數學是人類研究和認識宇宙的一個有力工具，但沒有人知道為什麼數學可以很好地描述自然。不管怎樣，數學確實是一種很好的經驗事實。正因為如此，人類可以用數學公理來闡述理論並從中得出結論。雖然這並不是物理學理論在歷史上的發展方式，但這是思考理論和數學之間關係的好方法。

數學在物理學中的作用

無論是粒子物理學標準模型，還是廣義相對論，或者是弦理論，現代物理學理論都是用數學術語來表述。然而，要得到一個具有物理意義的理論，僅靠數學是不夠的，還需通過觀測自然和宇宙來驗證。

在過去的幾個世紀裡，物理學家學到的最重要的一課就是如果一個理論有內部矛盾，那這個理論就是錯的，而不是宇宙的問題。所謂內部矛盾指是理論的公設會導致相互矛盾的陳述，舉個例子，一個物理量被定義為機率，而它的值大於1，這顯然是錯誤的。

另一方面，如果一個物理學理論做出的預言與觀測結果完全不一致，那麼，這個理論也是錯誤的，但這不是本文所要討論的。本文的觀點是，自然法則在某種程度上是「不可避免的」，因為我們可以從假設公理中推導出結果。

即使你從未聽說過「認識論」，也很容易看出這個觀點是錯誤的。我們可以從公理中推導出的結果與假設公理一樣「不可避免」，這意味著結果不是不可避免的。但這個想法是錯誤的，這並不是有趣的部分。有趣的是，它仍然受到物理學家和科學作家的歡迎，他們似乎相信物理學可以神奇地自我解釋。

從何處獲得物理學理論的公理？

根據現有的知識，物理學家用最有效的方法來描述所觀測到的現象。當然，一旦物理學家寫下了一些公理，那麼從這些公理中衍生出的任何東西都可以說是一個不可避免的結果，這就是內在一致性的要求。

然而，公理本身永遠不會被證明是正確的，所以公理本身也永遠不會是必然的。我們只能在公理所產生的預測與觀測結果一致的情況下，才能說它們是「正確的」。

這不僅意味著我們將可能會發現一套不同的公理，它可以更好地描述實驗結果。更重要的是，任何關於自然法則必然性的說法，實際上都是我們無法為所觀測到的現象找到更好的解釋。

數學上的自洽並不意味著理論正確

事實上，某些公理給出結論的必然性與自然法則本身的必然性之間的這種混淆，並不是無害的。弦理論是一個典型的例子，弦理論學家堅信他們一定是在正確的軌道上，僅僅因為他們成功地構建了一個基本一致的數學結構。雖然弦理論在數學上的自洽是對自然的正確描述所必需的，但這還不夠。數學結構一致性並不能直接表明，理論所假設的公理是否能很好地描述觀察結果。

類似的情況也適用於圈量子引力論，相關的物理學家認為背景獨立性（時空的幾何結構是一個動態量，而非一成不變）是不言而喻的真理。類似地，有些物理學家認為統計獨立性是真理。然而，數學公理並非宇宙真理，它在現實中可能有用，也可能沒用。

除此之外，物理學家誤解數學在科學中的作用還有一個代表性的例子，那就是多元宇宙理論，或稱平行宇宙理論。

如何選出正確的物理學理論？

如果一個物理學理論引起了內部矛盾，這意味著至少有一個公理是錯誤的。但是消除內部矛盾的一種方法是簡單地拋棄公理，直到矛盾消失。

放棄公理並不是一種科學上卓有成效的策略，因為這樣最終得到的理論是模稜兩可的，無法做出有效的預測。但這是一種方便、省力的方法，可以解決數學問題，所以在物理學中很流行。

簡而言之，之所以會出現多元宇宙理論，是因為這些理論缺乏足夠多的公理來描述我們的宇宙。然而，不知何故，越來越多的物理學家成功地說服自己，多元宇宙假說是一個很好的科學理論。

在物理學中，有很多套公理在數學上是自洽的，但卻不能完全準確地描述我們的宇宙。如果要從中選出較好的理論，物理學家必須要堅持一個原理，那就是這些公理可以推導出正確的預言。然而，沒有辦法證明一組特定的公理必然是正確的，因為科學有其局限性。