（一）伽利略生平
伽利略於1564年2月15日出生於比薩，三天後偉大的文藝復興藝術家米開朗基羅去世。歷史學家把這一生一死說成是從研究藝術向鑽研科學過渡的標誌。伽利略的父親是一位數學家，一個沒落的貴族。他希望伽利略去學醫，因為一個醫生掙的工資是一個數學家的三十倍。但伽利略顯然並不認為學醫有多大意思，他的頭腦里思考著的是另一些問題。
伽利略循著阿基米德的足跡，進行觀察、實驗，把具體的事物化為抽象的數學關係，從中推導出對事物的簡單、概括的數學描述。伽利略對物理現象的獨立研究，使得他相信那些被奉為權威的亞里士多德物理學內容中有許多嚴重的錯誤。1632年，伽利略把他的研究成果發表在《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書中。該書採用對話體的形式，對話的雙方有三個人，薩而維阿蒂和沙格列陀是伽利略的朋友和擁護者，辛普利丘是公元6世紀時亞里士多德著作的注釋者，在書中扮演傳統和權威的捍衛者。三個人在四天裡作了四次內容廣泛的談話。第一天論證了地球和行星一樣，是一個運動的天體；第二天討論了周日運動；第三天討論了周年運動；第四天討論了潮汐問題。
伽利略的《對話》是近代天文學史上三部最偉大的傑作之一（另兩部是哥白尼的《天體運行論》和牛頓的《自然哲學的數學原理》）。在伽利略發表《對話》之前，他因信仰哥白尼學說而受到教會警告，「日心說」已經被宣布為「歪理邪說」。《對話》一出版即轟動了整個學術界。教皇烏爾班八世雖然是伽利略的好朋友，但在當時內外交困和學術界的壓力下，不得不對伽利略採取措施。
伽利略被傳召到羅馬宗教法庭受審，他宣布放棄信仰，宗教法庭感到滿意而判處他終身監禁，並命令他三年裡每星期都要背誦《詩篇》中的七首懺悔詩。傳說伽利略在公開放棄信仰之後喃喃自語說：「可是，它還是在運動的呀！」但應該把這僅僅看做是傳說。《對話》1835年被從天主教的禁書錄中去掉。
在被監禁幾個月之後，伽利略獲准到佛羅倫斯附近的阿切特里過隱居生活。這時他對科學的熱忱仍不減當年，只是不再涉及可能引發與教會衝突的問題。1636年他完成了另一本重要的科學著作《關於兩種新科學的談話》，該書於1638年在荷蘭出版。《談話》仍採用對話的形式，人物與《對話》中的完全相同。伽利略在這本書中從非科學因素中擺脫出來，全力把他創立的動力學系統地介紹給了讀者。伽利略的天文發現無疑非常重要，但從純科學的觀點來看，他對力學的貢獻更為重要。伽利略對於落體定律、鐘擺和拋射體運動的研究，樹立了科學地把定量實驗與數學論證相結合的典範，至今仍是精密科學的理想方法。
（二）實驗方法的運用
早在1581年，當時還在比薩大學學醫的伽利略，有一次到教堂去做禮拜，顯然他沒有虔誠地聆聽上帝的福音。伽利略心不在焉地看著搖晃的蠟燭架子，看到它擺動越來越小，最後慢慢停了下來。他尋思：每次擺動的時間是不是也越來越短呢？對此他數著脈搏作了測量。結果令他奇怪，儘管每次擺動的幅度越來越小，但每擺動一次的時間總是一樣的。回家後伽利略用一根繩子綁了一塊石頭重複了這個實驗，發現結果是一樣的。他進一步用各種不同長度的繩子綁了不同重量的石頭做同樣的實驗，發現：對於給定的繩子長度，不管綁的是重石頭還是輕石頭，擺動周期都相同。這就是我們現在都熟悉的單擺裝置的問世。伽利略還在學醫，他建議用標準長度的單擺來測量病人的脈搏，這就是「脈搏儀」的發明。但是這是他對醫學的最後一次貢獻了。經過與父親的一番爭論後，伽利略改變了他的大學學習計劃，開始研究數學和其他科學。
為什麼單擺的周期與擺動的大小無關？為什麼重的石頭和輕的石頭系在同一繩子的一端時，是以相同的周期擺動的？伽利略無法解決第一個問題——因為這需要微積分的知識，而微積分要到100年後由牛頓發明出來。伽利略也沒有解決第二個問題——這要等到愛因斯坦關於廣義相對論的工作問世才能解決。雖然無法回答問題，但提出問題也是一個重要貢獻。而且，沒有答案也不妨礙伽利略利用繩子和石頭做實驗。
單擺的運動是重力引起下落的特例。如果我們放開一塊石頭，沒有東西拴住它，它就會一直掉到地上。但是石頭如果拴在繩子的一端，繩子的另一端固定在天花板上，那麼石頭被迫沿著一段圓弧下落。不管輕的或重的石頭，它們拴在同一根繩子上，到達最低點的時間總是相同的。那麼，這兩塊石頭在同一高度放手後，掉到地上的時間也一定相同。這個結論與當時公認的亞里士多德的觀點相牴觸——後者認為重的東西比輕的東西下落快！為了向別人證明自己是正確的，伽利略從比薩斜塔上扔下了兩個重量不同的球，結果兩個同時扔下的球同時著了地。歷史考證似乎證明這次演示沒有真的做過，但是伽利略肯定做過類似的實驗——也許不是在塔頂上，而是在自家屋頂上。
