大家小時候都玩過摺紙吧？今天就來跟大家分享一下我們從小玩到大的摺紙中蘊含的數學故事。
一起折個五角星吧！
雖說我們中國人對五角星懷有特殊的感情，但人類對五角星的喜愛，卻沒有明顯的界線。早在公元前的古希臘，人們便深為五角星的魅力所吸引。那不是一般的五角星，是畢達哥拉斯信徒們俱樂部的徽章！
圖中的象徵性數字，及如同現代立交橋那般的立體線條，使人們似乎感覺到一種無窮的運動，周期為5，循環反覆，永不休止!
不少讀者在孩提時代，便已學會了用摺紙的辦法來剪五角星。下圖直觀地表現了這一折法的過程，各位小夥伴可以自己拿一張紙來試一試。
最後一剪似乎帶有隨意性，因而剪出的圖形嚴格講只能說是「五角星形」，而未必是正五角星。
摺紙藝術貌似簡單，但卻包含著深刻的科學道理。摺紙的方法也不是單一的。
就以折正五角星來說，人們完全不必用上面那樣繁雜的摺疊首發！實際上只要打 一個普通的結就足夠了！所用的道具只是一條長長的紙帶。
並不是所有的人都知道，我們天天司空見慣的打結動作，實際上正在創造一個又一個優美的正五角星。
靠「折」出來的拋物線
可能會有人以為，摺紙只能折出直線的圖形，因為摺痕無論如何只能是直的。其實，這是一種誤解！
足夠多的直的摺痕，有時也能圍出優美的曲線。
你可以試試，用紙剪出一個矩形紙片ABCD。如同下圖（a）那樣摺疊，使每次折後A點都落在CD邊上。無數的摺痕會像圖（b）那樣圍出一條曲線。這樣的曲線，在幾何學上稱為摺痕的包絡。
圖（b）的包絡曲線，是一段拋物線弧。當你拋擲石子的時候，會看到石子在空中劃出一條美麗的弧線。這條弧線是由於石子同時受地心引力和慣性運動兩者作 用的結果。假設你拋擲石子時與水平成α 角，又石子出手時速度為v0，則在時刻t石子運動的位置坐標 (x，y) 為：
消去時間t後，將得到一個關於x 的二次函數。因此，二次函數的圖像也稱為拋物線。
有趣的是，當我們拋擲的初速度不變，而僅僅改變拋擲角時，將會得到如下圖那樣一系列的拋物線， 這無數拋物線的包絡，也形成一條拋物線，物理學上稱為「安全拋物線」。
讓我們回到摺紙的課題上來，研究一下為什麼前面講到的 摺痕包絡是一條拋物線?
如圖所示，以AD 的中點O 為原點，以OD 為Y 軸正向，建立直角坐標系。
令 AD=p，則 A 點的坐標為（0，- p/2）; 設A'為CD 上的任意一點，EF 為A 折向A'時紙上的摺痕;T 在EF 上，滿足TA'⊥CD。下面我們證明：T點的軌跡，即為摺痕的包絡曲線。
也就是說，T 點的軌跡是一段拋物線弧。剩下的問題是必須證明它與摺痕相切。為此，令直線AA'的斜率為k，則
注意到摺痕EF 為線段AA'的垂直平分線，容易求出直線 EF 的方程為
包絡是微分幾何研究的課題之一，1827年，首創於德國數學家高斯。下圖是又一種有趣的摺紙包絡。
剪一個圓形紙片，在圓片內任取一點A，然後如下圖（a）摺疊紙片，使折後的圓弧通過A 點，如此得到圖（b）的無數摺痕。這些摺痕的包絡，便是一個以 A 點和圓心為焦點，長軸為半徑的橢圓。讀者不妨親自折一個試一試。
最為神奇的摺紙，大約莫過於「三浦摺疊法」。它是由日本宇宙科學研究所的三浦公亮教授發明的。這種摺紙法，竟能使無生命的紙張具有「記憶」的功能！
大家知道，當我們想把一大張紙折小的時候，我們常用的是互相垂直的摺疊方法。這種摺疊法的摺痕是「山」還是「谷」是互相獨立的。從而各種可能的折法組合，總數極大！當一大張折好的紙完全展開時，很難讓它重新折回到原來的位置。
另外這種互相垂直的折法，折縫往往疊得很厚，因而在張力的作用下，難免造成破損！ 「三浦摺疊法」也叫「雙層波型可擴展曲面」，它不同於「互相垂直摺疊法」的地方在於：縱向折縫微呈鋸齒形。
這樣，當你打開一張用三浦摺疊法摺疊的紙時，你會發現，只要抓住對角部分往任何方向一拉伸，紙張便會自動地同時向縱橫兩個方向打開。
同樣，如果想摺疊這樣的紙張，只需隨意擠壓一方，紙便會回到原狀，相當於記住了原樣！
用三浦摺疊法摺疊紙張，整張紙成了一個有機的連結體。它的折縫組合，只有全部展開與全部折返兩種。因而不會因為摺疊時折縫沒有對齊而損壞。
上圖（b）表示用「三浦摺疊法」摺疊時的情景。容易看出，這裡的折縫是互相錯開的。圖（a）則是普通摺疊法，不難發現，這裡的折縫，在重疊處出現了危險的隆起！
今天，神奇的三浦摺疊法已經取得了廣泛應用。在人類征服太空的宏圖中，對於建造大面積的太陽帆、人造月亮等方面, 應用前景尤為突出！
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作者：張遠南 張昶
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