在地球上，能跨越語言、國界乃至物種，而實現無障礙溝通的，或許只有兩樣。

第一是音樂，它美好而治癒。

另外一個就是，數學，它困惑且充滿痛苦。

2022年，英國貝爾法斯特女王大學的研究人員發表了一項研究，讓狗子分辨人在平靜和壓力狀態下身體所散發的不同氣味，結果顯示，人在做數學題時所散發出的痛苦，狗聞了都坐不住！

研究論文刊發出來的實驗現場。圖：Clara Wilson et al.

心理學將這種狀態歸為「情感障礙」，甚至專門發明了術語——數學焦慮（Math Anxiety）。

最為地球上最擅長解題的民族，中國數學題，甚至掀起了一場全球性「數學焦慮」。

「下面這道題是李奶奶給小林出的一道題，請你幫小林回答李奶奶：一艘船上有26隻綿羊和10隻山羊，船上船長几歲？」

這道小學五年級的作業，曾繞進了全球無數數學家、文學家、歷史學家，就連《華盛頓郵報》、BBC等媒體也不得不感嘆：中國數學題既是「無解」的，又是無窮解的……

不過要說數學三大領域——代數學、幾何學、分析學中，誰最讓人畏懼，只需要扒扒每年高考之後，如約登上全國熱搜第一的話題「高考數學」就知道了。

大部分的精彩吐槽都集中在了「幾何」上——「人生中最大的敵人不是自己，而是，幾何」。

「幾何」風潮，甚至刮進了成年人的世界。

這幾年，從微博、抖音到小紅書，在線解幾何題，甚至成了當代年輕人預防痴呆的新興網紅養生項目，療效比打麻將還好……

話，都說到了這個份兒上，你也知道阿信接下來要幹啥了。

咱就直接上封面了：

作為阿信家2023年最重磅的數學普及讀物，2000多人打出了8.8高分的2021豆瓣年度科學新知圖書《微積分的力量》姊妹篇。

這麼說吧，這本《幾何學的力量》，家裡有孩子還在上學的，備上！

家裡只有上班族和退休老人的，備上這本，放床頭，夢見做數學題的時候可能就沒有那麼慌張了……

畢竟，誰還沒有過夢見做數學題的時候啊！

幾何，構成人生的底層邏輯

人，是三維生物。

生活中，我們無時無刻不在通過建立空間感來感知這個世界。

所以某種程度上說，幾何學，或許是生活中最實用的學科，沒有之一。

不過，一旦當我們提起幾何學時，往往先想到的是如何通過一系列步驟證明關於三角形的某個顯而易見的性質，想起來都讓人頭大。

如果你是這麼理解「幾何」的，那就不要怪自己總是學不好幾何了！

事實上，那是幾何學的很小一部分。三角形之於幾何學，就好比一個動詞之於一部精彩的小說。

這不是《幾何學的力量》要講的幾何學，或者說這本書要講述的幾何學範圍更廣更大，遠不是初高中課本所呈現的那樣。

幾何這個詞最早來自於阿拉伯語，指土地的測量。

早期的幾何學是有關長度、角度、面積和體積的經驗性定律的收集，這些都是因為實際地質測量勘探、天文等需要而發展的。

所以，數學從最開始誕生就一直是來源於人類的現實生活需要，而非紙上談兵。

公元前338年，希臘人歐幾里得把在他以前的埃及和希臘人的幾何學知識加以系統的總結和整理，寫了一本書，書名叫做《幾何原本》。

歐幾里得的《幾何原本》是幾何學史上有深遠影響的一本書。

現今我們學習的幾何學課本多是以《幾何原本》為依據編寫的。

歐幾里得

美國總統林肯就極其熱愛幾何學，林肯從歐幾里得幾何中汲取了一個理念：只要小心謹慎，就可以在無人質疑的公理基礎上，通過嚴格的演繹步驟，按部就班地建立起一座高大穩固的信仰和認同的大廈。

或許你可能還並不理解一個搞政治的人學幾何學有什麼用，但是，在林肯著名的葛底斯堡演說中，就可以聽到歐幾里得幾何學的回聲。

他強調美國「奉行人人生而平等的主張（proposition）」。在歐幾里得幾何中，「proposition」指的是「命題」，即由不證自明的公理經邏輯推導得出的不可否認的事實。

「幾何學」一詞的最初含義就是「丈量世界」，經過漫長的發展歷程，它現在的含義已經包羅萬象，可以解釋世間萬物的運行機制。

幾何教學的目標不是給學生灌輸關於三角形的所有已知事實，而是培養他們利用原理構建事實的思維習慣，讓他們成為像少年林肯那樣的學生。

古老的幾何學，放今天還有用嗎？

在不少人看來，所謂「幾何」，僅僅是一門學生時代的必修課程而已。

對於往後的生活，幾何的用處其實不大。

真是這樣的嗎？

拿最近全球熱議的ChatGPT來說，如果你想要理解AI對語言的生成原理，就必須先了解一種叫「馬爾可夫鏈」的概念。

馬爾可夫曾自娛自樂地把普希金的詩體小說《葉甫蓋尼·奧涅金》的前20000個字母看作由元音字母和輔音字母組成的序列，準確地說，其中元音字母占43.2%，輔音字母占56.8%。

人們可能會天真地以為這些字母之間是相互獨立的，也就是說，一個輔音字母後面的那個字母也是輔音字母的可能性與該文本中其他任意一個字母是輔音字母的可能性一樣大，都是56. 8%。

