在當今眾多數學大師中，有這麼一位成就卓著，影響深遠，卻因低調而並不廣為人知的數學家，這就是當代幾何大師，格羅莫夫(Gromov)。

而對業內來講，格羅莫夫的鼎鼎大名可謂無人不知，格羅莫夫先後榮獲了數學三大獎中的沃爾夫數學獎和阿貝爾獎，而值得注意的是，由於某些原因，他遺憾沒有拿到菲爾茲獎，但數學界都公認的是，格羅莫夫的傑出工作完全值得上一枚菲爾茲獎章。

格羅莫夫

格羅莫夫(Mikhail Leonidovich Gromov)是著名的俄裔法籍和美籍數學家，1943年出生於當時列寧格勒東邊的一個小鎮，他的父母都是醫務工作者。格羅莫夫出生後，他的母親作為野戰部隊的醫生去了前線，所幸戰後平安回到了格羅莫夫的身邊，並給與了年幼的格羅莫夫良好的教育。

特別的，他的母親送給了他一本名叫《數與形》的數學書，這極大地激發了他對數學的熱情。但中學的時候，格羅莫夫更喜歡化學，最終促使他選擇數學的原因是他在中學快畢業的時候參加了一個大學組織的青年數學愛好者的團體。

格羅莫夫先後在聖彼得堡大學獲得數學學士和博士學位，並且在著名數學家羅赫林的指導下進行研究工作。這一時期，幾何在俄羅斯相當盛行，尤其是度量幾何，這一學派湧現出了諸如亞歷山德羅夫(Alexandrov)，Zalgaller和 Burago，還有Toponogov和後來的佩雷爾曼等傑出的數學家，如今黎曼幾何中的測地三角形和三角比較定理等基本內容都來自於這一幾何學派。

格羅莫夫後來回憶說，自己的大部分幾何知識都是從前面這些老前輩身上學來的，而幾何(尤其是黎曼幾何中的度量幾何)構成了他早期的研究內容。

佩雷爾曼

在七十年代，儘管格羅莫夫的研究工作蒸蒸日上,但蘇聯的政治和研究環境對他而言越來越惡劣(他的母親是猶太人，老師羅赫林也是猶太人，但這段複雜的風波我們就不多說了)。

1970年，在法國尼斯舉辦的國際數學家大會邀請格羅莫夫(時年不到27歲！)前去做一個報告，但當局毫不留情地禁止格羅莫夫離境。直到1974年，格羅莫夫「順利」地移民到了美國，在紐約大學石溪分校任教。

1981年他又輾轉來到法國，先後在巴黎六大和國家科學高等研究院工作，憑藉出色的研究榮獲終身教授職位。

巴黎六大

憑藉一系列主要集中在黎曼(度量)幾何和辛幾何上的重大成就，格羅莫夫先在1993年榮獲沃爾夫數學獎(時年不足50歲，對於沃爾夫獎來說算是非常年輕了)，後又於2009年榮獲阿貝爾獎。

正如阿貝爾獎的頒獎詞說的一樣，格羅莫夫對於當代幾何學的貢獻是革命性的，他的研究成就和作為數學家的謙遜風格，這些對於我們的數學世界而言，都是彌足珍貴的寶藏。

下面我們就簡要介紹一下格羅莫夫的主要貢獻。

黎曼幾何

格羅莫夫早期的工作很大程度上受到了納什關於黎曼流形等距嵌入的研究(納什及其貢獻我們之前曾專門介紹過，見)的影響，他的導師羅赫林讓他仔細讀納什的論文。

格羅莫夫後來回憶說，自己讀了三遍才真正領會納什的數學思想。受此啟發，格羅莫夫提出了研究中幾何偏微分方程的諸多一般性原理。

在對黎曼幾何的研究過程中，格羅莫夫創造性地提出了一系列新思想和新概念，例如格羅莫夫-豪斯多夫距離，流形的收斂性以及緊性原理，從而一舉解決了眾多長期懸而未決的幾何難題，其中的代表性成果為利用流形的截面曲率下界給出了貝蒂數的上界估計，這個結果堪稱當代整體黎曼幾何中最優美和重要的成就之一。