（三）數學方法的使用：計算與定理
伽利略在實驗中觀察到，當石頭被放開後，它在空中下落的速度越來越快。他想知道這種越來越快的下落運動符合什麼樣的數學定律。由於自由落體運動得太快，伽利略沒有現代的高速照相機，所以無法對落體運動進行詳細研究。但是，他想出了「稀釋重力」的辦法。他用球在斜面上滾動，斜面越陡，球滾動得越快。在垂直面的極限情況下，球沿這個面自由落下。在這個實驗中伽利略面臨的主要困難是測量小球走過不同距離所需要的時間。當時鐘表還沒有發明，他想出來的解決辦法是用「水鍾」，通過一個大容器里流出的水量來測量時間。他記下小球從起點開始在相同時間間隔內走過的距離，發現這些距離成1:3：5:7……的比例。當斜面更陡時，相等時間裡小球走過的相應距離也變長，但是它們的比例保持不變。伽利略推測這個規律在自由下落的極限情形下也一定成立。在數學上，上面這個規律很容易改寫成：小球走過的總距離與所經過時間的平方成正比。如果把小球在第一段時間間隔內所走過的距離取作單位長度，那麼在以後一系列時間間隔的末尾，小球走過的總距離將是12:22:32:42……
根據觀察到的運動距離與時間的依賴關係，伽利略得出結論說，這一運動的速度一定是與時間成簡單的正比關係，即：
速度=加速度×時間
伽利略還證明了，在從靜止開始的勻加速運動中，運動物體走過的距離是它在整個時間內以不變的速度運動時所應走過距離的一半。因此：
距離=1/2×速度×時間=1/2×加速度×時間2
這種從現象中抽出物理規律，並用數學公式表述之的研究方法成為近代以後科學的基本特徵。
（四）運動的合成和運動的相對性
伽利略對動力學的另一個重要貢獻，是關於運動合成的觀念。對於水平拋出的石頭，伽利略認為這塊石頭參與了兩個獨立的運動：（1）速度恆定的水平運動，這個速度是拋石頭的手給它的；（2）速度與時間成正比的自由落體運動。
伽利略的這個運動合成的觀念具有深刻的物理意義。假定從一艘快速運動的帆船的桅杆頂上投下一塊石頭。當放手的瞬間石頭也具有與船一樣的水平速度，所以放手之後它還會繼續以這一水平速度運動，直到它落到桅杆底部前，一直保持這個水平速度。石頭運動的垂直部分是加速的自由落體運動，所以它將正好落在桅杆底部的甲板上。在現在看來這是一個很明確的事實，但在伽利略時代，大家相信亞里士多德的教導，認為物體只有受到推力時才運動，推力一旦消失，運動就要停止。根據這種觀點，在桅杆頂上投下的石頭會垂直掉下來，而船在繼續前進，這樣石頭會掉在船尾附近的甲板上。中世紀經院哲學的特點就是對這類問題翻來覆去討論不休，而沒有一個人會願意爬到正在行駛的船的桅杆頂上扔一塊石頭試試。有意思的是，伽利略也沒有親自去做過這個實驗，他認為實驗的結果完全可以從一些假設的前提推導出來。
在這裡，伽利略涉及了一條運動學的基本原理——運動相對性原理。在1632年出版的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書中，伽利略對運動的相對性作了生動的描述：
設想把你和你的朋友關在一隻大船的艙板下最大的房間裡，裡面招來一些蚊子、蒼蠅以及諸如此類有翅膀的小動物。再拿一隻盛滿水的大桶，裡面放一些魚；再把瓶子掛起來，讓它可以一滴一滴地把水滴出來，滴入下面放著的另一隻窄頸瓶子中。於是，船在靜止不動時，我們看到這些有翅膀的小動物如何以同樣的速度飛向房間各處；看到魚如何毫無差別地向各個方向遊動；又看到滴水如何全部落到下面所放的瓶子中。而當你把什麼東西扔向你的朋友時，只要他和你的距離保持一定，你向某個方向扔時不必比向另一個方向用更大的力。如果你在跳遠，你向各個方向會跳得同樣遠。儘管看到這一切細節，但是沒有人懷疑，如果船上情況不變，當船以任意速度運動時這一切應當照樣發生。只要這運動是均勻的，不在任何方向發生搖擺，你不能辨別出上述這一切結果有絲毫變化，也不能靠其中任何一個結果來推斷船是在運動還是靜止不動。
在封閉的船艙中做任何力學實驗都不可能發現一隻船是停泊在港口還是行駛在海上。這個說法現在稱之為「伽利略相對性原理」。此後幾乎花了300年，這個原理才由愛因斯坦推廣到在一個做勻速運動的封閉系統中觀測光學和電磁現象的情況。