在古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國，數學是一門實用技術，被用於計算數量、幾何長度、面積和體積。古希臘人從古埃及、古巴比倫和古印度學習了那時所有的數學知識。他們出於對邏輯的嗜好與擅長，用邏輯對數學知識進行了演繹推理和證明。至今初中生學習的諸如「因為┄┄，所以┄┄」這類範式的數學證明題，就是古希臘人發明的。
古希臘以後的2000多年，邏輯一直是數學證明的工具，或者說是數學的基石。但是，數學與邏輯仍然是兩門不同的學問。僅僅從數學的完美性角度出發，將邏輯納入數學，應該是極具誘惑力的想法，因而一直有學者試圖用符號和數學運算來表示邏輯，完成邏輯推理，但都不太成功。
直到喬治.布爾才取得了決定性的突破。
布爾的父親是鞋匠，母親曾經是女僕。英國當時森嚴的等級制度使小布爾沒有受到好的教育。但是，他靠自身強烈的求知慾和父親的幫助（其父對科學、數學和文學都有濃厚的興趣），布爾自學了上層階級男孩才能學到的拉丁文、希臘語和數學。由於在數學學術刊物上發表過論文，1849年他被任命為愛爾蘭Cork市皇后大學數學系的首席教授。
布爾發明了一種與傳統代數相似的代數——布爾代數。
圖1是一道傳統代數題。
圖1 一道傳統代數題
在傳統代數中，以字母（x、y）表示未知數，用運算符（+、-、x、/）、等於號（=）和數字組成代數方程，遵循運算規則，就可以得到答案。
在布爾代數中，用字母代表集合，仍然用運算符、等於號和數字組成方程，只不過布爾代數運算符的含義與傳統代數不同。
在布爾代數中，運算符「+」意味著兩個集合合併，如圖2所示：A集合用紅色圓圈表示，B集合用藍色圓圈表示，A+B就是A集合與B集合的合併，圖中用綠色表示。
圖2 算符「+」示意
在布爾代數中，運算符「X」意味著兩個集合的交集，如圖3所示：A集合用紅色圓圈表示，B集合用藍色圓圈表示，A X B就是A集合與B集合的交集，圖中用綠色表示。
圖3 運算符「X」示意
布爾代數的運算規則多數與傳統代數相同。不同的有以下幾條：
1，表示全部集合；
0，表示空集；
1 – A， 表示排除了A以後的集合，即非A集合；
1 + A = 1， 全部集合與A集合的並集還是全部集合；
A x （1 – A）= 0，這是矛盾律，即A集合與非A集合的交集是空集，它表明一個事物不能同時是它自己和它自己的反面；
A x A = A， A集合與A集合的交集仍然是A集合；
A + A = A， A集合與A集合的並集仍然是A集合；
布爾代數只有兩個數，分別是：true(真）和false（假）。
圖4是十進位運算表，是小學一年級學生必須熟記得。
圖4 十進位運算表
圖5是布爾代數運算表，對比十進位運算，布爾代數具有一種驚人的簡潔美。
圖5 布爾代數運算表
布爾曾經是小學老師，他在教小孩子記住十進位運算表時一定被虐心過。或許這也是他發明布爾代數的動機之一。
我們現在來看看，布爾代數如何進行邏輯推理運算。首先考慮一個著名的亞里士多德三段論邏輯推理：
所有人都是要死的；
蘇格拉底是人。
因此蘇格拉底是要死的。
用P代表所有人的集合，用D代表所有要死的東西的集合（包括人、貓、狗、樹等等一切生命體），用S代表蘇格拉底，依題意：
P X D = P
這個表達式意味著「所有人是要死的」。如圖7所示，所有人是都要死的相當於所有人的集合P包含在要死的東西的集合D裡面，因此，交集運算就如上式。
圖6 「所有人是要死的」示意
蘇格拉底是人的集合表達式：
S x P = S
就是說蘇格拉底（S集合）包含在所有人（集合P）裡面。布爾運算如下:
運算結果：S X D = S 意味著「格拉底集合包含在要死的東西集合裡面」，因此，蘇格拉底是要死的。
假如布爾代數只能解決如此小兒科的問題，那麼就不會是偉大的發明了。下面舉一個略難的問題。
設：
M代表公貓
F代表母貓
W代表白貓
Y代表黃貓
B代表黑貓
O代表其它所有顏色的貓
N代表被閹割過的貓
U代表有生殖能力的貓
假如你對寵物店的店員說：「我要買一隻貓，一隻閹割過的公貓，白色或黃色的均可；或者要一隻閹割過的母貓，除了白色，其它顏色均可；或者只要是只黑貓，我也要。」
店員對你說：「看來您想要的貓是下面的式子表示的集合中的一隻：
對嗎？」你回答：「是的，完全正確！」
開始，店員拿出一隻有生殖能力的黃色公貓，你將這隻貓代入以上式子運算，結果如下：
因此，上式成為：
（Ture x False x（False + Ture） + （False x False x（1 – False））+ False
=（False x（False + Ture））+（False x（1 – False））+ False
=（False x False + False x Ture）+（False x 1 – False x False）+False
= False + False +False
= False
所以，有生殖能力的黃色公貓不符合我的要求。
接著，店員又拿出一隻閹割過的灰色母貓，你再將其代入表達式運算，結果如下：
（False x Ture x （False + False））+ （ Ture x Ture x Ture）+ False
=（False + False）+ Ture + False
= False + Ture +False
= Ture + False
= Ture
所以，閹割過的灰色母貓符合我的要求。
這個例子說明布爾代數是如何幫人們做出邏輯判斷的。讀者也許會說：「這樣做並不容易嘛！」。是的，用手算確實比較麻煩。但是請讀者想一想，假如你面對的是由成百上千集合，通過成百上千運算符組成的邏輯關係，用布爾代數運算，至少可以獲得正確的邏輯判斷。如果哲學家僅憑聰明的腦袋，估計弄錯的可能性極大。再來，一旦讓機器（比如計算機）掌握了布爾代數，情況可就大不一樣啦，人們只要事先按照邏輯關係設置好機器，就可以非常非常快地完成邏輯判斷。
布爾本人有沒有意識到他發明的意義呢？讓我們看看布爾那兩本偉大著作的名稱：《邏輯的數學分析，論演繹推理的運算》、《建立在邏輯和機率數學理論基礎上的思想規律研究》。每當我看到他這麼野心勃勃、甚至異想天開的書名，就會情不自禁地喟嘆：「布爾的思想具有多麼深邃的穿透力呵！他有可能預料到了人工智慧。」