格羅莫夫著作

格羅莫夫還創造性地將幾何的方法引入到了群論的研究中。1981年，格羅莫夫在著名的論文《多項式增長的群與擴張映射》中證明了一個有限生成群是多項式增長的若且唯若它是幾乎冪零的，同時，他也引入了雙曲群的概念，這些新方法促使離散群論發生了革命性的改變，從而極大地推動了離散幾何與雙曲幾何的發展。

在這個研究幾何的過程中，格羅莫夫實際上反過來推動了代數拓撲學的發展，我們都知道，代數拓撲在幾何的研究中也是不可或缺的一個重要工具。

格羅莫夫在黎曼幾何中的一系列思想方法儼然已自成一派，之後度量幾何學派與幾何分析學派便鼎足而立，共同為現代整體黎曼幾何的發展源源不斷地注入活力。曾經介紹佩雷爾曼(見)的時候，我們提到過，格羅莫夫正是他的伯樂，佩雷爾曼前往美國研究和交流就是在格羅莫夫的幫助下完成的。

事實上，佩雷爾曼在專門研究龐加萊猜想之前，是學度量幾何出身的，受度量幾何學派的影響是很大的，由此可見度量幾何方法所帶來的影響是十分巨大的。但比較可惜的是，格羅莫夫學派的方法由於更加難以掌握，國內數學界乃至整個華人數學圈裡做這方面研究的數學家很少，這確實是一個很大的缺憾。

辛幾何

毫無疑問，格羅莫夫幾乎是當代辛幾何的代名詞和絕對的權威，按格羅莫夫自己的說法，自己最滿意的成果在辛幾何上。

格羅莫夫創造性地將辛幾何看成是復幾何的一種推廣，由此提出「偽全純曲線」這一極為深刻的概念，由此引發了研究辛幾何的全新熱潮並持續至今。

格羅莫夫還將這方面的思想方法帶進了物理之中，從而產生了「格羅莫夫-威滕」不變量這一重要的數學物理概念，深刻影響了包括弦論在內當代理論物理前沿學科的發展。

菲爾茲獎得主威滕

在1986年美國伯克利舉辦的世界數學家大會上，格羅莫夫應邀做全會一小時報告，事實上，這已經是他第四次受邀，從這我們也能感受到格羅莫夫在數學界舉足輕重的地位。

他在題為《軟和硬的辛幾何》的報告中，全面地分析了辛幾何中浸入和嵌入，近複流形中的全純曲線以及辛幾何中的偽全純曲線，並且通過回顧這些研究方法的歷史來給未來的研究構建了藍圖。

同時，他還深刻地揭示了這些幾何理論與非線性分析之間的關聯。

數學大師

第一次聽說格羅莫夫的名字是在黎曼幾何課上，講到體積比較定理時，老師提到，幾何學家格羅莫夫在做了一個簡單的觀察後，立馬將體積比較定理推廣到了流形的割跡之外，使得這個被廣泛使用的結論更具一般性。

從此才知道，幾何學界除了鼎鼎大名的丘大師外，還有這樣不同學派的頂級幾何大師。最近碰巧又讀到了格羅莫夫在獲阿貝爾獎時的採訪紀錄，頗受觸動，而自己也是做相關方向的，對格羅莫夫學派的工作多少還算有一些淺顯的了解，於是有了這篇不成文的小文章，也算是對格羅莫夫表達自己崇高的敬意。

確實，格羅莫夫的低調使得他的名字並不廣為人知，但他確實一直保持著作為一名數學家的純粹，而「純粹」或許才是數學家們用其一生真正追求的東西。

來源：數學maths