李雅普諾夫:彼得堡數學學派的健將

好玩的數學 發佈 2022-12-09T19:22:08.257157+00:00

19世紀末至20世紀初,當切比雪夫、馬爾科夫的一系列創造性工作使西歐數學界感到震驚之際,又一位數學家為俄羅斯增添了光彩:他在動力系統穩定性理論和旋轉液團平衡理論方面的工作,堪與當時最偉大的數學家彭加勒媲美,他在概率論、微分方程和勢論等領域也做出了傑出的貢獻,這個人就是彼得堡數學學派的健將亞歷山大·米哈伊洛維奇·李雅普諾夫。

作者 | 蘇淳(中國科學技術大學數學系)、劉鈍(中國科學院自然科學史研究所)

來源 | 自然辯證法通訊,1987(2):48-68+58. 原標題《彼得堡數學學派的健將——紀念A.M.李雅普諾夫誕生一百三十周年》

他,已給自己的智慧系上堅強的帶子,

他,已為無比的剛勇激起了自己的雄心。

——《伊戈爾遠征記》

19世紀末至20世紀初,當切比雪夫(П. Л. Чебышев, 1821—1894)、馬爾科夫(А. А. Марков, 1856—1922)的一系列創造性工作使西歐數學界感到震驚之際[注①:切比雪夫和馬爾科夫的數學工作,可參閱筆者撰寫的《彼得堡數學學派的奠基人》和《彼得堡數學學派的中堅》,兩文分別見本公號2022年11月18日和11月24日],又一位數學家為俄羅斯增添了光彩:他在動力系統穩定性理論和旋轉液團平衡理論方面的工作,堪與當時最偉大的數學家彭加勒(Henri Poincaré, 1854—1912)媲美,他在概率論、微分方程和勢論等領域也做出了傑出的貢獻,這個人就是彼得堡數學學派的健將亞歷山大·米哈伊洛維奇·李雅普諾夫(Александр Михайлович Ляпунов, 1857—1918)。

俄國數學家亞歷山大·米哈伊洛維奇·李雅普諾夫

早年歲月

當非歐幾何的奠基人羅巴切夫斯基(Н. Лобачевский, 1792—1856)被任命為喀山大學校長的時候,本文主人公的祖父正在那裡當會計。這個普通職員的眾多子女中有三人特別受到命運的垂青:長子維克多日後成了蘇聯科學院院士克雷洛夫(А. Н. Крылов, 1863—1945)的外祖父;幼女葉卡捷琳娜嫁給生物學家P. M.謝切諾夫,此人的哥哥И. М. 謝切諾夫(И. М. Сеченов, 1829—1905)被人稱為俄國生理學之父;還有一個兒子就是本文主人公的父親米哈依爾·瓦西里耶維奇,他1839年畢業於喀山大學,隨後留在該校天文台工作,1856年應聘成為雅羅斯拉夫一所高級中學的校長。雅羅斯拉夫,這座以11世紀基鋪大公命名的古城,南面莫斯科,西北連接雷賓斯克的大湖區,從17世紀以來就成了伏爾加河上游的重要商埠。米哈伊爾主持的捷米多夫斯基高級中學是當地的最高學府。他治校有方,頗得人望。翌年6月6日,他的妻子索菲亞生下一個男孩,這就是A. M. 李雅普諾夫。

李雅普諾夫從父親那裡接受科學的啟蒙,這位曾在喀山大學天文台工作的人經常向愛子講授宇宙的奧秘:太陽是一個巨大的燃燒的球,地球是一團又粘又燙的旋轉體,月亮就是從它上面甩脫出來的。這些奇妙的知識在李雅普諾夫幼小的心靈留下終身難忘的印象。但是好景不長,父親在他七歲那年雙目失明,只好辭去職務,全家遷居到母親在西姆比爾斯克的鄉下老家去。又過了四年,父親去世了,姑媽葉卡捷琳娜看到母親艱難地帶著三個孩子生活,就把11歲的李雅普諾夫帶到自己家中撫養。

這是後來被命名為謝切諾夫村的一個貴族莊園,姑父十分喜歡妻子領養的這個俊秀內侄,讓他與自己的女兒娜塔莉婭一同學習、玩耍。青梅竹馬,兩小無猜,若干年後他們結為伉儷,而且愛得極深。在姑媽家裡,李雅普諾夫還經常見到新當選為俄羅斯科學院通訊院士的И. М. 謝切諾夫。在以後的學術生涯中,他與這個年齡和專業都相差懸殊的生理學家結下了深厚的友誼。

1870年,母親帶著兩個弟弟搬到了下諾夫哥羅德[注②:1932年後一度改名為高爾基市,1990年恢復原名],同時領回了李雅普諾夫。從未進過中學的李雅普諾夫插班進入三年級,但他仍然感到課程太輕鬆了,許多知識在姑媽的莊園裡已經學過,因此有大量時間來閱讀文學、歷史和自然科學方面的作品。1876年他獲得金質獎章從中學畢業。

