本文內容來源於《測繪學報》2022年第8期（審圖號GS京（2022）0490號）
利用TSVD參數估值變化特性確定算法截斷參數
林東方1,2,3
, 姚宜斌2,4, 鄭敦勇1,3, 李朝奎1,3
1. 湖南科技大學測繪遙感信息工程湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201;
2. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079;
3. 湖南科技大學地理空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，湖南 湘潭 411201;
4. 武漢大學地球空間環境與大地測量教育部重點實驗室，湖北 武漢 430079
收稿日期：2021-07-22；修回日期：2022-05-11
基金項目：國家自然科學基金(42104025);湖南省自然科學基金創新研究群體項目(2020JJ1003);湖南省重點研發計劃(2018GK2015);中國博士後科學基金(2021M702509);地球空間環境與大地測量教育部重點實驗室測繪基礎研究基金(20-01-04);湖南省自然科學基金(2021JJ30244)；湖南省自然資源科技計劃(2022-07；2022-29)
摘要：TSVD是大地測量病態問題解算的常用有效方法。影響TSVD解算效果的關鍵因素是截斷參數，現有截斷參數確定方法可提供有效的截斷參數，但仍難以給出最優截斷參數。以均方誤差最小為準則確定截斷參數是一種理論依據較充分的截斷參數確定方法，但均方誤差計算所需的模型參數真值在實際應用中無法獲得，導致該方法難以給出理論最優截斷參數。鑑於此，本文研究了基於均方誤差影響下(方差與偏差聯合影響)參數估值變化特性的TSVD截斷參數確定方法。通過TSVD依次截掉小奇異值，獲得奇異值截掉前後的方差與參數估值變化，利用兩者變化分析確定偏差影響，避免依賴參數真值計算偏差，從而確定出均方誤差最小理論下的截斷參數。數值與應用試驗結果表明，本文方法確定的截斷參數可有效改善TSVD解算效果，是一種行之有效的截斷參數確定方法。關鍵詞：病態問題截斷奇異值法截斷參數均方誤差偏差
引文格式：林東方, 姚宜斌, 鄭敦勇, 等. 利用TSVD參數估值變化特性確定算法截斷參數[J]. 測繪學報，2022，51(8)：1787-1796. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210377
LIN Dongfang, YAO Yibin, ZHENG Dunyong, et al. Determination of truncation parameter based on the differences of TSVD parameter estimates for ill-posed problems in geodesy[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(8): 1787-1796. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210377
閱讀全文：http://xb.chinasmp.com/article/2022/1001-1595/20220812.htm
引 言
受觀測條件限制，在地球重力場反演、GNSS空間環境測量及InSAR地表形變測量等大地測量應用領域常會出現病態問題[1-7]。病態問題導致模型解算穩定性較差，難以得到準確可靠的模型參數估值，如何處理與解算病態問題成為大地測量數據處理的重要研究內容[8-9]。