但馬爾可夫發現事實並非如此。他費力地把每對連續的字母分成了4類，即輔音-輔音、輔音-元音、元音-輔音、元音-元音，並繪製了示意圖。

這是一個馬爾可夫鏈。

如果當前字母是輔音字母，那麼下一個字母是元音字母的概率為66.3%，是輔音字母的概率為33.7%。

雙元音字母的概率更小，一個元音字母後面跟著另一個元音字母的概率只有12.8%。這些數字在整個文本中都具有統計穩定性，你可以把它們視為普希金作品的統計學特徵。

後來，馬爾可夫還分析了謝爾蓋·阿克薩科夫的小說《孫子巴格羅夫的童年》中的10萬個字母。

阿克薩科夫作品中的元音字母的占比與普希金作品的差別不太大，為44.9%。但是，阿克薩科夫作品的馬爾可夫鏈看起來與普希金的作品完全不同。

說完這一串概率論原理你可能已經開始頭疼了，但是別慌！

簡而言之，馬爾科夫鏈意味著：即使是偉大的詩人，也可以通過數學發現其中存在某種行文規律，只要是有運行規律的東西，就可以存在於可以被幾何學丈量的世界中。

工程師、數學家克勞德·香農最先意識到，馬爾可夫鏈不僅可用於分析文本，還可以生成文本。

克勞德·香農

假設你想以ON作為開頭，生成一段與書面英語有相同統計性質的文本。那麼，你可以用隨機數生成器選擇下一個字母，它是S的概率為14.7%，是T的概率為11.3%，以此類推。

現代的馬爾可夫鏈可以生成非常像人類語言的文本。

Open AI推出的GPT-3等語言生成算法是香農的文本機器的精神繼承者，只不過前者的訓練數據要大得多，輸入的也不是三字母組合，而是數百個單詞長度的文本塊。

但是，兩者的原理相同：輸入一段摘自本書英文版的文本，馬爾可夫鏈生成的下一個單詞是「the」、「geometry」或「graupel」的概率有多大?

通過不斷模仿人類的語言文字習慣，最終，GPT-3算法生成的其他結果看上去與你正在讀的這篇推文也沒有多大的違和感。

遊戲的本質是幾何學？

在2021世界計算大會「硬體技術與集成電路」主題峰會上，西安電子科技大學教授、博士生導師焦李成演講開場時，給台下聽眾拋出了一個問題：為什麼圍棋人工智慧程序，能夠戰勝圍棋天才？

與「阿爾法狗」進行「人機大戰」的圍棋職業選手柯潔曾給出過他的答案：「我們學的很多東西，不是一條直線往前走的，而是一條磕碰的彎路；而AI通過大量的計算和模擬，把彎路無限縮短成一條直線。」

怎樣才能完美地證明你不會輸掉任何一句遊戲呢？

不管你是國服選手還是比肩職業，都肯定會有百密一疏的時候，但是，我們可以證明關於遊戲的問題，就像我們可以證明幾何問題一樣，因為遊戲就是幾何學。

我們還是從一個簡單的遊戲入手來理解幾何學與遊戲的關係，它就是「尼姆遊戲」。

該遊戲的玩法如下：兩個玩家坐在幾堆石頭前面，輪流拿走石頭。你想拿多少塊就拿多少塊，但每次只能從同一堆石頭裡拿，這是尼姆遊戲唯一的規則。輪到你時，不准不拿石頭，也就是說，你至少得拿走一塊。

誰拿走最後一塊石頭，誰就是贏家。

假設阿克巴和傑夫一起玩尼姆遊戲。為簡單起見，我們從只有2堆石頭、每堆2塊開始玩。阿克巴先拿，他該怎麼辦？

阿克巴可以拿走2塊，即把其中一堆石頭拿光。但這不是一個好主意，因為隨後傑夫就會拿光另一堆石頭並成為贏家。

所以，阿克巴應該從其中一堆石頭中拿走1塊。但他這樣做的結果也好不到哪裡去，因為傑夫可以一招制勝——他從另一堆石頭中拿走1塊，這樣兩堆石頭就各剩下1塊。阿克巴明白自己必輸無疑，只能鬱悶地拿走1塊石頭。

從哪一堆里拿呢?根本不重要，阿克巴也知道這一點。傑夫拿走最後1塊石頭並贏得遊戲。無論阿克巴第一步如何選擇，他最後都會輸。

這個簡單的回合制遊戲為我們揭示了一個道理：遊戲策略的本質仍是幾何學。

當石頭從兩個變為三個、四個、遊戲的玩法就會形成一個樹狀圖。遊戲的所有可能性都被抽象成了一個幾何模型。

如今，遊戲廠家已經能通過更複雜的算法來引導AI學習玩家的策略，並讓AI在自對弈訓練中與不同策略的隊友進行組隊，從而能更好地理解玩家的意圖。

隨著遊戲中人機算法的升級疊代，你現在打遊戲再也不用擔心會被噴「你菜得像個人機」了，隊友都貼心地勸你「你不如掛會兒機讓人機替你打吧。」

《幾何學的力量》這本書讓幾何學變成了一門樂趣非凡的學問。

美國威斯康星大學麥迪遜分校數學教授喬丹·艾倫伯格用風趣詼諧、寓教於樂的文字和現實生活案例告訴我們，幾何學非但不是你人生中的「劫難」，更會成為你生活中的助力。

這不是一本教你如何成為小鎮做題家的幾何解題方法集，而是告訴你「學習幾何學究竟在現實世界有什麼用？」並且讓你愛上數學。