方程的開端，是小學數學的雞兔同籠問題。
雞兔同籠，對於小學算術來說還是非常難的。
第一次接觸這問題的小學生，估計要想好久。
如果使用一元一次方程的話，就算是小學生也可以在20分鐘內算出來。
從雞兔同籠問題之後，方程就代替算術成為了數學研究的重點。
這個時間在人類文明史上非常的早，至少可以追溯到公元前500年。
在2次方程的求根被解決之後，方程的求根成為了問題。
當然，這裡說的方程都是多項式方程，而不是偏微分方程[捂臉]
1，多項式是一個環，
按照抽象代數的理論，多項式是一個環。
環，是一個定義了加法和乘法運算的封閉集合，並且加法和乘法都符合結合律、分配律，並且加法還符合交換律。
環的加法有逆元，它是個（交換的）阿貝爾群。
環的乘法不要求有逆元。
2個多項式的加法和乘法，符合環的定義。
(ax^2 + bx + c) + (dx^2 + ex + f) = (a+d)x^2 + (b+e)x + (c+f).
所以，只要係數的加法和乘法是個環，那麼多項式的加法和乘法就是個環。
多項式P[X]的係數是定義在域上的，係數的加法和乘法當然是個環，畢竟域的條件比環嚴格的多。
一般來說，係數所在的域P是有理數域Q、實數R、或複數C。
在方程的求根問題上，係數的域是Q。
2，環的理想，
環跟群差不多，一樣可以定義同態。
環的乘法並不要求構成一個群，所以環的同態是以加法為主的。
因為環有2個運算符，所以同態的規則包含2條：
f(a + b) = f(a) + f(b),
f(ab) = f(a) f(b).
如果f在兩個環R和R'之間是一一對應的雙射，那麼就是環的同構。
如果不是一一對應的，那麼就是環的同態。
環也有個同態的核，叫環的理想，一般以字母J表示。
環的同態是以加法為主，所以它的同態核是被映射到0的元素集合：f(a) = 0'。
例如：整數除以5的餘數只有{0, 1, 2, 3, 4}，這就是個環的同態x' = x % 5，
{0, 5, 10, ..., 5n}組成的集合就是環的理想。
素數對整數環Z的理想，都是5Z這樣的形式：
不能因式分解的多項式f(X)，對多項式環P[X]的理想，也是f(X)P[X]這樣的形式。
不能因式分解的多項式，叫不可約多項式。
環的理想和群的正規子群類似，實際上就是環的「正規子環」，所以它也可以定義商環。
環K、理想J、商環K/J之間也像群G、正規子群H、商群G/H一樣，存在（環的）同態。
3，不可約多項式的商環是個域，
不可約多項式在多項式環中的地位，跟素數在整數里的類似。
方程的求根，實際上是求不可約多項式的根，因為其他多項式可以因式分解。
例如：
x^3 - 1 = 0的求根不是3次方程的求根，而是2次方程的求根，
因為 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0，
所以 x^3 - 1不是不可約多項式，x^2 + x + 1 才是。
不可約多項式f(X)的理想是f(X)P[X]，它的商環P[X] / (f(X)P[X])是個域。
(不可約多項式f(X)的商環一般寫成(f(X))，省略掉它所在的多項式環P[X]）
理想 f(X)P[X]，實際上就跟素數5的理想5Z類似，都是可以因式分解出f(X)的多項式的集合：
在方程f(X) = 0時，f(X)P[X]也等於0。
所以如果環的同態映射是f(X) = 0，那麼f(X)P[X] = 0就是同態的核，也就是環的理想。
怎麼證明，不可約多項式的商環是個域？
1）如果f(X)可以因式分解：f(X) = a(X)b(X)，其中a(X)和b(X)都不是0，且次數都小於f(X)。
就跟6 = 2x3，所以2除以6的商是0、餘數是2一樣，
