本文編譯自量子雜誌網站
原文作者：Steve Nadis
編譯作者：Math001
關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文
大約公元前450年，安那克薩哥拉斯終於有了靜下來思考的時間。這位哲學家兼數學家的古希臘人聲稱太陽不是神，而是和羅奔尼撒半島一樣大的熾熱岩石。安那克薩哥拉斯因此被打入大牢。作為信奉「理性統治世界」的哲學家代表，他在獄中著手思考解決一個數學問題。這就是著名的化圓為方問題：用圓規和無刻度的尺子作一個和已知圓一樣大的正方形。
安那克薩哥拉斯的本來的那個問題其實在1882年就解決了。德國數學家林德曼用一套經典方法證明了尺規作圖化圓為方是不可能的。他證明了圓周率π是超越數。但是尺規作圖是不可能做出超越數的線段長度的，所以證明了問題的不可能性。
問題並沒有因此終結，意外的是，數學家們還在這個問題上工作著。1925年數學家塔爾斯基喚醒了這個問題，他修改了原始問題的規則：如果把圓分成完全相同的有限多塊，這些小塊是否能重新拼成一個面積相同的圓呢？這樣的問題有個統一的名字，叫做等體分解。
換句話說，如果兩個物體可以分解成大小和形狀完全同部分，那麼這兩個物體就是同等體分解的。更精確的說，如果兩個物體能分解成有限多個部分，每個部分完全一致，那麼就說這兩個物體就是同等體分解的。
1964年的一篇論文讓塔爾斯基版本的化圓為方問題有了第一次實質性的進展。論文的結論是，用剪刀是無法完成化圓為方的等體分解。著意為著，如果要解決這個問題，可能需要把圓分解成更複雜的分型：一種可能布滿小洞或者無限鋸齒的形狀。
1990年，數學家拉茨科維奇(Miklós Laczkovich)響亮的從正面解決了塔爾斯基的問題：塔爾斯基的化圓為方問題是成立的。
拉茨科維奇證明的是，用一種複雜和非常規的圖形對圓進行分解，用不超過10的50次方個小塊進行移動(連旋轉都不用)，這些小塊就能重新拼成正方形。
但是拉茨科維奇不直接操作幾何圖形而得到這個結果的。實際上，他把原本的幾何問題轉化成了圖論問題。用兩個頂點集合，一個集合對應圓，一個幾何對應正方形，然後之間建立兩個頂點集合之間的一一對應關係，從而完成的證明。
有數學家認為，拉茨科維奇的結果讓人「瞠目結舌」，拉茨科維奇向大家展示了如何「把一個圓的掰成直的」。
拉茨科維奇的證明還有一個瑕疵。這個證明是存在性證明，在數學界被稱為「非構造性證明」。他證明了事情可以辦到，但沒有給出分解的具體辦法來說明如何辦到。更讓人不爽的是，分解的小塊是「不可測的」，這意味著這些小塊的面積不存在。
幾十年後的2016年，格拉博斯基(Łukasz Grabowski), 瑪斯(Andras Máthé) 以及皮胡爾科(Oleg Pikhurko)共同撰寫的論文讓這個問題又有了重大進展。和拉茨科維奇的論文不同，證明幾乎是構造性的，就是說分解的每一個小塊都有明確的描述。但還是有一個瑕疵：把圓分解成的小塊並沒有填充滿正方形的全部，還有很小很小的一部分沒有填充。這沒有填充的部分面積是零，數學家稱為「零測度集」。
儘管還是沒做到完全覆蓋，但也是這個問題的重大進步——除了一個零測度集合，我們按塔爾斯基的規則成功的用構造性的方法化圓為方。
一年後，加州大學的馬克斯( Andrew Marks)和多倫多大學的安格(Spencer Unger)在這個問題上有取得重大進展，他們第一次用完全構造性的方法證明了塔爾斯基版本的化圓為方——而且是完整的拼成，沒有任何多餘部分。論文完整描述了如果把圓分成小塊，然後重新拼成一個等體積的正方形，不再有多餘的零測度集合。
這一次分成的小塊更多，需要大約10的200次方塊，每一個小塊的結構依然很複雜。論文作者認為，這是一個缺陷，因為這些小塊要站在數學家的立場才能理解，很難用形象的方式展示出來。
這就留下了改進的空間，用更少數量的小塊，或者更簡單的形狀的小塊。數學家並沒有停止探索，他們已經用計算機做了一個實驗，據說22塊就可以，但目前還沒有給出這個的證明。
關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文