病態問題具體表現於函數模型的奇異性及模型參數估計的擾動性上[10]。病態函數模型設計矩陣往往包含較小的甚至接近於零的奇異值，該奇異值導致參數估值方差較大，觀測數據中的微小誤差即引起參數估值的劇烈擾動，這種情況下，常規最小二乘估計難以得到模型參數的準確估值[11]。為了提高估值的穩定性和可靠性，文獻[12—15]在最小二乘估計基礎上提出了正則化法、嶺估計法、截斷奇異值法(truncated singular value decomposition，TSVD)等有偏估計方法。在均方誤差意義下，3種方法均通過增加偏差、減少方差的形式降低模型參數估值均方誤差，然而如何確定偏差與方差平衡點，以最大程度降低均方誤差，仍是3種方法尚未解決的難題[16-17]。TSVD通過截掉小奇異值來降低方差，是一種較為簡捷高效的病態問題解算策略，在諸多領域得到了廣泛應用[18-19]。影響TSVD模型參數估值均方誤差的關鍵因素是截斷參數，目前，常用的截斷參數確定方法主要有L曲線法、均方誤差最小法等，L曲線法通過計算模型參數估值二範數與觀測值殘差二範數變化曲線的拐點來確定截斷參數。L曲線法確定的截斷參數沒有明確的理論依據，曲線拐點處的參數估值並不代表最優的參數估值[20-21]。均方誤差最小法通過計算各截斷參數下的模型參數估值均方誤差最小值確定截斷參數[22]，該方法理論依據明確，但均方誤差的計算需要利用模型參數真值，而真值是未知的，以估值代替真值計算的均方誤差與真實均方誤差存在一定差異，限制了TSVD解算效果。
均方誤差反映了模型參數的估計質量，對於有偏估計，均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD截掉小奇異值引起參數估值方差與偏差的變化(方差減小，偏差增大)，該變化將反映在模型參數估值的變化上。鑑於此，本文利用參數估值變化分析奇異值截掉後的偏差變化，結合奇異值截掉後的方差變化確定最優截斷參數，克服參數真值未知偏差難以計算問題，並通過試驗驗證本文方法的可行性與有效性。
1 病態問題解算的TSVD方法
1.1 TSVD解算方法
TSVD方法是在最小二乘估計算法基礎上發展的病態問題解算方法，最小二乘估計準則表示為[23-25]
(1)
式中，V=AX-L，表示觀測值殘差向量；A表示設計矩陣；L為觀測向量；X表示未知模型參數；P為權重矩陣；由最小二乘估計準則可得模型參數估值為
(2)
若函數模型病態，則設計矩陣A存在較小的奇異值，對A進行奇異值分解可得
(4)
式中，U表示左奇異向量矩陣；S表示奇異值矩陣；G表示右奇異向量矩陣；γ表示奇異值，γ1>γ2>…>γn>0。由此可得模型參數估值方差
(5)
由式(5)可知，小奇異值導致參數估值方差較大，嚴重降低了模型參數估計精度[11, 22]，TSVD算法通過截掉部分小奇異值來降低方差，提高模型參數估計穩定性，具體表示為
式中，G與U均取前t列向量。
(7)
式中，t表示由截斷參數確定的需保留的t個較大奇異值。
1.2 常用TSVD截斷參數確定方法
影響TSVD解算效果的關鍵因素是截斷參數，最優截斷參數可最大程度提高模型參數的估計精度。目前，最為常用的截斷參數確定方法有L曲線法、均方誤差最小法等。
1.2.1 L曲線法
以log||Xt||為縱坐標，log||AXt-L||為橫坐標繪製曲線，通過計算曲線上曲率最大點確定最優截斷參數。該曲線形似L，因此稱作L曲線法。L曲線法的核心是認為L曲線上曲率最大點對應的截斷參數即是最優的截斷參數[21, 26]。
令η=log||Xt||，ρ=log||AXt-L||，則L曲線曲率可計算為
(8)
式中，ρ′、η′為一階導數，ρ″、η″為二階導數，以不同截斷參數計算L曲線曲率，曲率最大點km對應的截斷參數即為最優截斷參數。L曲線法缺乏合理的理論依據，所確定的截斷參數穩定性較好，但難以給出最優的截斷參數。
1.2.2 均方誤差最小法[22]
均方誤差是模型參數估值與真值之間差值的數學期望，反映了參數估值相對於真值的離散程度。TSVD模型參數估值均方誤差可表示為
式中，Mt表示均方誤差；E表示數學期望運算；
由式(9)可見，均方誤差的計算需要模型參數的真值，但實際應用中，參數真值是未知的。鑑於此，均方誤差最小法以模型參數估值代替真值計算均方誤差。第1步，利用TSVD方法截掉1個最小奇異值獲得模型參數初步估計值；第2步，以初步估值代替真值計算不同截斷參數下的均方誤差，由最小均方誤差確定最優截斷參數，再次估計模型參數，得到該截斷參數下的模型參數估值；第3步，將模型參數第2步估值替代真值重新計算不同截斷參數下的均方誤差，確定最優截斷參數，如此疊代計算，直至兩次模型參數估值二範數收斂到某一較小值[22]
然而，以估值代替真值計算的均方誤差並非實際的均方誤差，由此確定的截斷參數受初值影響較大，常導致疊代過程不收斂或收斂於初值，限制了截斷參數確定可靠性。