同一年李雅普諾夫考入彼得堡大學,當時該校僅有文史、法律、東方語言和數學物理四個系。他先在數學物理系的自然科學專業註冊,常去聽化學教授門捷列夫(Д. И. Менделеев, 1834—1907)的課。但是不過一個月,他就感到數學的抽象性和嚴密性更適合自己的口味,於是毅然轉到數學專業來上課。

幸遇良師

經過切比雪夫近30年的耕耘,此時彼得堡大學的數學聲名已遠播俄國與歐洲大陸,許多有才能的數學家都被吸引到這裡來。他們當中有科爾金(А. Н.Коркин, 1837—1908)、佐洛塔廖夫(Е. И. Золотарёв, 1847—1878)這樣的中青年教師,也有索霍茨基(Ю. В. Сохоцкий, 1842—1929)、波瑟(К. А. Поссе, 1847—1928)這樣的研究生,才華出眾的馬爾科夫則是三年級的學生。李雅普諾夫偏愛力學,指導他的博貝廖夫(Д. К. Бобылёв, 1842—1917)是一位出色的力學家。李雅普諾夫後來在紀念博貝廖夫的講演中說道:「差不多四十多年來,我都記得那位已經逝世、在大學畢業後最初幾年作為我的導師的博貝廖夫教授……感謝他經常在百忙中抽出時間審查我青澀的文章。他是一個淳樸而富有高貴氣質的學者。當我在閱讀某些著作遇到困難時,他總是非常細心地向我詳加解釋。」([6],譯文略有修改)

大學的後兩年對於李雅普諾夫來說特別艱辛,壓力並非來自學業而來自生活。慈母於1879年去世了,兩個弟弟一個剛考入音樂學院、一個尚未成年,李雅普諾夫只好把小弟弟鮑里斯接到彼得堡,借住在姑父一個寡居的姐姐家裡。恰好И. М. 謝切諾夫也是這所房子的常客,他提議由李雅普諾夫為他本人講授基礎數學,作為報酬由他支付兄弟兩人的食宿費用。李雅普諾夫非常滿意這筆交易,除了給令人尊敬的長輩講一些數學知識外,他還經常出席謝切諾夫及其學生們組織的郊遊和讀書會。謝切諾夫也鼓勵他,要想在科學上取得輝煌成就,就要有百折不撓的勇氣和堅韌不拔的毅力。就這樣,李雅普諾夫一面為自己和弟弟的生計操勞,一面準備著畢業論文。在博貝廖夫的指導下,他撰寫的關於流體靜力學的論文獲得系裡的獎金。在此基礎上他完成了《重物在固定形狀容器中的平衡問題》和《液體靜壓的勢問題》兩文,於1881年發表在《俄國物理化學學會通訊上》上。

1880年李雅普諾夫以優異成績從大學畢業,根據博貝廖夫的建議被留在力學教研室工作。從某種意義上來說,力學是一門令人生畏的專業,古往今來,只有阿基米德(Archimedes, 287—212 BC)和牛頓(Newton, 1642—1727)那樣的巨匠才能同時在數學和力學領域建立輝煌業績。李雅普諾夫用兩年時間通過了碩士課程考試,但是論文選題卻遲遲未定,為此他去請教「大主教」切比雪夫。關於這件事,他後來在題為《關於天體形狀》的著名講演中曾有詳細的敘述,內中提到:「1882年,為了選擇碩士論文題目,我不止一次同切比雪夫交談各種數學問題,而他總是闡述這樣一種觀點,即對於已經準備獻身數學的所有年輕學者來說,那些雖然看似時髦、但是卻能用眾所周知的方法解決的題目是不值得光顧的,而應該把精力傾注到某些重大的、並且具有公認的理論困難的課題上。接著他就向我建議了如下的課題:人們已經知道,在角速度的某種影響下,橢球體不再是旋轉液團的平衡形狀;問題是,此時它們是否轉變為某種新的平衡狀態,這些形狀在角速度略微增大時稍與橢球有所不同?他又進一步說:如果解決了這個問題,你的工作就會立即引起世人矚目。」([1],стр. 13)

躊躇滿志的李雅普諾夫還不知道,「大主教」以前也向佐洛塔廖夫、柯瓦列夫斯卡婭(С. В. Ковалевская, 1850—1891)等人提出過同一問題,而這些赫赫有名的學者都未能啃動這粒堅果。他陷入曠日持久的膠著戰,在一年半的時間裡絞盡腦汁也未能獲得進展。當他向切比雪夫匯報自己嘗試的種種方法以及遇到的困難時,連問題的提出者也感到吃驚。看來要在短期內攻克這一難題是不可能的了。就此李雅普諾夫總結道:「經過若干次一無所得的嘗試之後,我覺得應該暫時把這個問題擱置一段時間了。但是對它的思考卻把我引向另一問題,即橢球狀旋轉液團平衡形態的穩定性,於是我決定以後者作為碩士論文的研究題材。」([1],стр. 13)

