本文內容來源於《測繪學報》2022年第3期（審圖號GS（2022）1460號）
基於Moore-Penrose廣義逆及立體矩陣的可分離非線性最小二乘解算方法
王珂1,2
1. 山東理工大學建築工程學院, 山東 淄博 255000;2. 山東科技大學測繪與空間信息學院, 山東 青島 266590
基金項目：國家自然科學基金(42074009);山東省自然科學基金(ZR2020MD043)
摘要：針對測繪領域中函數模型為非線性函數的線性組合的特殊結構, 本文提出了基於Moore-Penrose廣義逆和立體矩陣的可分離非線性最小二乘解算方法。該方法首先利用變量投影算法消除可分離非線性模型中的線性參數, 將包含兩類參數的原非線性優化問題轉化為僅含有非線性參數的最小二乘問題。然後, 基於Moore-Penrose廣義逆矩陣的微分和立體矩陣理論計算最小二乘目標函數的一階導數, 進而採用非線性優化的LM方法求解非線性參數的最優估值。最後, 根據最小二乘方法求解線性參數的最優估值。通過指數函數模型擬合和機載LiDAR全波形參數求解試驗與傳統參數不分離優化方法進行對比, 結果表明, 基於Moore-Penrose廣義逆和立體矩陣的可分離非線性最小二乘解算方法對待求參數初值依賴性低, 同時避免了疊代過程中線性參數導致的病態問題, 算法穩定性好, 為測繪領域中可分離非線性最小二乘問題的解算提供了一種思路, 也拓展了可分離非線性最小二乘方法的應用。
關鍵詞：可分離非線性最小二乘方法 非線性模型 參數估計 變量投影算法
引文格式：王珂, 劉國林, 付政慶, 等. 基於Moore-Penrose廣義逆及立體矩陣的可分離非線性最小二乘解算方法[J]. 測繪學報，2022，51(3)：340-350. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20200597
WANG Ke, LIU Guolin, FU Zhengqing, et al. A separable nonlinear least squares solution method based on Moore-Penrose generalized inverse and solid matrix[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(3): 340-350. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20200597
閱讀全文：http://xb.sinomaps.com/article/2022/1001-1595/2022-3-340.htm
引 言
非線性最小二乘法作為基本的非線性優化方法，廣泛應用於非線性函數模型的參數估計中[1-6]。然而，根據實際問題的來源，許多非線性函數模型具有特殊結構，若函數模型中待求參數一部分變量是線性的，一部分變量是非線性的，並且函數模型為非線性函數的線性組合形式，數學上稱為可分離非線性最小二乘(separable nonlinear least squares，SNLS)問題[7-9]。測繪領域中存在許多這種模型結構的參數估計問題，如雷射雷達(light detection and ranging，LiDAR)全波形回波信號高斯函數分解模型中，高斯特徵參數的求解[10-11]；空間直角坐標轉換模型中，旋轉參數、平移參數和尺度參數的求解[12-13]；神經網絡預測模型中，激活函數的中心位置、寬度和權值參數的求解[14]等。
傳統求解可分離非線性最小二乘問題的方法是將所有的待求參數(非線性和線性)均看作非線性參數，然後進行泰勒級數展開，利用非線性疊代法或直接搜索法尋找問題的最優解[15-16]。文獻[17]將LiDAR波形數據根據高斯分量的重要性進行篩選，然後利用非線性Levenberg-Marquardt(LM)優化算法求解各波形分量非線性參數(波峰位置、波形寬度)和線性參數(振幅)的最優值。文獻[18]對機載雷射測深波形分解中LM與Expectation Maximization(EM)參數優化方法進行了比較，就波形擬合效果而言，模擬數據分析和實測數據試驗均說明LM方法通常可得到比EM方法更接近原始波形的擬合結果，有利於進一步的波形分析，但受波形數據質量的影響較大。