結構和構件的穩定問題是結構設計尤其是鋼結構設計最重要的課題之一，為此我寫了結構穩定問題系列文章共十篇，而後在中國建築科學研究院雲聯盟網絡培訓平台上就該問題進行了兩期線上授課，得到了很多讀者和學員的好評。
我們可以把結構工程師面臨的主要困難劃分為以下幾個大的方面：一是建築地基基礎，二是結構抗震；三是結構穩定，四是既有建築抗震鑑定與加固。這四個方面我分別寫了系列文章。地基基礎設計思考與實踐二十七篇；淺談結構抗震概念十五篇（目前正在寫結構抗震系列（下）-結構彈塑性抗震）；結構穩定問題十篇；即有建築抗震鑑定與加固三十二篇。
結構穩定問題理論性最強，很多方面幾乎成了純數學和力學，結構工程師幾乎不可能掌握這些複雜的理論，所以我的文章只能從概念上試圖用文字描述它、理解它，當然必要的一些簡單的基本公式還是要有的。而另一個相反的極端就是建築地基變形問題，一些專家授課時甚至乾脆完全拋棄了理論，試圖通過大量的工程案例讓工程師理解建築地基變形特點，但因為建築情況不同、地質條件離散太大，再多的工程案例也很難歸納出地基變形的核心，所以我的地基基礎系列試圖多論述一些理論概念，讓後通過較少的案例做到觸類旁通，解決大部分的地基基礎問題。
上述系列文章，共同點是系統性，我把這種系統稱之為工程師系統，因為它既不同於大學教材系統，也不同於規範系統，也不同於專家研究的某一方面的問題。這些系列文章之間都有內在的邏輯關係，試圖剝繭抽絲般的逐步揭示問題的本質。
在結構穩定問題授課過程中，我發現結構穩定問題系列文章構建的工程師系統體系並不完善，有的環節論述的不深入，有些語義含混甚至錯誤，也有很多遺漏。所以我計劃繼續完善這個系列文章，稱為《結構穩定問題下》以示與《結構穩定問題十篇》的區別。本文為（下）的第一篇，談下高層建築的剛重比、屈曲因子、二階效應係數及二階效應（位移、內力）放大係數。
喜歡本系列文章的讀者，可在土木吧尋找該系列文章（上），如果不讀（上），會對理解（下）大打折扣。因為該系列（下）是對工程師問題問題體系的完善和補充，所以文章之間可能沒有明顯的邏輯關係。
一：結構或構件重力p-△二階效應：
結構工程師都知道重力二階效應，但是未必能深入理解這個概念，比如二階效應係數和二階效應放大係數，實際上規範也往往混淆，語義不詳。下面我們詳細討論。
結構或構件的二階效應可用下圖表示：
結構或構件彈性階段的二階效應大小和歐拉臨界力及作用軸力與歐拉臨界力之比有關，主要有以下幾個參數：
1：屈曲因子，歐拉臨界力除以構件或結構實際豎向作用力
2: 屈曲因子的倒數即為二階效應係數：
3: 位移放大係數：
4：內力（彎矩和剪力）放大係數
，有時等於位移放大係數，有時小於位移放大係數，有時大於放大係數。
看下陳冀老師《鋼結構理論與設計》中構件幾種情況下二階效應彈性理論分析：
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兩端鉸接的均布橫向荷載作用下的位移放大係數和內力放大係數均為： |
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兩端鉸接杆橫向集中力作用下的內力放大係數小於位移放大係數 |
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兩端作用相等彎矩的內力放大係數大於位移放大係數 |
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懸臂頂部側向集中力的內力放大係數小於位移放大係數 |
位移放大係數總是等於
，但內力放大係數卻是變化的。
別問我為什麼，我也不知道，我覺得自然界讓位移放大係數永遠是
已經很神奇了，不過內力放大係數和位移放大係數很多時候差別不是很大，有些結構很接近，可以認為粗略相等就可以了。
5：剛重比，是俗稱，字面上是就是剛度和重量的比值。規範規定如下：
規範控制結構剛重比並不是說超過剛重比限值結構就失穩了，而是為了把結構的二階效應控制在一定的幅度之內，比如《鋼標》鋼標中規定當二階效應係數
