老黃此前用自己的方法推導過正整數冪函數與餘弦或正弦的積分公式如下：(在《老黃學高數》系列學習視頻第255講中有詳細介紹)
在高等數學《數學分析》中也有兩個相關的公式，不過它們並不是最終形態的公式，而是兩個互相推導的遞推公式：
因此老黃突發奇想，能不能由教材的這兩個公式，互相推導，得到最終的公式形式，而且推導出來的公式，會不會和老黃自己的推導的公式是一模一樣的呢？即能否用①②，推出(1)(2)?
老黃的脾氣就是想到就鑽研，說干就干。首先，證明公式①②。這也是一個重要的學習和探究過程。
探究1：記In=∫x^n*cosxdx, Jn=∫x^n*sinxdx, n∈N*.
證明：In=x^n*sinx-nJ_(n-1) ①, Jn=-x^n*cosx+nI_(n-1) ②
證明過程以圖片的形式展示如下圖：
過程還是相當簡單的。然後再用①②，推出(1)(2).
探究2：求In=∫x^n*cosxdx, Jn=∫x^n*sinxdx, n∈N*.
依據：In=x^n*sinx-nJ_(n-1) ①, Jn=-x^n*cosx+nI_(n-1) ②
同樣求解過程以圖片的形式展示如下圖：
其實最後一步還是蠻燒腦的。至少對老黃這種智商欠費的人來說，是怎麼也想不明白的。但老黃笨人有笨法，老黃是通過無數次嘗試錯誤，最終推出這個正確的結論的。當然，那是老黃之前在推導自己的公式時，就做好的事情，這裡老黃只需檢驗其正確性就可以了。
下面做一道例題和一道練習。
例：求I7=∫x^7*cosxdx和J6=∫x^6*sinxdx.
從例題的結果可以看到，兩個不定積分求和或求差，都是可以合併同類項的。
練習：求∫x^8*(cosx-sinx)dx.
這道題有兩種解法。解法一可以利用線性法則，把原不定積分拆分成兩個不定積分的差，然後分別對兩個不定積分應用公式(1)(2)，最後把兩個求和公式合併。解法二是直接運用三角公式，把cosx-sinx化為：根號2*cos(x+π/4)，再嘗試運用不定積分公式。但如果你仔細觀察，就會發現，它並不適用公式(1)，因此與其說這是一種解題的方法，倒不如說，它給了我們一個啟發：
是否有拓展公式：
∫x^n*sin(x+b)dx=-∑(i=0->n)n!/(n-i)!*x^(n-i)*cos(x+b+iπ/2)？
∫x^n*cos(x+b)dx=∑(i=0->n)n!/(n-i)!*x^(n-i)*sin(x+b+iπ/2)？
下一篇文章，老黃就會給大家分析這兩個公式是否成立。這裡要明確一下，它們是不一定成立的。如果不成立，那麼練習的解法二就是錯誤的。因為那只是一種巧合罷了。