文獻[19]針對三維坐標轉換模型參數求解中先驗精度未知和觀測數據質量不佳的問題，以坐標轉換後的點位殘差加權平方和最小為原則，提出了基於Nelder-Mead單純形直接搜索的非線性參數求解方法，提高了三維坐標轉換參數的求解質量。文獻[20]針對非線性最小二乘求解病態問題的不穩定問題，提出了數值收斂解和收斂效率更優的Frozen-Barycentre疊代法。文獻[21]針對參數疊代過程中雅可比矩陣計算複雜的問題，結合自動微分和隱式疊代預處理技術，採用最速下降法和信賴域法求解非線性最小二乘問題。文獻[22]依賴對精度水平的控制，當檢測到精度太低無法進行優化時，對函數逼近方法進行改進，提出了一種基於動態精度評價函數和梯度函數的大規模非線性最小二乘的LM疊代算法，並證明了該算法的全局和局部收斂性。文獻[23]對基於變量投影算法參數分離的非線性最小二乘問題，提出採用LM優化方法對非線性參數進行求解以及採用線性最小二乘或基於L-曲線的譜修正疊代方法對線性參數進行估計的混合算法，豐富了可分離非線性最小二乘的參數估計方法，但對基於變量投影算法參數分離的目標函數中殘差向量雅可比矩陣的計算方法並未進行深入研究。綜上分析可知，非線性參數估計的研究主要針對模型的構建和參數優化過程進行改進，取得了很好的結果[24-25]，但很少有考慮函數模型可分離的特殊結構，並且將所有待求參數均作為非線性參數進行解算時，對參數初值的要求較高[26]。
本文從測繪領域中非線性函數模型的特殊結構出發，首先，將線性參數通過變量投影算法用非線性函數表示，基於Moore-Penrose廣義逆矩陣微分和立體矩陣理論推導了殘差向量雅可比矩陣的計算過程；然後，對參數分離後的非線性最小二乘問題利用LM優化方法進行求解，得到非線性參數的疊代方向和最優估值，進而採用最小二乘方法計算線性參數的最優解；最後，通過模擬試驗和LiDAR波形參數求解試驗驗證了基於Moore-Penrose廣義逆矩陣微分的可分離非線性最小二乘方法的有效性。
1 可分離非線性最小二乘法原理
設測量平差中的非線性函數模型和隨機模型為
(1)
式中，f(x) 為非線性函數向量；x為待求參數向量；L為觀測值向量；σ2為單位權方差；矩陣Q和P分別為觀測向量協因數陣和權陣。在非線性最小二乘準則下建立目標函數為
(2)
為便於討論，假設等精度觀測，權陣為單位陣(P=I)，參數求解問題則等價於求解非線性最小二乘優化問題[27-28]，即通過式(3)來確定最優參數
(3)
式中，‖·‖表示歐氏範數。
在式(1)的非線性函數模型中，若待求參數x由線性參數向量a和非線性參數向量b兩部分組成，且fi(x)為非線性函數的線性組合，將其可以寫成以下形式
(4)
式中，p是線性參數a的維數；q是非線性參數b的維數；令n=p+q，n表示待求參數的總個數；m表示觀測次數。
令Φ(b)的列對應的是與參數向量b相關的非線性函數ϕj(b), (j=1, 2, …,p)。那麼，非線性函數模型寫成矩陣形式為
(5)
則式(5)的非線性最小二乘優化問題為
(6)
若給定非線性參數b，則線性參數a的最小二乘最小範數解為
(7)
式中，Φ+(b)是Φ(b)的Moore-Penrose廣義逆[29]。
令向量L在Φ(b)列向量張成的線性空間上的正交投影為PΦ(b)=Φ(b)Φ+(b)，其正交補空間為PΦ(b)⊥=I-PΦ(b)，將式(7)代入式(6)可得
(8)
則原問題轉化為僅含有非線性參數的最小二乘問題。基於式(8)的算法也稱為變量投影算法[9]。
經參數分離後的平差函數模型為
(9)
2 基於Moore-Penrose廣義逆矩陣微分的變量投影算法
根據最小二乘準則，待求參數的最優值通過求極值方法得到[30]，其可分離非線性最小二乘的目標函數F(b)的一階導數為
(10)
因此，只需計算變量投影算子PΦ(b)的一階導數
。根據Moore-Penrose廣義逆矩陣的性質：Φ(b)Φ+(b)Φ(b)=Φ(b),Φ+(b)Φ(b)Φ+(b)=Φ+(b)，有PΦ(b)=PΦ(b)PΦ(b)，由此可知PΦ(b)為冪等矩陣，那麼
(11)
又由於PΦ(b)Φ(b)=Φ(b)，因此
(12)
將式(12)代入式(11)，得變量投影算子的一階偏導為
(13)
式中，
是一個m×p×q的立體矩陣，m、p、q分別表示矩陣的行、列和面。設有m次觀測，殘差向量中非線性函數矩陣為