a(X) 除以 f(X) 的商也只能是0，餘數（余多項式）還是a(X)，因為它的次數比f(X)小，
因為剩餘類是：0, cX + d, eX^2 + fX + g, ..., 直到比f(X)小1次的所有多項式。
商環是剩餘類的集合：
方程 f(X) = a(X)b(X) = 0，但a(X)和b(X)都不等於0，也就是不符合消去律！
域必須符合消去律：也就是ab = 0必須能得出a = 0或b = 0。
所以f(X)可約的情況下，商環不是域。
2）剩餘類中的任意一個多項式 a(X) 的次數都小於 f(X)，
如果 a(X) != 0 同時 f(X) 不可約，那麼 a(X) 和 f(X) 兩兩互素！
以整數當例子：2 != 0，3 不能因數分解，2和3顯然兩兩互素。
兩兩互素的情況下，存在2個非零整數滿足 2c + 3d = 1，顯然c = -1, d = 1就滿足條件。
這是素數的性質，因為兩兩互素的整數a, b的最大公約數是1，所以存在ac + bd = 1：這個是可以證明的。
對於兩兩互素的多項式a(X)和f(X)，也存在2個非零多項式 c(X)和d(X)，滿足：
a(X)c(X) + d(X)f(X) = 1，
在商環（剩餘類）上，f(X) = 0，所以a(X)c(X) = 1，
也就是商環的任意一個多項式都有乘法逆元（俗稱倒數）。
任何非零元素都有倒數的情況下，消去律肯定成立！
因為如果ab = 0, 並且a != 0的話，乘以a的倒數就可得出b = 0了。
消去律成立，那麼商環就是個域。
這個條件也非常強，因為是從正反兩個方面推導出來的，所以：
商環是個域，若且唯若它對應的多項式不可約。
4，不可約多項式在商環（域）上至少有1個根，
多項式的係數在被多項式映射到商環上之後，還是原係數。
多項式P[X]的係數ai是域P里的元素，它是個常數。
常數除以次數 >= 1的多項式，商0，餘數還是它自己。
2x + 1的係數2用(2x + 1)c + d表示的話，肯定是c = 0, d = 2：
因為x是未知數，只有c = 0, d = 2，才能讓x無論取任何值都有 (2x+1)c + d = 2。
所以多項式
它的係數被同態到商環之後：
也就是說，(f(X)) 是的理想。
我們把d(X)f(X)簡寫成df，那麼：
在商環上f(X) = 0，也就是右邊 = 0：右邊是理想的元素，因為它可以被f(X)整除。
在商環上a'i = ai，因為它是域上的常數，不是多項式，沒法被f(X)整除。
所以：
也就是X' 是 f(X) = 0的一個根：它位於商環上，而商環是域。
公式里採用了愛因斯坦記號，上下標一樣表示求和，把西格瑪符號給省略了。
這裡的上標同時表示未知數的次數。
（物理上的張量方程里，上標只表示未知數的標號）
一次式肯定是不可約的，所以它在商環上有1個根。
一次式的連乘積也可以用數學歸納法不斷地往上推，形成一個域上的多項式的鏈條，最終得到所有的根，也就是多項式的分裂域。
例如：f(X) = (X - c1)(X - c2)...(X - cn)，
1）首先考慮 P[X] 上的多項式 X - c1，實際就是1次式[捂臉]
它在商環 P[X] / (X - c1) 上有1個根c1，並且商環是域，記作P1。
2）再考慮域P1上的多項式環P1[X]，它的多項式X - c2也不可約，所以也在商環上有1個根，並且商環 P1[X] / (X - c2) 是 域P2。
3）因為多項式的次數是有限的，所以可以把所有的根都包含進去，獲得分裂域。
4）如果是高次的不可約多項式，在商環上有了1個根之後就可約了，商環也是域。
並且，去掉根的1次式之後，剩下的不可約多項式的次數比原多項式少1。
所以，最終是肯定可以獲得分裂域的。