論文於1884年完成,翌年1月正式通過了答辯。兩位教授博貝廖夫和炮兵學院的布達耶夫(Н. С. Будаев)是論駁者。儘管與切比雪夫原來的問題相比,這篇論文僅僅討論了一個特殊情況,但是它的價值很快得到國內外同行的承認。同年李雅普諾夫被任命為講師,轉年英國《天文學公報》刊出了論文的摘要。若干年後,這篇論文還被完整地譯成法文發表在《土魯斯大學學報》上。

與其他才華出眾的青年數學家相比,李雅普諾夫為碩士學位付出了較多的時間和精力,但他對此終身不悔。相反,他由衷地感謝引導他從事力學研究的博貝廖夫,感謝向他提出一個如此困難的問題的切比雪夫,認為「切比雪夫以他的談話和見解根本性地影響了我一生科學工作的方向。」

別開生面

1885年秋天,李雅普諾夫接受哈爾科夫大學的邀請,以講師的身份主持該校的力學課程。哈爾科夫是烏克蘭第二大城市,哈爾科夫大學是烏克蘭的第一所高等學府。數學家和著名的唯物論者奧西波夫斯基(Т. Ф. Осиповский, 1765—1832)曾擔任該校校長,指導過切比雪夫的奧斯特洛格拉德斯基(М. В. Острогадрский, 1801—1862)也曾在此求學。李雅普諾夫來到之前,力學講座由伊姆漢涅茨基(В. Г. Имшенецкий, 1832—1894)主持,後者於1881年被選為彼得堡科學院院士後,這個職位就一直空缺著。

當時沙皇政府剛通過了一個針對大學中進步勢力的議案,國民教育大臣傑里亞諾夫是這一措施的忠實執行者,鼓吹「要以宗教真理尊重財產所有權,以及用遵守社會秩序的根本原則去教導青年」。哈爾科夫大學一直是烏克蘭民主運動和民族主義者活動的大本營,因此學生們對這位新來的俄羅斯教師抱著一種懷疑和敵視的態度。後來成為李雅普諾夫得意門生的斯捷克洛夫(Владимир Андрeевич Стеклов, 1864—1926)回憶道:「眾所周知,1884年傑里亞諾夫的反動措施使學校條例遭到破壞。1885年我已是大學三年級的學生,作為1863年條例[注③:指俄國教育部那一年通過的一項關於擴大高校自治權利的條例]的擁護者,與絕大數同學一樣,對新秩序抱著極端對立的態度。當同學們得知從彼得堡派來一位新老師,我們立刻斷定是那個專謀私利的傀儡集團中的又一可恥庸人。」但是,當同學們看到「一位儀表堂堂的美男子在敬重的老系主任列瓦科夫斯基教授陪同下步入教室」,騷動開始平靜下來。「系主任作了簡短的介紹之後離開了教室,這位與我們年齡相差無幾的年輕人就開始用一種由於激動而略微發顫的聲音講起質點動力學來。其實這門課早已由捷拉爾(Делар)教授講過,內容對我們來說並不陌生。但是他的講演一開始,我就聽到了自己未曾聽過的東西,這是我在所認識的有名望的教師那裡從未聽到過的。因此當初內心中的敵意立刻煙消雲散了。青年人亞歷山大·米哈依洛維奇以其未加修飾的魅力,竟然在一個鐘頭內征服了這批心懷偏見的聽眾。從那天起,李雅普諾夫在學生中獲得了完全特別的威信和地位,我們開始懷著尊敬的心情對待他,一些本來對科學不感興趣的同學也開始振奮起來了」。(轉引自[6],譯文略有修改)

直到1890年,力學研究室幾乎就是李雅普諾夫一個人唱獨角戲:他又要當講師,又要當助教,還要安排實驗和指導學生寫論文,就是授課的講義也是他親自編寫的。即便如此,李雅普諾夫仍然沒有忘記運動穩定性的研究,不過他還是沒有直接接觸切比雪夫提出的旋轉液團平衡形狀的穩定性問題,而是先對具有有限個自由度的力學系統的平衡形狀的穩定性進行了研究。

這一問題來源於18世紀天文學家對太陽系運動規律的探索,拉格朗日 (J. L. Lagrange, 1736—1813)和後來的狄里赫萊(P. L. Dirichlet, 1805—1859)都曾致力於此。從數學上來說,這一問題就是要根據一個微分方程組