(14)
那麼，的第i(i=1, 2, …,q)面由Φ(b)對bi的微分構成，即
(15)
根據立體矩陣的計算規則[31-32]，式(13)為
(16)
最終式(10)的目標函數一階導數為
(17)
則殘差向量的Jacobian矩陣J(b) 為
(18)
對目標函數F(b)用泰勒級數公式展開，並取至二階項，由以下優化模型來得到疊代方向
(19)
由極值條件可得
(20)
式中
(21)
因此，式(20)疊代方向dk為
(22)
由於矩陣J(b)對參數b求導計算複雜，對於小殘差問題，常用Gauss-Newton算法通過忽略式(22)中的二次項信息，但對於大殘差的問題，二次項信息的省略，導致該算法不能很好收斂。因此，為了兼顧計算量和算法的收斂性，LM算法通過增加μI項，其中μ>0，保證了JT(b)J(b)+μI始終為正定的，並且正參數μ的引入也避免了矩陣JT(b)J(b) 接近奇異時，搜索方向的模‖dk‖過大的問題。
設第k次疊代的非線性參數向量為bk，從而基於變量投影的可分離非線性最小二乘LM算法的疊代方向dk為
(23)
式中，μk>0，J(bk)是殘差向量V(bk)(式(9))關於bk的一階偏導構成的矩陣。
令V=[V1V2… Vm]T，Vi的梯度為
(24)
殘差向量的雅可比矩陣J(b) 的每一行由相應向量函數的梯度轉置得到，即
(25)
直接由式(13)可得
(26)
然後計算新的疊代點
(27)
直到目標函數滿足疊代終止條件，求解得到非線性參數向量b的最優解，結合式(7)計算線性參數的最優解。即
(28)
令係數矩陣
(29)
設觀測值向量L的協因數陣為QLL，單位權中誤差為
，根據協方差傳播定律可知，非線性參數和線性參數的方差-協方差估計公式[33-34]為
(30)
結合以上參數求解過程，基於變量投影算法參數分離的LM優化方法步驟如下。
(1) 給定非線性參數初值b0以及閾值0 <ε< < 1，並置疊代次數k=0。
(2) 計算非線性函數矩陣Φ(bk)和雅可比矩陣J(bk)。
(3) 根據式(23)和式(27)計算可分離非線性參數的疊代方向dk和第k+1次的參數值bk+1。
(4) 若目標函數梯度的範數‖ gk‖22=‖JT(bk)V(bk)‖22≤ε，停止疊代；否則k=k+1，轉至步驟(2)。
(5) 根據式(7)計算線性參數的解，進而得到所有參數的最優解(,)。
當非線性函數矩陣Φ(bk)為列滿秩且良態時，僅含有非線性參數的可分離非線性最小二乘問題(式(8))與原問題(式(6))參數估計結果一致，即，若非線性參數是可分離非線性最小二乘局部(全局)最優解，=Φ+L是線性參數的局部(全局)最優解，那麼，(,)也是原非線性最小二乘的局部(全局)最優解[22]。
當非線性函數矩陣Φ(bk)秩虧或病態時，則需要通過解算不適定問題的方法進行求解[35-36]，參數收斂結果也會有所不同。
3 試驗分析
為了驗證基於Moore-Penrose廣義逆矩陣微分的可分離非線性最小二乘方法在參數估計中的有效性，採用指數函數擬合的模擬試驗及LiDAR全波形分解試驗與傳統的參數不分離的非線性最小二乘LM優化方法進行了對比，試驗環境為Matlab 2016b，2.80 GHz PC，Windows10系統。
3.1 指數函數模型的擬合
模擬試驗源於放射性物質的衰變過程，其函數模型表達式為
(31)
式中，β=(β1,β2)T，λ=(λ1,λ2)T是待求衰減因子參數；ti是觀測時刻；ξ是觀測誤差。假設在沒有觀測誤差的影響下，衰減因子的真值為β1*=3.1,β2*=2.8,λ1*=10.1,λ1*=1.4，令ξ是標準差為0.1的高斯噪聲，試驗隨機生成時間t為[0, 2]範圍內均勻間隔的201個觀測數據yi,i=1, 2, …,m。
為了獲得待求參數的最優估計，首先根據實際觀測值列出誤差方程，並通過變量投影算法將線性參數進行消除，得到基於變量投影算法的誤差方程，然後基於Moore-Penrose廣義逆矩陣的微分和立體矩陣理論計算目標函數的雅可比矩陣，採用LM算法對非線性參數λ=[λ1λ2]T進行估計，當目標函數(殘差平方和)的梯度小於10-6時，疊代終止。