1.3 改進TSVD截斷參數確定方法
1.3.1 截斷參數確定方法
有偏估計均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD通過截掉小奇異值來降低方差，但截掉小奇異值導致模型偏離，引起模型參數估計偏差。TSVD模型參數估計均方誤差可擴展為[22]
式中，Tt為TSVD模型參數估值方差總和；bt為估值偏差。通過奇異值分解，方差與偏差可表示為
(12)
(13)
式中，gi表示右奇異向量矩陣的第i列向量。
由式(12)和式(13)可知，TSVD每截掉1個小奇異值後，方差的減少量和偏差的增加量不盡相同。在截掉小奇異值後，方差的減少大於偏差的增加，則均方誤差會降低，參數估值精度得到提高，估值更接近於真值。因此，判斷某小奇異值是否需要截掉的關鍵在於該奇異值截掉後，方差減少量和偏差增加量的大小關係，即
(14)
式中，方差減少量σ02/γi2可通過式(12)計算得到，然而，偏差增加量
分析方差與偏差對模型參數估值影響可知，TSVD每截掉一個小奇異值，模型參數估計方差與偏差會產生不同變化，這種變化將直接體現在參數估值變化上。由此，可計算出相鄰奇異值截掉後的方差變化量與模型參數估值變化量，其中，模型參數估值變化量應包含截掉後一奇異值所引起的方差變化影響及偏差影響。在方差變化已知的情況下，參數估值變化量應可有效反映出偏差的變化。
相鄰奇異值截掉後的方差變化量分別為σ02/γi2與σ02/γi+12(奇異值由大到小排列，TSVD由後向前截掉小奇異值，先截掉第i+1個奇異值，再截掉第i個奇異值)，模型參數估值變化為
(15)
由此，可建立奇異值截斷方法
(16)
本文方法利用去除方差影響的TSVD模型參數估值變化近似描述奇異值截掉後的偏差變化，有效避免利用參數真值計算偏差，不受參數真值未知情形影響，與實際應用相符，具備較好的可行性與實用性。
1.3.2 標準差與參數估值變化確定方法1.3.2.1 參數估值標準差變化量
標準差是方差的平方根，在無偏估計的情況下，標準差即是均方根誤差，反映了參數估值與真值之間的差異。由式(12)可知，標準差的計算需要單位權方差，單位權方差反映了觀測數據的觀測精度，在儀器觀測精度已知的情況下，可由儀器精度計算得到。在儀器觀測精度未知時，可利用多餘觀測，通過無偏估計計算得到。
由最小二乘估計可得觀測值殘差向量
對設計矩陣A進行奇異值分解化簡可得
式中，Um表示對應於奇異值的m×n階左奇異向量矩陣，則單位權方差可通過式(19)估計為
(19)
由式(19)可知，單位權方差的估計與多餘觀測數有關，與奇異值大小無關，因此，在包含多餘觀測的情況下，可實現單位權方差的估計，利用單位權方差估值即可得到截掉奇異值後的標準差變化量
(20)
1.3.2.2 參數估值變化量
病態性對最小二乘估計的影響主要體現在小奇異值對參數估值方差的嚴重擴大。TSVD通過截掉小奇異值來消除其對方差的影響。截掉小奇異值降低了參數估值方差，但同時向參數估值中引入了偏差。因此，截掉某小奇異值後，方差和偏差的變化共同引起參數估值的變化。依次截掉相鄰兩個奇異值後的參數估值變化可計算為
式中，bi表示參數估值變化量；
從參數估值變化量中除去標準差變化影響即可估計出偏差變化影響
由式(20)和式(22)可知，截掉奇異值後的標準差變化量和偏差影響量均可通過式(22)計算得到。因而，該截斷參數確定方法的理論依據更為明確客觀，容易實現。但是，該方法依然存在缺陷，即在觀測精度未知情況下，單位權方差的估計需利用多餘觀測來實現，多餘觀測的質量和數量決定了單位權方差估計的可靠性，進而影響到標準差計算的準確性。因此，該方法更適用於包含豐富多餘觀測的情形。
2 試驗分析
2.1 空間測量試驗
採用空間測邊網算例進行試驗分析，算例中包含2個未知點，9個已知點，通過19個等精度觀測確定未知點坐標，觀測中誤差0.01m。未知點坐標真值為A(0，0，0)與B(7，10，-5)，兩未知點之間的約束觀測值為13.1859m，已知點坐標及其他觀測值情況見表 1。
表 1 空間測邊網觀測信息Tab. 1 Spatial ranging information
| 已知點點號 | X坐標 | Y坐標 | Z坐標 | 至A點觀測值 | 至B點觀測值 |