假定上述方程組的右邊是關於諸xk的冪級數且沒有自由項,很容易看出存在零解xk=0。在李雅普諾夫意義下,零解穩定性就是在半軸t≥t0上關於初始數據的穩定性;換言之,李雅普諾夫意義的穩定性要求對滿足t≥t0的解xk(t),其初始數據xk(t0)的絕對值充分小時,其本身的絕對值也充分小。當相應的微分方程組可積時,判斷穩定性並不困難,然而動力系統中的微分方程往往是不可積的,於是只好引入近似方法,包括茹可夫斯基在內的一些學者都曾考慮過,把方程組的右端換成冪級數展開式的線性部分,這樣問題就歸結為一個線性方程組的穩定性。但是用線性系統來代替給定的動力學系統是否有效、什麼情況下有效都是不清楚的。彭加勒在1881—1886年期間,以《微分方程所確定的曲線》為題考慮了二階和部分三階系統的情況,這可以說是李雅普諾夫之外尋求該問題精確解答的唯一嘗試。

為了徹底解決這一問題,李雅普諾夫創立了兩種著名的方法,其中第二種已成為穩定性研究中的基本方法,其關鍵是找出某個依賴於t、xk的所謂李雅普諾夫函數,根據這類函數的穩定性去判斷解的穩定性。利用這種方法,他在最一般的假定下解決了一次近似可以成為穩定性問題之解的條件問題。他還用這種方法檢驗了那些特別具有實際背景的系統,如方程組右端展開式的係數為常數或具有相同周期的函數系統。對於前者,如果特徵方程(一個n次代數式)的根都具有負實部,則原系統的解是穩定的;若有一個根具有正的實部,則原系統是不穩定的;如果不存在具有正實部的根卻有實部為零的根,此時就不能利用一次近似來替換。對於後者,他論證了可能存在兩種特別值得注意的情況,即特徵方程有一個根為1及一對共軛虛根的模為1的實例。

就這樣,李雅普諾夫與彭加勒同時完成了常微分方程定性理論的奠基性工作,但是他們兩人考慮問題的出發點和使用的方法是截然不同的:李雅普諾夫主要考慮解的性質,方法則純屬分析式的;彭加勒主要考慮方程所對應的曲線分布,廣泛使用拓撲方法。從某種意義上講,他們的工作都是超越時代的。因此在以後一段相當長的時間內,除了美國數學家伯克霍夫(G. D. Birkhoff, 1884—1944)在彭加勒工作的基礎上發展了有關理論之外,關於定性理論的研究一度保持著沉寂的局面。然而20世紀30年代以來,隨著現代物理和工程技術的飛速發展,定性理論成了微分方程領域一個最熱門的話題,李雅普諾夫的經典性工作也日益顯出巨大的意義。

獲得博士學位的第二年,即1893年,李雅普諾夫晉升為教授。除了負擔繁重的教學任務之外,他還特別關心地方的數學教育和普及工作。從1893年起他就擔任了哈爾科夫數學學會副主席,1899年起任主席兼會刊主編,他親自為會刊撰稿,他的一些重要論文就是在《哈爾科夫數學會通報》上發表的。在他的指導下,哈爾科夫很快發展成沙俄帝國的又一數學重鎮,這裡的數學物理特別引人注目。

談到數學物理,還應提起李雅普諾夫在勢論方面的工作。還在1885年初,李雅普諾夫就考慮在彼得堡大學開設勢論課程,只是由於去哈爾科夫就職未能實現。他到哈爾科夫的第二年就發表了兩篇有關拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)方程邊界值的論文。最重要的工作是1897年的《有關狄里赫萊問題的某些問題》,在這裡他首次對單層勢和雙層勢的若干基本性質進行了嚴格的分析,指出在給定範圍內狄里赫萊問題解的若干充要條件,這一研究奠定了解決邊界問題的經典方法的基礎。從1886年至1902年,李雅普諾夫共發表了7篇勢論方面的文章,它們當中深刻新穎的思想成了一些後來者,特別是斯捷克洛夫工作的出發點。

李雅普諾夫在哈爾科夫的最後一項工作與概率論有關,雖然只有兩篇論文,但是在概率論發展史中的作用卻幾乎是具有化時代意義的。早在大學三、四年級的時候,李雅普諾夫就系統地聽過切比雪夫的概率論課,對老師當年講到極限定理證明時的一段話有著深刻的印象:「我們在證明時作了種種假設,但是卻未能估計出由此產生的誤差,因而我們的結論是不嚴密的。然而直到眼下,我們還無法採用任何令人滿意的數學手段來證明這些結論。」要想理解切比雪夫這段話的內涵,就需對概率論古典極限定理的歷史作一簡要回顧。

19世紀末,人們企圖將拉普拉斯極限定理運用於獨立隨機變量的和,並力圖在儘可能寛泛的條件下證明這一結論,使其成為一個所謂中心極限定理。切比雪夫首先創立矩方法來證明,但是該方法要求隨機變量的一切矩都有限的條件顯然太苛刻了。馬爾科夫為消弱這一條件做了一些工作,但本質上並無突破,他仍然要求對任何整數P>2,這些隨機變量的P階矩在一定意義下的平均值。能否找到適當的(不一定是整數),以P=2+階矩的性質來代替馬爾科夫的條件呢?這便是李雅普諾夫所考慮的問題。

