人類生活在十維的宇宙中。」

這可不是什麼《三體》看上頭後的狂言，而是出自丘成桐之口。

這位數學最高獎——菲爾茲獎首位華人得主，曾在公開演講中談到：

人類生活在十維的宇宙中，但只有四維時空可見，剩下的六維空間蜷縮在一個幾何結構特異的空間中。

沒想到，這個看上去玄乎又難以理解的概念，會被世界級數學家肯定。

但實際上，弦論的支持者們始終認為平行宇宙必定具有十個維度，並一直力求證明其存在。

對，就是Sheldon痴迷的那個弦論。

而更讓人意想不到的是，正是丘成桐27歲時的成名之作，成為了弦論學者篤信十維空間的關鍵論據之一。

1985年，物理學家坎德拉斯、霍洛維茨等人合著論文《超弦的真空結構》指出，多出來的六個維度，必須隱藏於卡拉比-丘流形之中。

隱藏六維的空間

事情還要從愛因斯坦的廣義相對論說起。

基於黎曼幾何這種包含彎曲空間的幾何學，愛因斯坦成功把重力理論和狹義相對論統一了起來，完成了著名的廣義相對論。

也就是說，廣義相對論這顆明星，正是幾何學和物理學的一個閃亮交點。

愛因斯坦本人就這樣解釋道：

這套理論指出重力場由物質的分布決定，並隨之而演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間並不是絕對的，它的結構與物理不能分割。我們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足。