| 1 | 23 | 10 | 0.01 | 25.0787 | 16.7652 |
| 2 | -10 | 9.99 | 0 | 14.1345 | 17.7196 |
| 3 | 35 | 10.01 | -0.01 | 36.4159 | 28.4429 |
| 4 | 100 | 19.99 | 0.005 | 101.9794 | 93.6654 |
| 5 | -36 | 10.005 | 0 | 37.3642 | 43.2991 |
| 6 | 0 | 10.01 | -0.005 | 10.0100 | 8.6006 |
| 7 | 56 | 9.995 | 0.01 | 56.8961 | 49.2562 |
| 8 | -15 | 10.015 | -0.01 | 18.0359 | 22.5597 |
| 9 | -1.7 | 10.008 | 0.015 | 10.1506 | 10.0438 |
表選項
為了驗證本文算法的有效性，針對上述測量問題，制定了兩種解算方案：方案1利用18個觀測值對兩個未知點進行聯合解算；方案2引入A、B約束觀測，利用19個觀測值聯合解算兩個未知點。
(1) 方案1。在A、B點聯合解算時，設計矩陣的奇異值情況見表 2，奇異值中包含較小接近於0的奇異值，設計矩陣存在病態問題。由圖 1可見，在截掉奇異值數為1時，參數估值相對於最小二乘估計變化量為2.55m，標準差減少量為1.84m。可見參數估值變化近70%是由標準差變化引起的，剩餘30%則可認為是由偏差引起。因此，截掉最後1個奇異值，有利於降低參數估值均方誤差。在截掉奇異值數為2時，參數估值變化量為0.22m，標準差變化量為0.04m，可見參數估值變化20%是由標準差變化引起，而剩餘80%可認為由偏差引起，截掉該奇異值不利於降低均方誤差。由此，本文方法確定的截斷參數為1。L曲線法、均方誤差最小法確定的截斷參數見表 3。
表 2 A、B點聯合解算設計矩陣奇異值Tab. 2 Design matrix singular value of joint estimation
| γ1 | γ2 | γ3 | γ4 | γ5 | γ6 |
| 2.8639 | 2.4276 | 1.7626 | 0.8880 | 0.0980 | 0.0023 |
表選項
圖 1 截掉奇異值後的參數估值及標準差變化Fig. 1 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values
圖選項
表 3 不同方法模型參數估計結果Tab. 3 Model parameter estimation results of different methods
| 參數 | 最小二乘 | L曲線-截斷參數3 | 均方誤差最小-截斷參數1 | 本文方法-截斷參數1 |
| X A | -0.006 | -0.005 | -0.005 | -0.005 |
| YA | 0.048 | -0.001 | -0.001 | -0.001 |
| ZA | 2.750 | 0.196 | 0.196 | 0.196 |
| XB | 7.001 | 7.004 | 7.001 | 7.001 |
| YB | 10.025 | 9.810 | 10.025 | 10.025 |
| ZB | -5.009 | -4.995 | -5.009 | -5.009 |
| ∑|Δ| | 2.838 | 0.401 | 0.237 | 0.237 |
表選項
由表 3可知，病態問題影響了最小二乘估計的參數估值精度。TSVD通過截掉小奇異值可有效改善最小二乘方法參數估計結果，降低參數估計誤差。但L曲線法截掉3個小奇異值的坐標參數估計誤差要大於均方誤差最小法與本文方法截掉一個最小奇異值，可見均方誤差最小法與本文方法確定的截斷參數優於L曲線法，由此表明，兩種方法均可得到較優的截斷參數。
(2) 方案2。引入聯測約束的設計矩陣奇異值見表 4。由表 4可知，引入聯測約束後，觀測方程設計矩陣病態性得到改善，對比表 2，各奇異值均有所增大，病態性影響減弱。繼續採用最小二乘與TSVD方法解算參數進行對比分析。本文截斷參數確定方法參數估值及標準差變化情況如圖 2所示，截掉任一奇異值後的參數估值變化量均要遠大於標準差變化量，即截掉奇異值後的偏差影響要大於方差影響，因此，不應截掉奇異值，本文方法確定截斷參數為0。L曲線與均方誤差最小法確定截斷參數見表 5。