1900年,他在《概率論的一個定理》中,首先將取作1,試圖僅僅用來代替馬爾科夫的條件,但是由於推算中的困難,他不得不作了某些讓步,另外加上所有隨機變量的3階矩一致有界等條件,從而部分實現了用3階矩的存在去替代一切矩的存在的拓廣。接著,他又於1901年發表《概率論極限定理的新形式》,對0﹤≤1的任意都證明了中心極限定理。李雅普諾夫的成功,其意義不僅在他所證明的定理的內容,而且在於證明中創造的一種嶄新方法——特徵函數法。這一方法的引入,實現了概率論極限理論在研究方法上的變革,為這門科學日後的飛躍發展準備了條件。

所謂特徵函數方法,就是對每一個隨機變數X[或其分布函數F(X)]做一個傅立葉變換,得到一個實變數的復值函數

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這樣就為研究獨立隨機變數和的極限分布提供了一個簡便有力的工具。因為獨立隨機變數和的分布是各加項的分布的卷積,而在加項數目趨於無窮的場合,對卷積作數學處理是比較困難的,為此切比雪夫和馬爾科夫才設法通過矩來考察一般規律,只是矩方法損失的信息過多。特徵函數方法則保留了隨機變數分布規律的全部信息,同時提供了特徵函數的收斂性與分布函數的收斂性質之間一一對應的關係,因而這一方法一經引入,就使獨立隨機變數和弱極限理論獲得迅猛進展的可能。若干年後,兩位瑞典數學家克萊梅(Harald Cramér, 1893—1985)和艾森(C. G. Essen)對李雅普諾夫估值法的精確化作了很好的工作,蘇聯數學家伯恩施坦(C.Н.Бернштейн, 1880—1968)和林尼克(Ю. В. Линник, 1915—1972)也對李雅普諾夫的方法作了極大的推廣,進一步的發展則導致辛欽(А. Я. Хинчин, 1894—1959)、格涅堅科(Б. В. Гнеденко, 1911—1995)等人現代極限理論的蓬勃發展。

1900年,李雅普諾夫以其多方面的成就當選為彼得堡科學院通訊院士,轉年晉升為院士併兼任數學學部主任;這個位置自1894年切比雪夫去世以來一直空缺,為此李雅普諾夫不得不告別生活工作了17年的哈爾科夫而到彼得堡赴任。大學的師生們都有些依依不捨,布澤斯庫爾(В. П. Бузескул)教授代表大家說出了產生這種感情的原因:「李雅普諾夫是屬於那些形成大學真正靈魂的教授們之列的,學校因這些人而存在和繁榮,他們給同事們帶來榜樣。一切低俗的東西對他來說都是格格不入的,他總是沉醉在科學幻想之中」。([5], стр. 117)

對於李雅普諾夫個人來說,前面是一條更輝煌的道路,但他對過去的這17年懷著無限的眷戀。若干年後,每當他同人談起往事,總是滿懷深情地說,哈爾科夫的日子是他一生中最幸福的時期。

重返聖地

李雅普諾夫回到自己接受數學洗禮的彼得堡時,「大主教」切比雪夫已溘然謝世,但彼得堡數學學派的光輝卻如北極光一樣輝耀於波羅的海之濱,全歐洲都在矚目這個新的數學研究中心。他沒有回母校任教,而是在科學院從事研究並領導數學部的工作。

在切比雪夫眾多的學生們中間,成就最顯赫的兩位就是馬爾科夫和李雅普諾夫了。馬爾科夫雖然只比李雅普諾夫年長一歲,但是在事業上總是順順噹噹地走在他的前面。他比李雅普諾夫早兩年考入彼得堡大學,又早兩年從大學畢業,早五年取得碩士學位,早六年取得博士學位,早五年成為科學院院士;兩人雖然同於1893年成為教授,但馬爾科夫早在1886年就已成為彼得堡大學的副教授了,而那一年李雅普諾夫還是哈爾科夫大學的講師。儘管有這些差距,但是他們倆人都很清楚對方的創造力,彼此視為學術上的畏友,誰也未曾想過要壓倒對方來取代切比雪夫的位置。因此,儘管李雅普諾夫在概率論中心極限定理的研究中採取了一種似乎「異端」的方法,從而使切比雪夫和馬爾科夫工作中的弱點暴露出來,他與馬爾科夫之間仍然維繫著良好的關係。馬爾科夫由此而對矩方法做出的改進則再次引起概率論研究方法的變革,對這門科學的現代化產生了巨大影響。

