如果有人告訴你說，天災人禍中沒有多少是隨機事件，你會不會相信？
比如說，給人類帶來巨大災難的颶風，其發生是有規律的。
再比如，疾病和死亡同樣具有各自的規律。
美國曾有一份針對死亡原因的統計數據顯示：
- 因各種自然災害在內的自然外力導致死亡的風險為1/3288；
- 因建築物發生火災而導致死亡的風險為1/1358；
- 因遭遇槍擊導致死亡的風險為1/314；
- 因自殺導致死亡的風險為1/119；
- 因致命性交通事故導致死亡的風險為1/78；
- 因癌症導致死亡的風險為1/5。
不難看出，雖然每天要面對各種各樣的風險，但因癌症導致死亡風險仍然是最高。
保險在做的事情是，提前計算好風險，並保證在發生風險後有足夠的保費能夠承擔相應損失。
這些基礎理論的使用，將保險從賭博的泥沼中拯救出來，才有了我們今天看到的繁榮的保險行業。
否則，保險很可能淪落成賭博，被大多數國家和地區所禁止。
我們之前介紹過保險的四大原則：最大誠信原則、近因原則、可保利益原則、損失補償原則。
今天我們再深入聊聊保險的基礎理論，正是這些基礎理論，讓保險成為一種科學，讓不可預知的承保風險成為可量化的統計數據。
本文重點內容：
- 機率論
- 大數法則
- 正態分布
- 貝葉斯推斷
- 死亡率
一、機率論
保險與賭博一樣，都是以損失少量資金，換取可以獲得大量資金的可能性。
所以保險發展之初，與賭博並無二致。
機率論的誕生，也源自賭博。
16世紀義大利數學家、物理學家、醫學家卡當被認為是機率論最早的提出者。
當時，擲骰子賭博在貴族中相當流行，玩法是：把兩顆骰子擲出去，以每顆骰子朝上一面的點數之和作為賭的內容，已知骰子的六個面分別為1-6點。
卡當醉心於擲骰子賭博，為了贏得賭博，他希望能夠預知賭注下在多少點上最為有利，於是不斷進行實驗和演算。
兩顆骰子朝上的兩面點數之和共有從2-12的11種，但卻是由36種不同方式組成。
到底多少才是最容易出現的和數呢？
上圖第一行和第一列分別代表兩顆骰子，每顆骰子都可以有1-6共計6種情況。
如果兩顆骰子各自擲出1-6的可能性相同，那麼，7是出現次數最多的和數，共出現6次，其機率為1/6。
所以卡當認為押7是最好的，並因此屢屢成為贏家。
這就是機率論的萌芽。
17世紀中葉，嗜好賭博的法國學者梅萊用擲骰子和賭友賭博。
雙方各押注32個金幣，約定梅萊先擲出三次6點算贏，賭友先擲出三次4點算贏。
當梅萊擲出了兩次6點，賭友擲出一次4點時，梅萊接到緊急通知，賭博不得不中途停止。
但在怎麼分配賭資方面，二人有了分歧。
賭友認為，如果他再擲出兩次4點就贏了，或梅萊再擲出一次6點也能贏。所以梅萊應該分2/3，自己分剩下的1/3。
梅萊則認為，這種分法不對。即使下次賭友擲出了一個4點，雙方打平，自己可以贏得1/2賭注，既32個金幣。
自己下次還有一半的可能性擲出6點，再得16個金幣，所以他應該分得64個金幣的3/4，賭友分1/4。
這就是歷史上著名的分賭注問題。
後來荷蘭數學家惠更斯來巴黎，被這些問題吸引住了。
回國後，惠更斯開始獨立研究，並解決了擲骰子中的一些數學問題。
他在1657年將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰遊戲中的計算》。
這應該是迄今為止被認為是機率論最早的論著。
機率論的誕生和發展都是圍繞著賭博。
機率是風險的數學語言。
如果風險能夠通過機率進行科學計算，那保險公司承保風險是不是也可以通過科學計算出來呢？
機率論給了保險強大的理論支撐。
不誇張的說，機率論支撐著整個金融業。
17世紀，法國天才數學家布萊茲·帕斯卡在其《思想錄》一書中曾提到：
「災害造成的恐懼應當不僅僅與災害的嚴重程度，同時還與事件發生機率成相應比例。」
這句話對於保險業的進化有著相當重要的作用，當然其中的關鍵是機率。
二、大數法則
既然機率是風險的數學語言，怎麼確保機率的準確性就顯得尤為重要。
大數法則粉墨登場。
大數法則反映了一個基本規律：
在一個包含眾多個體的大群體中，由於偶然性而產生的個體差異，著眼在一個個的個體上看，是雜亂無章、毫無規律、難於預測的，但由於大數法則的作用，整個群體卻能呈現某種穩定的形態。
比如：花瓶是由分子組成，每個分子都不規律地劇烈震動，但是你可曾見過一隻放在桌子上的花瓶，突然自己跳起來？
再比如：電流是由電子運動形成的，每個電子的行為雜亂而不可預測，但整體看呈現一個穩定的電流強度。
瑞士數學家雅各布·伯努利在前人研究的基礎上，繼續分析賭博的其他問題，給出了「賭徒輸光問題」的詳盡解法，並證明了「大數法則」，其內容是：在隨機事件的大量重複出現中，往往呈現幾乎必然的規律。
雅各布在《猜度術》中給出了伯努利數、伯努利定理等，而伯努利定理正是大數法則的最早形式。
雅各布認為，就算你無法直接得知一件事的真實機率，也能在觀察了足夠多次的結果後大致估計出這件事的發生機率如何。
他舉了一個遊戲來進行類比：
有一把裝滿黑球和白球的壺，怎麼確定黑球和白球的比例？