結合衰變模型的結構特點，根據參數初值選擇在真值附近或初值選擇常用的0和1得到4組不同的參數初值為[3 2 10 1]T、[0 1 10 1]T、[3 2 0 1]T和[0 1 0 1]T，然後採用本文提出的參數分離的LM優化方法對非線性參數進行優化，與參數不分離的LM優化方法進行結果對比。給定4組參數初值，參數分離方法和參數不分離方法得到的衰減因子估值均為[3.30 2.68 9.54 1.32]T。由該參數估值得到的擬合曲線如圖 1所示。
圖 1 參數不分離方法和參數分離方法的擬合曲線對比 Fig. 1 Comparison of fitted curves between parameter non-separation method and parameter separation method
圖選項
由圖 1可知，參數分離方法和參數不分離方法得到的指數函數模型曲線與觀測值擬合較好。
從疊代次數、殘差平方和、均方根誤差、擬合優度、相關係數和最大差值等評價指標對參數分離的LM優化方法得到的結果進行分析，為了減少計算機性能等影響因素對時間的影響，將線性參數和非線性參數初值均在真值附近的試驗中參數不分離方法的計算時間設為單位1，其餘試驗的時間對其進行比值，評價指標結果見表 1。
表 1 指數模型擬合試驗參數不分離LM方法和參數分離LM方法結果的評價指標對比 Tab. 1 Comparison of evaluation indexes between LM method without parameter separation and LM method with parameter separation in exponential model fitting experiment
結合參數最終估值結果和表 2可知，4組試驗的評價指標除疊代次數和疊代時間外，其餘指標結果相同，並且從擬合優度和相關係數的數值可以看出，參數分離方法和參數不分離方法都能與觀測值擬合較好；疊代次數方面，當目標函數(殘差平方和)的梯度小於10-6時，由於第1組和第2組的非線性參數初值相同，參數分離的LM優化方法不受線性參數初值的影響，因此疊代次數均為7，參數不分離方法由於線性參數的初值不同，疊代次數分別為23次和201次；第3組和第4組的非線性參數初值相同，參數分離的LM優化方法的疊代次數均為15，參數不分離方法的疊代次數分別為1808次和1794次；疊代時間方面，第1組試驗中雖然參數分離的LM優化方法疊代次數少，但是由於疊代過程中目標函數的一階導數計算複雜，導致計算時間比參數不分離的LM優化方法多了約23%，但第2組、第3組和第4組試驗中，參數分離方法的計算時間均比參數不分離方法少，特別是第3組和第4組試驗，由於參數分離的LM優化方法比參數不分離的LM優化方法的疊代次數分別減少了1793次和1779次，因此參數分離方法的計算時間明顯減少，計算效率得到顯著提高。另外，第1組和第2組試驗參數分離方法的時間理論上應該完全相同，但是由於計算機實時狀態的不同，所以計算時間有少許差別，第3組和第4組試驗的計算時間也是如此。
表 2 不同參數初值情況下殘差向量雅克比矩陣條件數對比 Tab. 2 Comparison of condition number of Jacobian matrix of the residual vector with different initial parameters
為了驗證參數分離方法對原問題病態性的改進，對基於變量投影算法參數分離的殘差向量雅可比矩陣的條件數進行分析，其4組初值對應的參數分離方法和參數不分離方法的條件數結果見表 2。
由表 2可知，同一組參數初值的參數分離方法雅克比矩陣的條件數比參數不分離方法更小，特別是第2組和第4組參數初值，原非線性最小二乘問題的雅可比矩陣的條件數均超過1018，存在明顯病態問題，而基於變量投影參數分離方法的雅可比矩陣的條件數分別為16.66和5.23，原問題的病態性得到明顯改善。
3.2 基於可分離非線性最小二乘的LiDAR波形分解
試驗採用海南某部分海域2012年12月測量得到的機載LiDAR測深數據進行波形分解，其波形數據採用Optech Aquarius機載測深系統測量得到，雷射脈衝頻率為70 kHz，以1~2 GHz的高採樣率記錄各採樣點的振幅，採樣間隔為1 ns，採樣數量為287。由於在反射率低的情況下，電壓值會很小，因此，將觀測值進行量化，得到數位訊號值(digital number)，即每一條波形由(ti, DNi),i=1, 2, …，287組成。利用雙高斯模型對海面回波和海底回波建立模型，即