表 4 引入聯測約束的設計矩陣奇異值Tab. 4 Singular values of design matrix with constraint
| γ 1 | γ2 | γ3 | γ4 | γ5 | γ6 |
| 2.9429 | 2.4700 | 1.9587 | 0.9646 | 0.6853 | 0.0443 |
表選項
圖 2 截掉奇異值後的參數估值及標準差變化Fig. 2 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values
圖選項
表 5 不同方法模型參數估計結果Tab. 5 Model parameter estimation results of different methods
| 參數 | 最小二乘 | L曲線- 截斷參數3 | 均方誤差最小- 截斷參數1 | 本文方法- 截斷參數0 |
| X A | -0.005 | -0.008 | -0.005 | -0.005 |
| YA | -0.006 | -0.008 | -0.000 | -0.006 |
| ZA | -0.068 | 0.181 | 0.228 | -0.068 |
| XB | 7.001 | 6.987 | 7.003 | 7.001 |
| YB | 10.022 | 9.770 | 9.874 | 10.022 |
| ZB | -5.009 | -5.159 | -4.999 | -5.009 |
| ∑|Δ| | 0.110 | 0.599 | 0.363 | 0.110 |
表選項
由表 5可知，引入聯測約束後，病態問題對最小二乘估計的影響減弱，最小二乘方法可得到參數的可靠估值。採用TSVD方法進行解算，通過L曲線法、均方誤差最小法確定的截斷參數，TSVD分別需要截掉3個和1個奇異值，但截掉奇異值引入偏差對參數估值的影響要大於降低方差，從而降低了參數估值精度。採用本文方法確定的截斷參數為0，無須截掉奇異值，則TSVD與最小二乘估計結果相同，參數估值精度最優。
TSVD是在最小二乘估計基礎上建立的病態問題解算方法，其解算效果取決於截斷參數的選擇。綜合分析兩種方案的解算結果可知，L曲線法確定截斷參數依賴於奇異值大小差異，差異較大時，則容易出現拐點，但該拐點不能保證模型參數估計質量；均方誤差最小法易受最小奇異值截掉後模型參數估計質量的影響，初步估計結果往往決定了截斷參數的選擇；本文方法綜合考慮了奇異值截掉後的方差變化及參數估值變化(即方差與偏差影響)，截斷參數確定依據充分，兩種方案下均給出了合理的截斷參數，有效提高了TSVD模型參數估計精度。
2.2 PolInSAR植被高反演試驗
PolInSAR是大地測量中具備穿透測量能力的新興熱門測量技術，已在大範圍植被高度與林下地形測量中得到了廣泛應用。PolInSAR通過多極化穿透觀測，能夠有效地獲取植被覆蓋區地表及植被體散射信息，為植被高度及林下地形測繪提供了可能。然而，PolInSAR多極化觀測模型參數之間存在一定的相關性，導致利用多極化數據進行植被高反演時常出現病態問題[27-29]，限制了植被高度的反演精度。為了驗證本文方法的可行性與有效性，選取了德國宇航局BioSAR2008項目的E-SAR P波段多極化數據進行植被高反演試驗，觀測數據信息見表 6。此外，試驗區擁有高精度LiDAR植被高測量數據，可用於對比分析PolInSAR植被高反演結果。
表 6 觀測數據參數信息Tab. 6 Information of multi-polarization observation
| 基線序號 | 觀測方式 | 時間基線/min | 空間基線/m | 垂直波數範圍 |
| 09 | 全極化 | 53 | 24 | 0.024~0.135 |
表選項
散射模型是刻畫雷達波在植被覆蓋區穿透傳播過程的物理模型，是利用PolInSAR多極化觀測信息反演植被高度的基礎，隨機地體二層散射(RVoG)模型是目前應用最為廣泛的散射模型，該模型有效建立了極化觀測量與植被參數之間的函數關係。具體表達為
(23)