李雅普諾夫不習慣彼得堡上流社會的奢華社交生活。他經常深居簡出,每天伏案工作到深夜。他身邊的一些熟人多是數學界的同行,除了馬爾科夫、科爾金、波瑟這些老朋友,一些年輕的新秀也開始出入他的家門。斯捷克洛夫1896年成為教授,1902年當選科學院通訊院士,在正交函數和數學物理方面頗有建樹,他於1906年來到彼得堡,1912成為科學院院士,十月革命以後曾任蘇聯科學院副院長和數學物理研究所所長,至今蘇聯的數學研究所仍以他來命名。另一個後起之秀克雷洛夫是李雅普諾夫的表外甥,畢業於海洋學院並留校任教,在近似計算和船舶設計方面卓有成績,1914年當選為科學院通訊院士,1916年晉升為院士。

這時候,李雅普諾夫已把全部精力傾注到切比雪夫當年向他提出的問題上來了,也就是旋轉液團平衡態的穩定性問題。1903年初,工作剛剛有了些頭緒,斯捷克洛夫從巴黎來信告訴他一個消息,原來無所不通的彭加勒也在考慮同樣的問題,不久前在巴黎大學理學院使用的講義已匯集成《流體物質的平衡狀態》一書,將於近日出版。李雅普諾夫遂於2月15日覆信斯捷克洛夫,不無遺憾地感謝對方的及時通告,信中猜測彭加勒已經完全掌握了自己正在完善的方法,於是決定改換研究方向,轉而考慮緩慢旋轉的非均勻液團的平衡態問題。但是僅僅過了一個星期,李雅普諾夫就收到斯捷克洛夫寄來的彭加勒的小冊子,仔細閱讀之後,他發現彭加勒書中只有簡單形式的結果,對此自己十多年前就得到了;相反,書中沒有提到近似於橢球的平衡狀存在的證明。因此他又躍躍欲試,準備在短期內先拿下非均勻液團的平衡態問題,然後再一舉攻克切比雪夫當年提出的問題。關於這段插曲和他最後的戰略選擇,可以從他2月21日致斯捷克洛夫的信中清楚看出來。他在信中寫道:「我的研究被中斷了一個星期……這在兩方面都是有益的:第一,使我選擇了新的研究方向;第二,搞清了原先的研究存在重要簡化的可能性。」4月7日,他再次致信斯捷克洛夫寫道:「只是在上個星期,我才消除了在證明拉普拉斯問題(意指緩慢旋轉的非均勻液團的平衡態問題)級數解的收斂性上遇到的一切疑團,現在必須把這個一直到目前為止還是非常複雜的證明加以簡化,根據新的結果完成一本小冊子;然後轉向我於1月份所開始的工作(意指近似於橢球的均勻旋轉液團的平衡形狀問題即切比雪夫問題)。後一課題的詳細報告很難在一年內寫好,因為對某些內容還要進行認真的推敲。」

關於緩慢旋轉的非均勻液團的平衡態問題,最早的研究屬於18世紀法國數學家克萊羅(A. C. Clairaut, 1713—1765)。他把這類液團看成是由不同的旋轉橢圓面所組成的,所用方法是近似的。後來他的同胞拉普拉斯提出了一種依賴於球函數級數展開式的方法,但是還遺留著一個收斂性的尾巴未曾解決,這就是李雅普諾夫信中所指的「疑團」。信中提到的「一本小冊子」當年就完成了,這就是《關於天體形狀的理論探索》,書中證明了存在著近似於球體的這類條件下的平衡形狀,並將問題化為某類積分-微分方程組的解,而以克萊羅方程作為自己理論體系的第一步近似。第二年他又在《關於行星形狀理論中的克萊羅方程及其推廣》中繼續研究了這類積分-微分方程,證明其中的每一個方程都有一個滿足於某項自然條件的定解。1915年,李雅普諾夫再次把注意力轉移到非均勻旋轉液團這一課題上來,在他逝世後被發現的遺稿《非均勻旋轉液團的某些平衡形狀》中,人們發現他已經證明任何非分叉的麥克勞林橢球或雅可比橢球都可能演化成新的平衡形狀,他們與原來的形狀相近並保持角速度不變,密度則呈弱變化。

橢球狀或近似於橢球狀的旋轉液團的平衡問題源於天體力學。根據萬有引力定律,牛頓提出包括地球在內的眾多行星的早期都是一種在旋轉軸方向上偏離的旋轉橢球體。他在18世紀的繼承人麥克勞林(Colin Maclaurin, 1698—1746)首先嚴格論證了這一假說,從此這類橢球便被公認為均勻旋轉液團的一種可能平衡形狀。1834年,德國數學家雅可比(C. G. J. Jacobi, 1804—1815)證明了三個半軸都不同的橢球體也可能是一種均勻旋轉液團的平衡形狀。1874年,柯瓦列夫斯卡婭又在關於土星環的研究中闡述了環狀的平衡形態。1885年,彭加勒用統一的方法綜合上述成果,指出均勻旋轉液團必定存在著多種不同形式的平衡形態,其中一種可能的形狀是與橢球體近似的分叉梨狀體;他還進一步推測,這種體系演化的結果可能是一大一小兩個互相環繞旋轉天體的平衡狀態。1902年,著名生物學家查爾斯·達爾文的次子喬治·達爾文(George Howard Darwin, 1845—1912)根據彭加勒這一未經證明的猜測,在假定梨狀體穩定的前提下解釋了地球-月球系統的成因。