(32)
式中，a=[a0a1a2]T，b=[μ1μ2σ1σ2]T是待求線性參數和非線性參數；ξ是測量誤差。
利用極大值檢測法及原始觀測值的圖像特點假設線性參數和非線性參數的近似值為
=[200 700 150]T，
=[30 130 3 3]T，然後根據非線性參數和線性參數是否在近似值附近選取4組初值，分別採用參數分離的LM優化方法和參數不分離的LM優化方法進行參數估計，當目標函數(殘差平方和)的梯度小於10-6時，疊代終止，根據參數估值結果得到擬合曲線如圖 2所示。
圖 2 不同參數初值的參數不分離方法和參數分離方法的LiDAR波形擬合曲線 Fig. 2 Comparison of LiDAR waveform fitted curves between parameter non-separation method and parameter separation method with different initial values of parameters
圖選項
由圖 2可知，參數分離的LM優化方法根據第1、2和3組的參數初值得到LiDAR波形曲線與原始觀測值擬合較好；參數不分離的LM優化方法第1組和第2組試驗得到的LiDAR波形曲線與參數分離方法相比，在第1個波峰處相差較大，第2個波峰擬合較好，第3組試驗得到的LiDAR波形在兩個波峰處與參數分離方法得到的擬合曲線都存在差值；第4組試驗無論是參數分離方法還是參數不分離方法都未能與觀測值進行較好擬合，也說明了兩種方法都對參數初值具有一定的依賴性。
從疊代次數、計算時間，殘差平方和、均方根誤差、擬合優度、相關係數和最大差值等評價指標與參數不分離的非線性最小二乘LM優化方法進行對比，與模擬試驗一樣，並將第1組參數初值在近似值附近的參數不分離方法的計算時間設為單位1，結果見表 3。
表 3 LiDAR波形擬合試驗參數不分離的LM方法和參數分離的LM方法結果的評價指標對比 Tab. 3 Comparison of evaluation indexes between LM method without parameter separation and LM method with parameter separation in LiDAR waveform fitting experiment
表 3中加粗的值表示離近似值較遠的初值。由表 3可知，當線性參數初值和非線性參數初值都選擇在近似值附近時(第1組)，參數分離方法和參數不分離方法的疊代次數都是10，疊代終止時，參數不分離方法的殘差平方和是6.31×104，參數分離方法的殘差平方和是6.13×104，從均方根誤差、擬合優度、相關係數和最大偏差4個評價指標也可以看出，參數分離方法得到的參數估計值精度更高，但是相同的疊代次數參數分離方法計算所需的時間更多。
當非線性參數初值選擇在最優值附近，線性參數初值任意選擇時(第2組)，參數分離方法由於只與非線性參數有關，所以與第1組試驗結果相同；參數不分離方法與第1組試驗相比，疊代次數增加1，均方根誤差由14.82增大為16.67，結合其餘評價指標可知，參數分離方法的擬合精度更高，但所需計算時間更多。
當線性參數初值選擇在最優值附近，非線性的部分參數(波形寬度)初值任意選擇時(第3組)，參數分離方法仍然可以得到與第1組試驗相同的結果；而參數不分離方法均方根誤差由第1組的14.82增加為21.52，擬合優度也由0.979 3降至0.956 4，由此可知，參數不分離方法更容易受參數初值的影響。
當線性參數初值選擇在最優值附近，非線性的部分參數(波峰位置)初值任意選擇時，參數不分離方法和參數分離方法都未得到與第1組精度一致的參數估值，結合圖 2可知，參數分離方法和參數不分離方法都對波峰位置參數的初值比較敏感。
對上述4組試驗中參數分離方法和參數不分離方法的殘差平方和變化過程進行對比，結果如圖 3所示。
圖 3 LiDAR波形擬合試驗參數不分離方法和參數分離方法殘差平方和的變化 Fig. 3 The change of the residual sum of squares between the parameter non-separation method and the parameter separation method in LiDAR waveform fitting experiment