式中，ω表示極化散射狀態；γ(ω)為對應於極化狀態ω的復相干係數，為已知觀測值；φ0表示地表相位，為未知參數；μ(ω)表示地體幅度比，為未知參數；γv表示純體相干性，與植被高參數相關聯。γv具體表達為
(24)
式中，σ表示消光係數，為未知參數；θ表示雷達入射角，為已知值；hv表示植被高參數，為未知參數；kz表示垂直向有效波數，為已知值。極化觀測γ(ω)及純體相干性γv為複數值。由散射模型可構建函數模型
由式(25)結合複數最小二乘估計準則，可構建高斯-馬爾可夫(Gauss-Markov，G-M)模型[28-29]
式中，Vγ表示殘差向量；Aγ為係數矩陣；Xγ為模型參數改正數向量；Lγ表示實部與虛部殘餘常數向量。利用式(26)實現植被高參數平差估計。
本次試驗利用HH、HV、VV、HHpVV、HHmVV、opt1、opt2、opt3、PDHigh、PDLow這10種極化方式觀測數據，進行植被高參數估計。誤差方程共包含植被高、地體幅度比等13個未知模型參數，設計矩陣奇異值情況見表 7。
表 7 觀測方程設計矩陣奇異值Tab. 7 Design matrix singular values of observation equation
| γ1 | γ2 | γ3 | γ4 | γ5 | γ6 | γ7 | γ8 | γ9 | γ10 | γ11 | γ12 | γ13 |
| 7.5217 | 1.2632 | 0.7132 | 0.4774 | 0.3955 | 0.2994 | 0.2312 | 0.2110 | 0.1700 | 0.1424 | 0.0780 | 0.0213 | 6.46e-17 |
表選項
由表 7中的奇異值情況可知，設計矩陣存在嚴重的病態性。圖 3為奇異值截掉後的TSVD參數估值及標準差變化情況。由於最小奇異值過小，截掉後標準差變化過大，參數估值及標準差變化趨勢拆分為圖 3(a)、圖 3(b)兩部分展示。由圖 3可知，前2次截掉小奇異值，方差減少影響均要大於偏差增加影響，有利於降低模型參數估值均方誤差。在第3次截掉奇異值後(截掉奇異值數為3)，方差減少對參數估值的影響要小於偏差增加對其影響，第3次截掉奇異值不利於均方誤差的降低。因此，本文方法確定截斷參數為2。為了對比分析，分別採用L曲線法、均方誤差最小法確定截斷參數，解算觀測方程，獲得植被高、地體幅度比等模型參數的TSVD估值。表 8為不同方法模型參數估計的結果。
圖 3 截掉奇異值後的參數估值及標準差變化Fig. 3 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values
圖選項
表 8 不同方法模型參數估計結果Tab. 8 Model parameter estimation results of different methods
| 參數 | 最小二乘 | L曲線-截斷參數12 | 均方誤差最小-截斷參數1 | 本文方法-截斷參數2 |
| hv | 94.4050 | 17.1002 | 22.2509 | 21.4240 |
| μ1 | 2.2460 | 0.7488 | 1.4255 | 1.2859 |
| μ2 | 0.4228 | 0.4730 | 1.0431 | 0.9509 |
| μ3 | 8.1290 | 1.6928 | 2.7193 | 2.3387 |
| μ4 | 3.3645 | 1.0973 | 1.9044 | 1.6904 |
| μ5 | 2.7793 | 1.1378 | 1.9607 | 1.7370 |
| μ6 | -0.1420 | 0.0997 | 0.4745 | 0.4311 |
| μ7 | 19.4574 | 4.4487 | 6.6371 | 3.9450 |
| μ8 | 4.7086 | 1.6983 | 2.7197 | 2.3374 |
| μ9 | 2.3528 | 1.2709 | 2.1466 | 1.8895 |
| μ10 | 1.4312 | 0.4728 | 1.0480 | 0.9559 |
表選項