儘管有這麼多傑出學者致力於這一課題,近似於橢球體平衡形態存在性的嚴格證明還遠未達到。對於李雅普諾夫來說,詳細的報告也的確「很難在一年內寫好」。1905年,他先以《一個切比雪夫問題》為名,概括性地介紹了解決這一問題的一般方法和他近期取得的成果。詳細的研究報告則以《近似於橢球體的均勻旋轉液團的平衡形狀》為總標題,分成四篇於1906、1909、1912和1914年陸續發表。

在第一篇文章中,李雅普諾夫建立了基本方程並原則性地闡述了解方程的方法,由此不僅可以導致新的平衡形狀存在的證明,而且可以達到所要求的任何精度。除此之外,他還找出了橢球數目與旋轉液團傾角之間的關係,指出何時存在著兩個麥克勞林橢球和一個雅克比橢球,何時僅存在兩個麥克勞林橢球,以及何時為球狀的界限,進而又指出這些平衡形狀互相轉化的條件。這一篇論文還包括對某些超越方程的精細討論,以此來確定分叉橢球的形狀並揭示某些平衡形狀的對稱性。

第二篇主要是一些詳細的近似計算,用以確定與麥克勞林橢球相近的新的平衡形狀,以及這種形狀應具有的角速度和數量矩。

第三篇與G. H. 達爾文1902年發表的《從一個旋轉液團分出二體理論解釋雙星起源》一文有關。按照李雅普諾夫的研究,旋轉液團在某一階段具有的近似於橢球體的梨狀形態是不穩定的,它將很快地恢復成橢球狀,這一點與G. H. 達爾文的前提剛好相反,因此兩位學者和他們各自的支持者之間展開了一場長達數年的論戰。直到1917年,G. H. 達爾文的學生、英國天體物理學家金斯(James Hopwood Jeans, 1877—1946)驗證了雙方的結果,宣告G. H. 達爾文的計算有誤,這場學術上的風波才告平息。

第四篇再次回到基本方程的討論上來,李雅普諾夫引入了一個以極角θ和ψ為自變量的函數ξ,作為對平衡形狀的表面與橢球面之間差別的標誌。這使他又得到一些新的重要公式,從而建立了發展平衡形狀的新方法。這個函數ξ是以無窮級數的形式給出的,它體現了與第一篇中所引入的公式間的關係。

通過這一系列出色的研究,李雅普諾夫不但創造了一些巧妙的近似方法,來處理相應的非線性積分和積分-微分方程,而且嚴格證明了這些方法的收斂性;他在斯提吉斯-黎曼意義下推廣了積分的概念,並證明了若干新的球函數定理。1915年以後,李雅普諾夫又發表了多篇論文來完善自己的理論,其中值得特別稱道的是1916年的兩篇:《近似於橢球體的均勻旋轉液團的表面方程》,詳細討論了用來定義上述ξ函數的無窮級數;《近似於橢球體的均勻旋轉液團平衡理論的新考察》,則以多種數學工具證明各種存在性問題,給出了新的平衡性狀的方程構造模式。

就這樣,李雅普諾夫的大名隨著他在純粹數學和天體力學領域的卓越貢獻而聲譽鵲起,他的工作得到彭加勒、皮卡德(Charles Émile Picard, 1856—1941)、科赫(Helge von Koch, 1870—1924),以及科瑟拉(Eugène-Maurice-Pierre Cosserat, 1866—1931)等人的讚揚。1808年,李雅普諾夫赴羅馬出席第四次國際數學家大會,得以會晤正在那裡養病的彭加勒。1909年他被義大利靈采科學院選為外籍院士,1916年被巴黎科學院選為通訊院士。從1909年起,他就是彼得堡學院屬下的歐拉全集編輯委員會的成員並親任18、19兩卷的主編。他也是彼得堡、哈爾科夫和喀山三所大學的榮譽成員。李雅普諾夫不愧為切比雪夫最優秀的弟子之一、彼得堡數學學派的健將。