5，同一個多項式的不同分裂域之間是同構的，
如果域P和P'之間存在一個同構映射g，那麼它們的多項式P[X]和P'[X]在這個映射之下也是同構的，只要把係數ai變到g(ai)就可以了：
兩個多項式的分裂域F和F'，也只是在P和P'的基礎上添加了幾個根而已。
F和F'之間不同的也只是根的添加次序。
不管F和F'之間的添加次序怎麼變，它們總是一一對應的：
當然，域P和P'可以都是有理數Q[呲牙]
同構映射g也可以是有理數Q與它自己的恆等映射。
在Q的恆等映射之下，f(X)和f'(X)是一樣的，F和F'的不同只是根的添加次序不同，但它們是同構的。
但是，不同的根之間的對應次序是可以置換的，即：
根之間的對應次序，也就是分裂域F與它自己之間的元素對應次序：其中基域Q上的元素次序不變（保持恆等）。
這個根的對應次序的置換，就是伽羅瓦群。
第4節和第5節說明了：
1）多項式方程有根，根在商環上，商環是個域，
而且還能形成包含所有根的「商環鏈」，即分裂域，
2）分裂域在同構下是唯一的，
3）分裂域的伽羅瓦群只會置換根的對應次序，不會改變基域上的元素（包括係數）。
6，域的正規擴張與根式擴張，
如果在擴張域F上有根的多項式f(X)，都是線性因式的乘積，那麼叫正規擴張。
根式擴張，就是擴張域F是添加了一個數的n次方根形成的，即：
每個根式擴張，都包含在某個正規的根式擴張里。
是正規根式擴張，所以它是X^2 - 2 = 0的分裂域。
不是正規根式擴張，它不是X^3 - 2 = 0的分裂域。
因為Q包含1的所有2次複數根（也就是實數1和-1），但不包含1的所有3次複數根。
也是2的3次方根，因為取3次方之後複數部分就變成1了。
只是添加2的3次實數根，X^3 - 2是沒法分解成一次因式的乘積的，必須再添加1的3次複數根才行。
看過我之前寫的3次方程求根的讀者，應該還記得A3交錯群是個3階循環群，它對應的就是1的3次複數根。
而且，卡爾達諾公式和拉格朗日預解式里，都有1的3次複數根。
給添加上1的3次複數根之後，就是正規根式擴張了：
如果不添加1的3次複數根，X^3 - 2 = 0就只能分解成：
因為沒被包含在裡面，第2個因式是2次項而不是1次項，所以它只是根式擴張。
添加了1的3次複數根之後，才是正規根式擴張。
顯然，後者包含前者。
7，正規根式擴張的伽羅瓦群，是可解群。
域的根式擴張鏈：P->P1->P2->...->Pn = F，
給它添加一個1的n次複數根之後的擴張鏈：
伽羅瓦群 是交換群，後面的一串都是循環群，這兩類群都是可解的。
只要添加了1的n次複數根，就是循環群。
1的複數根，正好在複數乘法下是個循環群。
根之間的循環變換，正好可以用1的複數根的幾次方來對應。
群可解的充要條件就是，正規子群可解和商群可解。
既然那條鏈上要麼是交換群，要麼是循環群，那麼G是可解的。
G既然是可解群，那麼它的正規子群和商群也是可解群：
8，多項式方程的根式可解，若且唯若它的伽羅瓦群可解。
這個其實跟第7節差不多，如果方程的根都包含在正規根式擴張中，那麼正規根式擴張的伽羅瓦群是可解群。
如果伽羅瓦群是可解群，那麼添加了1的n次複數根之後，還是可解群。
添加了1的n次複數根之後，所有類似 X^n - a = 0的多項式就都可以分解成1次因式的乘積了。
所以，不管方程需要添加什麼樣的根式擴張，實際上都可以添加進去，而且都是正規根式擴張。
因為正規根式擴張的定義，就是多項式可以分解成1次因式的連乘積。
9，尾聲，
不知道伽羅瓦200年前是怎麼在5年內（16-21歲）給出伽羅瓦理論的。
他提出了群論之後，直接幹掉了整個多項式方程的求根領域。
從1832年之後，人們再也不用討論方程的求根了。
the Galois theory，
諸神之黃昏。