時，必須採用直接分析法或增加結構的剛度等。那《高規》5.4.4剛重比限值公式背後的意義是什麼？
二：剛重比的推導
上下均勻規則的剪力牆結構類似懸臂柱，比較直觀，故我們先推導剪力牆結構剛重比，看下圖：
看下規範條款和條文說明：
看起來，5.4.4來歷是規範為了控制二階P-Δ效應0.2，但是沒有說明白這裡的0.2是二階效應係數
呢？還是二階效應位移或內力放大係數。
我們先假設是二階效應係數
。
自重杆的歐拉臨界力，見下圖（資料來自於結構力學教材）：
這裡的
是均勻杆單位長度的歐拉臨界重力。
看起來我們假定的是二階效應係數不大於0.2是對的。我們從《高規》中5.4.3 也可以印證這一點：
從形式上看規範的位移放大係數和內力放大係數就是採用上述的二階效應放大係數
。我們推導一下，看是否確實如此呢？
得證。
注意規範中的F1、F2分別是剪力牆結構的位移放大係數和內力放大係數，因為計算內力時考慮剛度折減一半，因此內力放大係數的
比位移大一倍。
很多資料上，按二階效應放大係數貌似也能推導出規範的剛重比限值，這是是因為當二階效應係數小於0.2時，二階放大效應係數約為1/(1-0.2)=1.25,增加了不超過0.25倍與二階效應係數0.2 接近，但採用二階效應放大係數推導，理論上不嚴密，也與上圖紅框的規範公式不吻合，這是規範條文說明用詞含混不清造成的。
三：框架結構的剛重比推導
看下這個圖：
框架結構的變形形態是剪切形，上下層關係不大，基本可以按單獨一層來分析，如圖中的i層。
該層柱的可以當成上下嵌固但有側移的杆件，實際上還有輕微的轉角，先假定梁剛度無窮大無轉角，歐拉臨界重力：
因為我們假定框架沒有轉角，實際上框架都有微小轉角，此時歐拉臨界力變小，所以二階效應係數相應會加大，對於一般的框架結構，可以近似為：
。
按照《高規》5.4.4對框架結構二階效應係數不大於0.2的原則原則，
這是在混凝土剛度折減一半情況下的限值，所以混凝土的彈性剛度限值增加一倍為
廣東《高規》同時給出了剛重比限值和屈曲因子限值。
四：各規範關於二階效應問題總結
- 考慮混凝土結構剛度折減一半，二階效應係數時（屈曲因子20），可不考慮二階效應的影響。按上述同樣的推導方法，其剛重比為：
X
鋼結構因為不考慮剛度折減，二階效應係數
（屈曲因子10）時可不考慮二階效應。
（2）混凝土結構考慮剛度折減一半時，不允許二階效應係數
大於0.1（屈曲因子大於10），即《高規》中的5.4.4強條，同廣東規範。
一般鋼結構沒有二階效應係數限值，二階效應係數
大於25時，應採用直接分析法或加大結構的剛度。
（3）《高鋼規》6.1.7規定二階效應係數
不應大於0.2（屈曲因子大於5），但不是強條，推出剛重比如下：
高層鋼結構不論二階效應大小，均需考慮二階效應的影響。
上述的剛重比的推導均是規則結構下推導出來的，對於不規則結構直接套用公式不合理，應該用有限元方法計算。
（4）高層混凝土結構二階效應係數0.05≤
≤0.1時應該考慮二階P-Δ效應的影響。計算可以採用有限元法（幾何剛度法），也可以採用位移及內力增大法。
這些簡化公式即為文首所說的位移放大係數和內力放大係數：
顯然放大係數法應該在規則結構時才可以使用。
（5）《鋼標》做如下規定：
《鋼標》只給出了框架結構的二階效應彎矩放大係數的簡化計算方法，框架支撐等彎曲性和彎剪形結構需要用有限元計算方法。
總結：剛重比本質是考慮二階效應的影響的大小，和結構的彈性臨界荷載（結構剛度）和結構重力有關（其比值為屈曲因子），當高層混凝土結構剛重比超過規範強條的限值時，並不是結構失穩了，而是二階效應的位移和內力放大係數超過了《混凝土高規》認為的承受能力。實際上即使二階效應很大，經計算滿足結構的位移和承載力要求，也應該是可以的。所以《鋼標》和《混凝土通規》沒有對二階效應係數或剛重比限值規定（取消了《混凝土高規》的剛重比的強條限制，但結構設計師如果沒有充分的依據應該主動把這條作為強條），只是不同的二階效應係數採用更加精確的計算方法而已。
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