老黃這次要推導的是「正割正弦正整數冪積，或餘弦餘割正整數冪積，可化為正切冪或餘切冪的不定積分公式」。是啊！這個內容描述起來就是特別不方便。即求：∫(secx)^m*(sinx)^ndx和∫(cosx)^m*(cscx)^ndx在|m-n|=2k時的積分公式。
它們是基於餘弦和正弦冪積的不定積分遞推公式來推導的。
上面兩個用黑色字體表示的是指數遞減的遞推公式，是教材提供的，在《老黃學高數》系列學習視頻第273講有證明；下面兩個用藍色字體表示的是指數遞增的遞推公式，是老黃自己推導出來的，在第275講有分享。
一般來說利用遞推公式，可以推導出最終形式的積分公式。但是這兩組遞推公式，卻可以推出一套積分公式，包括這篇文章要講的這兩個積分公式。其中正割正弦冪積，其實就是餘弦的負指數的情形，而餘弦餘割冪積，則是正弦的負指數的情形。
在此之前，老黃已經推導出了一部分情況的公式，其中對這兩個公式有幫助的就是「正割乘正弦冪的不定積分公式和餘弦冪乘餘割的不定積分公式」。因為這兩個公式可以看作是正割或餘割的指數為1的特殊形式。
為了使公式的證明更加嚴謹，這裡需要規定m,n都是大於1的正整數。且兩者不相等。如果相等，就可以直接寫成正切冪或餘切冪的不定積分了。那是已經介紹過的情形了。而這裡又有兩種情形，一種是當m,n相差一個偶數的時候，另一種是當m,n相差一個奇數的時候，兩種情形推導公式的方式是完全不同的。這篇文章先介紹兩者相差一個偶數的情形。就算是這樣，也依然有兩種情況，一種是正割或餘割的指數較小的情況；一種是正弦或餘弦的指數較小的情況。
先求正割正弦冪積的不定積分，當正弦的指數比較大的時候，即m<n時，我們可以利用正弦指數的遞減公式，一直遞推到兩個指數相等時，就可能化為含有正切冪不定積分的公式形式。而正切冪的不定積分公式，是《老黃學高數》第272講分享的內容，將公式嵌套進去，就可以了。
這裡最關鍵的是確定各項的係數，以及係數的符號性質。一方面要依靠自己的數學能力，另一方面也要通過嘗試錯誤，進行調整。因此後面的例題檢驗就顯得特別重要。因為不是每個人的都有很強的數學能力，比如老黃的數學能力就特別糟糕，根本不可能歸納出這些公式，因此老黃就通過不斷嘗試錯誤，不斷調整，最後就把公式給歸納出來了。你說這樣的公式，讓別人告訴你是怎麼來的，那幾乎是不可能的。必須要靠自己去理解，去摸索，去探究哦。
下面來一道例題：例1：求∫(secx)^3*(sinx)^7dx.
概括起來，解決的過程就相當簡單，不外乎：引用公式，代入參數，嵌套公式，展開，就搞定了。所有工作都在前面推導公式中完成了。不過要保證過程全部正確，一旦出現一點點錯誤，就會造成極大的麻煩。有時候要花老黃一整個晚上，才能把這個錯誤排查出來，做出修改哦。
本文的例題答案老黃都已檢驗過了。檢驗過程比求解過程，那可要難上百倍哦。不信你可以自己檢驗一下試試。
再看m>n的情況，這回就要把-m變大了，所以要用到升冪的遞推公式。因為正割的指數m，餘弦的指數就是-m，要使兩個指數的絕對值相等，就必須將-m遞增。
最後不定積分I(2k-m,n)前面的係數有一個因數0，所以並不會出現正切冪的不定積分，而是只得到一個含有k項的求和公式。這個公式顯然要比前面那個公式簡便得多，因此老黃在想，上面的情形能不能也把它化成這種簡便的形式，不過老黃試過了，至少老黃暫時是做不到的。
接下來再看一道例題：例2：求∫(secx)^7*(sinx)^3dx.
反正有公式，一切就變得特別簡單。關鍵不要出錯，出了錯老黃得確保正確，就特別累人。
至於餘弦餘割冪積的不定積分公式的推導，道理同上，老黃這裡就只給出推導過程的圖片形式，請大家自行腦補。先是餘弦的指數更大的情況：
結合一道例題學習：例3：求∫(cosx)^8*(cscx)^4dx.
然後是餘割的指數更大的情況：
還是結合一道例題：例4：求∫(cosx)^2*(cscx)^8dx.
這樣就形成了兩組公式如下：
由於secxsinx=tanx, cosxcscx=cotx，所以從這兩組公式還可以推出「正切與正弦，或者正割與正切的冪積不定積分公式」，以及「餘弦與餘切，或者餘切與餘割的冪積不定積分公式」。這些公式本身是統一的，所以這類問題都可以轉化成「正割正弦冪積積分公式」和「餘弦餘割冪積積分公式」來解決。
有人說，我們現在用的是前人的研究成果，真正困難的部分是公式的推導，那都被前人做了，我們只要運用公式，就很簡單。沒錯，所以老黃也要參與到公式的推導中去。這樣才能體會到數學的真諦和樂趣。有人說這樣沒用，那是打擊不了老黃的。