由於函數模型中包含一些過程參數無參數真值進行對比分析，因此表 8僅給出了植被高及影響植被高反演的地體幅度比參數的估計結果。由式(23)可知，地體幅度比參數影響了純體相干性的相位高度，相位高度越接近於植被冠層，則植被高反演越準確。由表 8中兩類參數的反演結果可知，3種TSVD解算方法有效改善了最小二乘方法參數估計結果。相較於LiDAR植被高測量結果(20.02m)，L曲線法確定截斷參數時，TSVD植被高估值偏低，這與地體幅度比的估值結果相符，因為地體幅度比估值相較於其他兩種方法也偏低，則純體相干性相位高度位於植被冠層以下，從而造成植被高參數低估。由均方誤差最小法確定截斷參數時，植被高與地體幅度比估值均偏高，這與L曲線法相反，過高的地體幅度比導致純體相干性相位高度位於植被冠層以上，造成植被高參數高估。採用本文方法確定截斷參數時，儘管植被高與地體幅度比估值仍偏高，但相較於其他兩種方法有明顯改善，植被高估計結果最接近於LiDAR結果，精度最高。便於直觀對比分析，整幅數據的植被高估計結果如圖 4所示。
圖 4 各方法植被高反演結果Fig. 4 Vegetation height inversion results of each method
圖選項
由圖 4可以看出，受模型病態性影響，最小二乘估計已無法獲得植被高參數的可靠估值。採用TSVD方法進行解算，不同截斷參數下的植被高反演結果存在較大差異。由L曲線法確定截斷參數，TSVD方法反演的植被高結果相較於三階段初值未有明顯改善，這主要由於L曲線法截掉的奇異值過多，出現過度平滑，解算結果未能得到改善。均方誤差最小法確定截斷參數，植被高反演結果相較於初值有明顯改善，但與LiDAR結果相比，存在一定高估。這是由於均方誤差最小法僅截掉一個最小奇異值，雖然病態性得到了較大改善，但剩餘小奇異值病態性仍較為嚴重，植被高反演均方誤差仍較大，導致存在高估。由本文方法確定截斷參數，TSVD表現最優，植被高反演結果最接近於LiDAR植被高結果，表明新截斷參數確定方法可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數估計精度。為了量化分析，由圖中均勻選取1377塊樣地，統計分析植被高反演誤差情況，統計結果如圖 5所示。
圖 5 各方法樣地植被高反演誤差Fig. 5 Standards vegetation height inversion errors of each method
圖選項
由圖 5可知，最小二乘估計均方根誤差較大且離散程度較高，估計精度較差，無法獲得植被高可靠估值。由L曲線法確定截斷參數的TSVD方法，植被高估計結果離散度有較大改善，均方根誤差相較於最小二乘估計有顯著降低；但相較於其他方法仍較大。均方誤差最小法確定截斷參數，TSVD植被高估值均方根誤差優於L曲線法，但差於本文方法。由本文方法確定截斷參數，TSVD植被高估值均方根誤差均低於其他方法，與LiDAR樣地植被高符合程度最高，表明本文方法確定截斷參數的TSVD植被高估計結果最佳，驗證了本文方法在改善TSVD解算效果上的可行性與有效性。
3 結論
TSVD方法是處理病態問題的常用有效方法，在大地測量各領域得到了廣泛應用。截斷參數的選擇決定了TSVD方法的解算效果，常用的截斷參數確定方法從不同角度給出了有效的截斷參數，但仍難以確定最優截斷參數。均方誤差最小法考慮了TSVD模型參數估值均方誤差的變化，可在均方誤差理論下保證模型參數估值精度，是一種理論依據較為完備的截斷參數確定方法，但均方誤差的計算需要模型參數真值，在實際應用中無法滿足，導致該方法難以確定出理論上的最優截斷參數。鑑於此，本文提出了考慮均方誤差視角下參數估值變化差異的TSVD截斷參數確定方法，利用奇異值截掉後的方差與參數估值變化關係分析確定偏差影響，綜合方差與偏差影響，最終實現基於均方誤差最小準則的截斷參數確定。模擬與實際應用的試驗結果表明，本文方法確定的截斷參數可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數估值的精度與可靠性。
作者簡介
第一作者簡介：林東方(1986—)，男，博士，講師，研究方向為測量平差與PolInSAR數據處理。E-mail：lindongfang223@163.com
通信作者：姚宜斌, E-mail：ybyao@whu.edu.cn
初審：張艷玲
覆審：宋啟凡
終審：金 君
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