這顆明星，自然而然吸引了專注於幾何學的青年丘成桐的注意。

上世紀70年代，在研究愛因斯坦方程組時，丘成桐開始思考一個問題：

能否找到一個真空，即沒有物質的時空，但其曲率並不平凡，即其重力非零。

並且這個時空光滑不帶奇點，是緊緻而封閉的。

其實，這就是幾何學家卡拉比在1954年提出的卡拉比猜想：在封閉的空間，有無可能存在沒有物質分布的引力場？

卡拉比猜想不僅指出封閉而具有重力的真空存在，而且還給出了系統地大量構造這類空間的途徑。

但在這一猜想提出的22年間，包括卡拉比自己在內，沒有人能夠證明它是否正確。

直到1976年，時年27歲的丘成桐一舉實現突破，證明卡拉比猜想成立，自此名動世界。

這一成果讓他在1982年成為數學界最高獎菲爾茲獎首位華人得主。

也正是卡拉比猜想的證明，帶來了「超弦理論的基石」——卡拉比-丘流形。

具體而言，丘成桐在證明猜想的過程中，構建出了不帶物質的凱勒流形。也就是卡拉比-丘流形（又稱卡拉比-丘空間）。

1984年，丘成桐接到了物理學家加里·霍洛維茨（Gary Horowitz）和安迪·斯特魯明格（Andy Strominger）的電話。

他們兩人都是弦論的支持者。這裡所說的弦論指的是「超弦理論」，其基本假設包括，所有基本粒子都是由不斷振動的弦線組成，時空具有超對稱性，並且是十維的。

他們告訴丘成桐，他們正在研究三維空間和時間之外，弦論中另外六個維度存在的形式。

具體而言，他們需要找到一種具有超對稱性的流形，並且根據弦理論，這個流形不帶任何物質分布，是真空的。

丘成桐回覆說：

這些流形（卡拉比-丘流形）在維數等於6時，確實能滿足弦理論的要求。

次年，霍洛維茨、斯特魯明格，以及另外兩位物理學家坎德拉斯（Philip Candelas）和威滕（Edward Witten）合作發表了論文《超弦的真空結構》。

這篇文章指出，多出來的六個維度，必須隱藏於卡拉比-丘流形之中。此六維獨立於四維時空的每一個點。

更重要的是，如丘成桐本人所說：

（弦論）進一步指出卡拉比-丘空間的幾何，決定了這個宇宙的性質和物理定律。

哪種粒子能夠存在，質量是多少，它們如何相互作用，甚至自然界的一些常數，都取決於卡拉比-丘空間。

物理學家布萊恩·格林（Brian Greene）也說：

宇宙的密碼，也許就刻在卡拉比-丘空間的幾何之中。

最初打算找到卡拉比猜想的反例

鮮為人知的是，丘成桐最初了解到卡拉比猜想時，是想證明其所描述的空間並不存在。

理由很簡單：

這個猜想不僅指出封閉而具有重力的真空的存在性，還給出系統地大量構造這類空間的途徑，大家都認為世間哪有這樣便宜的東西可撿！

當時，不少幾何學家都在質疑卡拉比猜想的，不過還沒有人能給出反例。

根據猜想定義，一個第一陳類為0的緊緻n維凱勒流形上應該有一個里奇平坦的度量。

只要找出一個這樣的流形上，不存在里奇平坦度量，猜想即可被推翻。

丘成桐花了差不多3年時間，來找尋這種反例。

1973年，他終於得出了成果，並在出席國際幾何會議期間，將此消息告訴了幾位朋友。

消息一下子傳了開來，引發圈內震動，以至於他被要求在當天晚上對自己的成果另作報告。

丘成桐回憶，那晚有三十多位幾何學家聚在數學大樓的三樓，其中包括卡拉比、陳省身和其他知名學者。

他把自己如何構造出這一反例說了一遍，大家似乎都非常滿意，卡拉比本人甚至還為這一構造給出了一個解釋。

陳省身則在大會閉幕時拉著丘成桐說，這個反例或許可被視為整個大會最好的成果。

要知道，卡拉比猜想中涉及到的「陳類」概念，便是因陳省身而得名。

丘成桐描述自己當時的心情：「既意外，又感到興奮不已。」

但反轉卻來得很快。

僅僅過去兩個月後，卡拉比致信丘成桐，希望他能為自己解釋反例中一些沒有弄清楚的問題。

看到這封信，丘成桐馬上明白，自己出錯了。

在他的自述中提到，自此之後兩個星期，他不眠不休，希望能重新構造一個反例。

身心差不多要垮掉。

可是真理總愛捉弄人，每當他似乎找到一個理想中的反例時，總是瞬間有推翻它的理由出現。

如此經歷數次後，丘成桐選擇180度調轉研究方向，開始證明卡拉比猜想。

終於在1976年，卡拉比-丘空間和世人見面，轟動數學界，並為之後超弦理論的物理應用、「超弦熱」奠定了數學基礎。

而順著這條研究路線，丘成桐之後還進一步論證了鏡像對稱猜想。

鏡對稱是指兩個具有不同拓撲的卡拉比-丘空間，看起來甚至沒什麼共通點，但卻擁有相同的物理定律。

最初是物理學家菲利普·坎德拉斯等人發現了這一問題，並從物理角度證明鏡像對稱可用於計算卡拉比-丘空間上有理曲線的數目。

丘成桐形容，鏡對稱是對偶性的一個重要例子。

它就像一面窗，讓我們窺見卡拉比-丘流形的隱秘。

實際上，很多在卡拉比-丘空間上要解決的難題，如果放到鏡像上考慮，問題往往迎刃而解。

1996年，丘成桐和前文提到的斯特魯明格，以及埃里克·扎斯洛（Eric Zaslow）共同提出SYZ猜想，這是理解鏡對稱猜想的一次嘗試。

SYZ猜想提出，六維卡拉比-丘空間本質上可以分成兩個三維空間，其中之一是三維環面。如果模仿把半徑 r 變成 1/r 的操作，把這些三維環面「翻轉」，並與另一個三維空間結合起來，就會得到原卡拉比-丘空間的鏡伴。

緊接著1997年，丘成桐和連文豪、劉克峰合作（與Givental同時），用局部化技巧完全證明關於卡拉比-丘空間上有理曲線計數的鏡猜想。

值得一提的是，其中連文豪是美國布蘭迪斯大學教授，於2013年獲陳省身獎。

劉克峰曾於1998年獲得斯隆獎。

正是他與丘成桐一起，發起創建了丘成桐數學英才班、創辦丘成桐中學數學論文獎和丘成桐大學生數學競賽。

他現任美國加州大學洛杉磯分校數學系教授、浙江大學數學中心執行主任。

One More Thing

在丘成桐的自傳中曾提到，由於卡拉比-丘空間流傳甚廣，甚至他自己有時都會產生錯覺：

卡拉比是否也是我的名字？

的確，從坎德拉斯等人在30年前將卡拉比-丘連接起來後，這個組合詞的意義有時已經超出了數學物理範圍。

比如伍迪·艾倫2003年在《紐約客》上發表的故事，裡面提到一位女士的微笑，「向上彎成卡拉比-丘的形狀」。

對此，丘成桐並不介意「卡拉比」是否會被混淆為他的名字。他覺得，很榮幸能和卡拉比一起並稱。

而另一位主人公卡拉比也曾說道：

我很高興我的名字和丘永遠連在一起。

參考連結：
[1]丘成桐《我們真的活在十維時空裡嗎？》：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf
[2]丘成桐《我的幾何人生：丘成桐自傳》
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Yau_manifold
[4]https://www.um.edu.mo/zh-hant/news-and-press-releases/presss-release/detail/18478/