圖選項
由圖 3可知，第1、2和3組在疊代終止時，參數分離方法的殘差平方和更小，也說明了參數分離方法在求解可分離非線性最小二乘問題時的參數估計精度更高，第4組試驗在疊代終止時雖然參數不分離方法的殘差平方和更小，但結合表 2可知，兩種方法得到均方根誤差(99.433 0和102.286 4) 都與參數初值在近似值附近(第1組)的結果(14.616 5)相差較大，說明兩種方法均未得收斂到待估參數的最優值。
為了更全面地對比參數不分離方法和參數分離方法的收斂結果，根據LiDAR波形分解中常用的峰值探測法得到波峰位置參數和振幅參數的近似初值，波峰寬度參數的近似初值由峰值一半處對應的兩點位置得到，然後以近似初值為中心，初值的一半為鄰域設定線性參數和非線性參數的取值區間，在均勻分布區間內隨機取200組線性參數和非線性參數的初值，進行疊代建模，進而分析200組試驗中兩種方法的均方根誤差、擬合優度、相關係數和最大偏差等指標的分布情況，結果如圖 4和表 4所示。
圖 4 LiDAR波形擬合200次試驗的效果評價指標分布情況 Fig. 4 The distribution of evaluation indexes in 200 experiments of LIDAR waveform fitting
圖選項
表 4 效果評價指標的統計結果 Tab. 4 The statistical results of effect evaluation indexes
由圖 4和表 4可知，參數分離方法的均方根誤差均值比參數不分離方法小34.721 3，說明整體上參數分離方法的精度更高；200次試驗中，擬合優度大於0.9的參數分離方法占74.5%，參數不分離方法占32.5%，相關係數大於0.9的參數分離方法占76.5%，參數不分離方法占35%；由兩種方法相關係數的標準差數值可知，參數分離方法200次試驗的相關係數標準差更小，說明其算法穩定性更好。
對200次試驗中非線性參數初值相同的參數分離方法的殘差向量雅可比矩陣的條件數與參數不分離方法進行對比，結果如圖 5所示。
圖 5 200次試驗中殘差向量雅可比矩陣的條件數對比 Fig. 5 The comparison of the condition number of the Jacobian matrix of residual vector in 200 experiments
圖選項
綜上分析可知：①參數分離的LM優化方法只對非線性參數初值具有一定的依賴性，比傳統參數不分離的LM方法對待求參數初值的要求更低；②參數分離的LM優化方法在對參數優化過程中，所需的疊代次數更少，計算效率更高；③若兩種方法的疊代次數相同，由於參數分離的LM優化方法在疊代過程中需要對Moore-Penrose廣義逆矩陣的微分和立體矩陣進行計算，增加了計算複雜度，因此需要的時間更多。
4 結論
基於Moore-Penrose廣義逆矩陣微分的可分離非線性最小二乘方法通過利用變量投影算法將原來含有兩類參數的優化問題轉化為僅含有非線性參數的最小二乘問題，降低了待求參數的維數，疊代過程只依賴非線性參數的初值，避免了線性參數初值導致的病態問題。機載LiDAR測深全波形數據擬合試驗結果表明，參數分離後的非線性最小二乘方法在波形參數求解過程中，參數估計精度更高，算法穩定性也更強，為機載LiDAR波形分解參數的求解提供了新的方法，也拓展了可分離非線性最小二乘方法在測繪領域的應用，但基於Moore-Penrose廣義逆矩陣的微分和立體矩陣的雅可比矩陣的顯式表達增加了計算複雜度，導致得到相同參數估計精度時，計算時間更多，因此如何提高計算效率也是可分離非線性最小二乘解算需要進一步研究的內容。
作者簡介
第一作者簡介：王珂(1990—), 女, 博士生, 講師, 研究方向為測量數據處理理論及應用。E-mail: wke@sdut.edu.cn
通信作者：劉國林, E-mail: gliu@sdust.edu.cn
初審：張艷玲
覆審：宋啟凡
終審：金 君
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會議
○ 關於舉辦《測繪學報》青年科學家沙龍(第1輯)的通知
○ 「第二屆新型基礎測繪高峰論壇」會議日程來啦！