把所有球倒出來逐個數嗎？
雅各布認為不需要，如果基本確定這個比例大致在201/100~199/100，他就能告訴你需要拿出多少球來查看以驗證你的想法。
儘管這只是個簡單的遊戲，對實際問題的幫助可能也不大，但正如雅各布對萊布尼茨所說：
「如果把壺換成一個老人或者年輕人的身體，而身體攜帶著的致病細菌，就好比是壺中裝著的球，那麼進行觀察後，你就能以同樣的思路，知道老者離死亡的距離比年輕人近了多少。」
雅各布又說：
「即使死亡數是無限的，我們卻能用有限次的觀察估計出兩種人死亡數的比例，反覆觀察會使估計比例逐漸接近實際比例，直至兩者之間的差異難以被察覺，這個估計比例不完全準確，但從現實的角度而言已經足夠接近。」
1705年，雅各布曾這樣說道：「在類似條件下，一件事情未來的發生（或不發生）頻率將會與過去得出的情況保持一致。」
在所有為機率論做出貢獻的著名思想家中，雅各布可能是最重要的一位。
三、正態分布
法國-英國數學家棣莫弗爾告訴我們，任何疊代過程的結果都可以沿一條依據它們與均值或標準偏差之間的方差形成的曲線來分布，這就是正態分布。
他在1733年寫道：「儘管隨機導致了非規律性，但比率還是將會無比顯著。經過一定時間，那些非規律性將在原本固有規律的周期性復現中變得微不足道。」
舉例來說，就像中國人的身高，大部分成年男子的身高在1.7米左右，極端高和極端矮的情況極為罕見。
如果以身高為橫坐標，以取得此身高人數或機率為縱坐標，得出來的分布曲線是鐘形的，中間部分很高，越往兩邊，衰減越明顯。
這樣獲得的平均身高能夠代表整個群體的身高分布，這種就叫正態分布。
人類的壽命也遵循正態分布，68.27%的人相當集中，極端長壽和極端短命在龐大人群中微不足道。
這使得保險公司能夠簡單而精確地測算出合理保費，而無需在意個體的差異化。
四、貝葉斯推斷
英國數學家托馬斯·貝葉斯首先將歸納推理法用於機率論基礎理論，並創立了貝葉斯統計理論，對於統計決策函數、統計推斷、統計的估算等做出了貢獻。
他的《機會問題的解法》一書中提出這樣一個問題：
「給定一項未知事件已經發生和失敗的次數，求證該事件每次測試時的發生機率介於兩個指定數額之間的機會。」
他對這個問題的解答是：
「任意事件的發生機率都是依據事件發生預期所估算出來的價值與預期事件發生機會的比率。」
這預示了一個現代公式，即期望效用等於事件發生機率乘以事件所帶來的收益。
貝葉斯推斷是一種統計學方法，用來估計統計量的某種性質，它是貝葉斯定理的應用。
貝葉斯推斷建立在主觀判斷的基礎上，也就是說，你可以不需要客觀證據，先估計一個值，然後根據實際結果不斷修正。
正是因為它的主觀性太強，曾經遭到許多統計學家的詬病。
由於需要大量計算，在很長一段時間內，貝葉斯推斷無法得到廣泛應用。
計算機的誕生為貝葉斯推斷的應用創造了條件，它的威力正在日益顯現。
舉個常見的醫學案例：
已知某種疾病的發病率是0.1%，即1000人中會有1個人得病。
現有一種試劑可以檢驗患者是否得病，它的準確率是99%，在患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現陽性。
但誤報率是5%，也就是說，在患者沒有得病的情況下，它有5%的可能呈現陽性。
現在有一個病人的檢驗結果為陽性，請問他確實得病的可能性有多大？
我們得到了一個驚人的結果，約等於1.9%。
也就是說，即使檢驗呈現陽性，病人得病的機率，也只是從0.1%增加到了1.9%。
這樣的檢測結果完全不足以說明病人得病。
為什麼會這樣？
為什麼這種檢驗的準確率高達99%，但是可信度卻不到2%？
答案是與它的誤報率太高有關。
貝葉斯的理論和方法，如今已成為保險精算和風險管理的利器。
五、死亡率
1662年，英國約克大學統計學家約翰·格朗特出版了《關於死亡公報的自然與政治觀察》一書。
書中分析了60多年倫敦居民死亡的原因及人口變動的關係。
首次提出：通過大量觀察，可以發現新生兒性別比例具有穩定性和不同死因的比例等人口規律。
並且第一次編制了「死亡表」，對死亡率與人口壽命作了分析，使人口統計學成為一門相對獨立的學科。
這是世界上第一個死亡表。
格朗特利用教區死亡記錄數據來估計倫敦人口：
每年倫敦大約有13000葬禮，每十一個家庭平均每年3人死亡，家庭平均8個人，因此倫敦的人口約為384000。
不過，格朗特的數據並沒有涵蓋死亡人員的年齡問題。
後來，卡斯帕·諾依曼研究了17世紀90年代西里西亞口岸城市——布雷斯勞的城市檔案，這些檔案中詳細記錄了這個城市1687年~1691年間出生和死亡的人口，這為估計不同年齡層人的預期壽命提供了足夠信息。
這些數據在提交到倫敦皇家學會後，引起了天文學家埃德蒙·哈雷的注意。
哈雷用布雷斯勞的數據構建了死亡率表，記錄著不同年齡組的死亡頻率，並在1693年把他的研究結果發表在《皇家學會學報》上。
成為保險精算數學的基石之一，一直被沿用至今。
不難看出，真正讓保險發展起來的並不是商人，也不是保險公司，而是這些學者和他們提出的幾個理論。