我們認可的推理規則，它很好理解：如果我們有命題q→p並且承認它的前提q，那麼自然能得到它的結論p。
永真式也叫重言式。舉三個經典的永真式【¬p讀作非p，表示命題p的否定】：
排中律：p∨¬p
同一律：p→p
雙重否定律：¬¬p↔p
所謂永真，指的是在我們給出的邏輯命題法則之下，無論參與命題表述的命題p有幾個、以什麼命題形式存在【前提是要以命題邏輯允許的「合法形式」存在】，當每個命題取遍真假二值後，整個命題表述都是真的。以排中律為例：
情況一：p是真，¬p就是假，p∨¬p是真【對於p∨q，p、q只要有一個是真的那麼p∨q就是真的】
情況二：p是假，¬p就是真，p∨¬p是真。
下面兩個永真式是後面證明需要的，承認即可。
¬q→(q→p)【否定前件律】
(¬p→p)→p【否定肯定律】
能給出名字的，一般都不是普通的永真式，它們都是比較基本的永真式。
下面我們進入正題。
反證法的命題邏輯表述為：若∪{¬p}├ q和¬q，則├ p。
它其實就是在說：給定一個命題集，如果我們在中添加某個命題p的否定命題¬p，並且能從這個新的命題集∪{¬p}推出一對相互否定的命題q和¬q，那麼我們能從原命題集中推出p。
證明：（每一步後面【】是解釋這一步是怎麼得到的）
由已知∪{¬p}├ q和¬q以及永真式「否定前件律」¬q→(q→p)，
由此有∪{¬p}├ q和q→p【對¬q和¬q→(q→p)利用分離規則】，
由此有∪{¬p}├ p【對q和q→p利用分離規則】
由此有├ (¬p→p)【演繹定理】
由此有├ p【否定肯定律】。證畢。
上面的證明就是我們站在「元數學」的角度給出數學證明本身一個邏輯證明！反證法是不可靠的，若且唯若你不承認現有的命題邏輯體系。直接證明、逆否命題證明、反證法都是數學認可的、可靠的證明方法。你可以認為反證法不那麼「美麗」從而去尋求更「美麗」的直接證明，但是你無法懷疑它的正確性。
是無理數只能用反證法證明，費馬大定理只能用反證法證明【到目前為止】。這兩個定理就是很好的例子。當涉及集合論及「高階無窮大」的大多數命題時，基本清一色是反證法。
最後，我們給出一個很深刻的定理：實數集是不可數的。我們不用康托爾的對角線法。只要你承認實數集具有連續性【也就是上確界存在性】。連續性即完備性，更嚴格地說是序完備性，它是實數集在我們約定的序性質下的結果，圖片裡的證明只考慮了實數集的這個序完備性。這個證明不依賴於實數的任意q進位展開。【學過數學分析的人會知道，這就是康托爾的閉區間套，它和連續性是等價的】。這個證明言簡意賅，無懈可擊。【證明里的自然數指的是正整數】
這個證明的反證法要素為：
可以理解為我們定義的實數體系的公理及一些簡單的推論。
命題p：非退化的區間是不可數的。
命題¬p：非退化的區間是可數的。
命題q：對於任意自然數n，上確界x*∈。
命題¬q：存在自然數，上確界x*∉。
把它們帶入反證法公式——∪{¬p}├ q和¬q——我們的證明思路就清晰可見：
∪{非退化的區間是可數的}├
對於任意自然數n，上確界x*∈
和
存在自然數，上確界x*∉
於是根據已經證明的反證法，我們有├ 非退化的區間是不可數的。