○ 第二屆「地理資源青年創新論壇」一號通知
○ Geoinformatics 2022 暨CPGIS成立30周年年會（二號通知）
《測繪學報》
○《測繪學報》同濟專刊 | 龔健雅：智能遙感深度學習框架與模型設計
○ 測繪學報 | 曹聞：顧及空間分布與註記相關性的點要素註記配置算法
○ 測繪學報 | 姚翔宇：數字環境下面狀要素分級設色的適宜方案分析
○ 測繪學報 | 王昊：GNSS水汽層析的自適應非均勻指數分層方法
《測繪通報》
○ 《測繪通報》2022年第3期目錄
○ 《測繪通報》2022年第2期目錄
○ 地市級實景三維城市建設及應用
○ 基於GIS的東川區生態環境敏感性分析
《北京測繪》
○《北京測繪》2022年第2期摘要推薦
○《北京測繪》2022年第1期摘要推薦
○《北京測繪》2021年第12期摘要推薦
○《北京測繪》2021年第11期摘要推薦
《測繪科學技術學報》
○ 摘要 |《測繪科學技術學報》2021年第2期摘要推薦
○ 摘要 |《測繪科學技術學報》2021年第4期摘要推薦
○ 摘要 |《測繪科學技術學報》2021年第5期摘要推薦
○ 摘要 |《測繪科學技術學報》2021年第6期摘要推薦
《地球信息科學學報》
○ 《地球信息科學學報》2022年第3期佳文推介
○ 龔健雅院士：全球位置信息疊加協議與位置服務網技術研究進展與展望
○ 專題徵稿：地球信息科學技術在旅遊休閒領域的應用
○ 專刊徵稿：社會感知與地理大數據挖掘（徵稿中）
《測繪工程》
○ 摘要 |《測繪工程》2022年第2期摘要推薦
○ 摘要 |《測繪工程》2022年第1期摘要推薦
○ 摘要 |《測繪工程》2021年第6期摘要推薦
○ 佳文推介 | 單目視覺技術在室內定位中的應用研究
《中國空間科學技術》
○《中國空間科學技術》2022年第2期摘要
○《中國空間科學技術》2022年第1期摘要
○《中國空間科學技術》2021年第6期摘要
○《中國空間科學技術》2021年第5期摘要推薦
《衛星應用》
○《衛星應用》2022年第02期摘要
○《衛星應用》2022年第01期摘要
○《衛星應用》2021年第12期摘要
○《衛星應用》2021年第11期摘要
《Journal of Geodesy and Geoinformation Science》
○《測繪學報（英文版）》專刊徵稿 | 地圖學與地球空間信息教育：理論與實踐
○ 《測繪學報（英文版）》專刊徵稿 | 用於三維地理信息的攝影測量和計算機視覺
○ InSAR專刊 | 《測繪學報（英文版）》（JGGS）2022年第1期發布
○ GFZ德國地球科學研究中心-賀玉芳 | 《測繪學報（英文版）》（JGGS）InSAR專刊
○ 長安大學-朱武教授 | 《測繪學報（英文版）》（JGGS）InSAR專刊
《Satellite Navigation》
○ 楊飛博士：GNSS天頂對流層精化模型的構建與分析| SANA佳文速遞
○ 2022徵文| SatNav「普適定位、室內導航與基於位置服務」專題
○ 2022徵文| SatNav「GNSS地學應用」專題
○ 李昕博士：多頻多星座PPP-RTK原理及性能| SANA佳文速遞
《自然資源遙感》
○ 摘要 |《自然資源遙感》2022年第1期摘要推薦
○ 《自然資源遙感》徵稿：「海岸帶空間資源及生態健康遙感監測」專欄
○ 摘要 |《自然資源遙感》2021年第3期摘要推薦
○ 摘要 |《自然資源遙感》2021年第4期摘要推薦
《Journal of Geovisualization and Spatial Analysis》
○《Journal of Geovisualization and Spatial Analysis》入駐「智繪科服」融媒體平台！
○ JGSA國際期刊2021年第5卷第2期論文摘要
○ 高被引論文推薦 | Journal of Geovisualization and Spatial Analysis
○ JGSA論文推薦 | 地理信息科學研究在過去幾十年中都在關注什麼？
《全球定位系統》
○《全球定位系統》入駐「智繪科服」融媒體平台！
○《全球定位系統》論文推薦 | 劉光明：我國常用地心坐標系的現狀與發展
○《全球定位系統》2022年第1期目次
○《全球定位系統》2022年「衛星導航與增強」專欄徵文
《導航定位與授時》
○《導航定位與授時》入駐「智繪科服」融媒體平台！