老黃最近寫的都是關於大型不定積分公式推導的問題，估計很多小夥伴都已經看不下去了吧。就好像人吃太多肥肉，本身的消化系統受不了，這樣學習的效果肯定很差的。因此首先要建立好自己的消化系統。就像老黃這樣，雖然本身是一個很笨的人，但是通過不懈的努力，已經建立起了一套比較完善，功能相對比較強大的消化系統，因此，不僅可以理解複雜的不定積分公式，而且自己也能推導這些公式。
這次老黃想給大家分享一點比較素的，說一說「正弦餘弦積的倒數的不定積分怎麼求？」即，
求∫dx/(sinxcosx).
求這個不定積分，運用的是第一換元積分法的思想。儘管如此，它卻依然有兩種換元的方法。完全領會這兩種換元的方法，能幫助你徹底弄懂第一換元積分法的精髓。
被積函數中包含有常量函數和三角函數。因此我們可以考慮兩種換元的方法。方法一可以對常量函數換元，方法二可以對三角函數換元。
其實方法一更容易想到。因為sinxcosx=(sin2x)/2，因此這個不定積分是可以被化為餘割的不定積分形式的。而餘割的不定積分是有公式的，即∫cscudu=ln|cscu-cotu|+C. 這些公式平時多用，久而久之處自然就能記得住了。這裡為了避免和下面的積分變量發生衝突，改用u表示積分變量，其實u=2x.
第一換元積分法都有一個湊微分的過程，因為餘割是關於2x的餘割，所以微分就要湊成關於2x的微分，即利用2dx=d(2x)，把積分變量化為u=2x. 說到這裡，解法一就一切都水到渠成了。
解1：原積分=∫d(2x)/sin(2x)=∫csc(2x)d(2x)=ln|csc(2x)-cot(2x)|+C.
瞧，基礎知識鞏固之後，解決問題多麼簡便。這個過程中，隱藏了第一換元積分法t=2x的應用，因此老黃稱之為「第一換元積分法的隱性應用」。接下來繼續分析解法2，關於三角函數的第一換元法怎麼做。
三角函數的換元法常見於第二換元積分法，但其實第一換元積分法也會涉及到三角函數換元的。區別在於，第一換元積分法是記t=tanx，而第二換元積分法是記x=tant.
通過觀察，可以發現，如果我們對被積函數的分子分母同時乘以cosx，那麼被積函數就可以轉化為cotx(secx)^2. 而cotx=1/tanx, (secx)^2dx=dtanx, 記t=tanx，那不就得到了一個經典的不定積分公式： ∫dt/t=ln|t|+C了嗎？ 說干就干，解法2如下：
解2：原積分=∫cosxdx/(sinx(cosx)^2)=∫cotx(secx)^2dx=∫dtanx/tanx=ln|tanx|+C.
瞧！這個過程中，換元部分t=tanx同樣被隱藏起來了，也是隱性應用的一個例子。當學習者熟練第一換元積分法之後，基本上用的全是隱性應用，很少人或很少情況下會把第一換元法顯性應用出來的，那樣顯得太囉嗦了。
解法2需要比較強的觀察和思考能力。但是我們學習高數，有一方面不就是為了提高自己的觀察和思考能力的嗎？因此不要滿足於解法1的簡便，解法2同樣必須掌握哦，那樣對自己的能力提高更有幫助，才能建立起自己的消化系統。
最後，我們還可以從這兩種解法中得到一個三角函數關係，就是csc(2x)-cot(2x)和tanx有倍數關係。它們極有可能是相等的。有興趣的小夥伴可以自己推導一下，因為不是本文的重點，老黃就不繼續幫大家推導了。