功名身外

李雅普諾夫醉心於數學創造,在彼得堡過著一種近乎隱居的生活。除了大弟弟謝爾蓋的演奏會外,人們很少能在公共場合見到他。經常出入他家門的只是少數幾位親友和同行,因此多少給人留下一種離群索居孤芳自賞的印象。但是斯捷克洛夫說:「在李雅普諾夫看似冷淡無情甚至令人生畏的外表背面,隱藏著一個很有氣概和富有同情心的靈魂。我們可以說,他具有一顆純潔無瑕的童心。」([1],стр.19)

20世紀初葉的俄國、沙皇專制統治已瀕臨崩潰,進步的知識分子紛紛投身於民主運動的潮流,李雅普諾夫也不例外。1905年1月20日,他在一份抨擊沙皇政府的教育制度、要求改革教育現狀的宣言上籤下了自己的名字。1915年當莫斯科大學的涅克拉索夫(П. А. Некрасов)教授提出要在中學開設概率論以培養學生的宗教感情時,他與馬爾科夫一道對這一荒謬的提議進行了尖銳的批判。

工作之餘,李雅普諾夫喜歡欣賞俄羅斯原野的壯美景色。每當夏季來臨,他都要回到西姆比爾斯克母親的舊居生活。他是一個出色的園藝師,母親留下的鄉間別墅周圍點綴著他親手栽培的棕櫚、常春藤和月季花。

他尊師敬長,常常向別人談起切比雪夫和博貝廖夫的教導,對И. М.謝切諾夫的恩澤也沒齒不忘。在家裡,他是一個好兄長、好丈夫。父母雙亡後,他毅然承擔起兩個弟弟監護人的義務,在艱苦的生活環境中供養他們上學深造,直至成為有用人才,但是最能說明他富有人情味的故事還是對妻子娜塔莉婭深沉的愛情了。

還是借居在姑媽家裡的時候,他們就彼此有了好感。1886年1月17日,李雅普諾夫利用寒假之機,從哈爾科夫趕到彼得堡,與娜塔莉婭舉行了婚禮,從此倆人再沒有分開過。娜塔莉婭是一位高雅的藝術鑑賞家,對斯拉夫語系的流變也有興趣,翻譯過若干塞爾維亞語的作品。專業上和生活情趣上的差異並沒有隔斷兩顆互相愛慕的心,愛妻給李雅普諾夫的生活帶來了歡快。1911年,娜塔莉婭在瑞士旅行時不幸染上肺病,多方尋醫治療仍無好轉。這時候小弟弟鮑里斯已是敖德薩大學的斯拉夫語教授,他希望黑海岸的溫暖氣候有助於嫂嫂的康復,於是熱情邀請兄嫂前來療養。

1913年夏天,李雅普諾夫夫婦來到敖德薩,經過一段時間的治療,娜塔莉婭的病情略有好轉。1917年春天,他們又一同到芬蘭療養,6月再度來到敖德薩。為了治好愛妻的沉疴,李雅普諾夫不惜中斷了自己的工作,花光了所有的積蓄,但是隨著國內外政治局勢的劇烈動盪,營養品和藥品日益緊缺起來。1918年,德奧軍隊一度占領了敖德薩,這座城市與彼得堡的聯繫完全切斷了,娜塔莉婭也一再昏迷虛脫。為了掙些錢購買高價的藥品,李雅普諾夫應允在敖德薩大學開設名為《關於天體的形狀》的講座,每次兩個小時,許多教授和學者趕來聽講。1918年10月28日,當李雅普諾夫的第七次講演尚未結束時,娜塔莉婭病危的消息傳來,他匆匆致歉後就離開了教室,聽講者中沒有人會想到這堂課竟會是他的「天鵝曲」。10月31日,娜塔莉婭終於停止了呼吸,李雅普諾夫悲痛欲絕,用手槍對著自己頭部開了一槍。人們立即將他送到醫院搶救,但是連續三天他昏迷不醒。1918年11月3日,這位卓越的數學家辭別了人世。

人們尊重他的感情,把他和娜塔莉婭合葬在一起。墓碑上刻著如下的銘文:「動力系統穩定性理論、旋轉液團平衡形狀理論、微分方程定性理論的創立者,概率論中心極限定理和一系列其他深刻的數學力學課題的探索者。」

主要參考文獻

[1] А. М. Лукомская, Александр Михайлович Ляпунов, Издательство АН СССР, 1953.

[2] В. П. Цесевич, А. М. Ляпунов, Издательство Знани, Москва, 1970.

[3] И. З. Штокало, История Отечественной Математики, Издательства Науква Думка, Киев, 1967.

[4]C. C. Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, Vol. 8, New York: Scribner’s Sons, 1971.

[5]В. П. Бузескуд, Александр Михайлович Ляпунов и Харьковский Университет 80-Годов, Учен. Зал., Выс., щк., Отд, гуманит-обществ. Наук, том. 2, 1922.

[6]B. И. 斯米爾諾夫:「亞歷山大•米哈伊諾維奇•李雅普諾夫傳略」,《中學數學》(華南師院),1957年第2期。

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