實驗推薦：
本文涉及靶場知識點：RSA之小公鑰指數攻擊
https://www.hetianlab.com/expc.do?ec=ECIDea39-a4f3-4e24-8cb6-37556c183e43&pk_campaign=weixin-wemedia
通過該實驗了解CTF中常見和以前奇葩題型，有助於我們學習更多的內容。本次實驗我們將學習RSA中小公鑰指數的情況，例如在e特別小的情況下如何去生成私鑰。
前言：
學習完基本數論後，我們開始學習 RSA 的各種攻擊算法及其數學原理。希望大家在學習的過程中更多的去關注攻擊算法實現的原理，而不僅僅只在於 copy 攻擊代碼。
工具準備：
工具和第三方庫的安裝教程請自行百度
- python3.8環境：https://www.python.org/downloads/windows/
- 大素數分解工具:
- factordb在線分解：http://factordb.com/
- win10 yafu-x64：https://sourceforge.net/projects/yafu/
- python第三方庫：
- gmpy2
- pycryptodome
- libnum
- sympy
- rsa
RSA加密類型：
- 公鑰解析，簽名加密
- 利用公約數求解
- 分解 N 得到多個相同的 P
- dp、dq 泄露
- dp 泄露
- Roll 按行加密
- 共模攻擊
- 低加密指數攻擊
- 低加密指數廣播攻擊
- 低解密指數攻擊
1.公鑰解析,簽名加密
如果題目給了pem或者key後綴結尾的文件，用工具解析出n和e。或者可以用kali自帶的Openssl從公鑰文件中提取出n和e。
命令：openssl rsa -pubin -text -modulus -in key.pem
例題：1
BUURSA： https://buuoj.cn/challenges#RSA
公鑰文件
-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MDwwDQYJKoZIhvcNAQEBBQADKwAwKAIhAMAzLFxkrkcYL2wch21CM2kQVFpY9+7+
/AvKr1rzQczdAgMBAAE=
-----END PUBLIC KEY-----
在線網站解析公鑰：http://ctf.ssleye.com/
得到n和e之後，用factordb：http://factordb.com/
分解模n，得到p,q的值。
import rsa #rsa模塊
from gmpy2 import* #gmpy2模塊
e= 65537
n= 86934482296048119190666062003494800588905656017203025617216654058378322103517
p= 285960468890451637935629440372639283459
q= 304008741604601924494328155975272418463
#求私鑰d
'''
phi = (p-1)*(q-1)
d = invert(e,phi) #gmpy2.invert(),用來求模逆的方法
print(d)
'''
d= 81176168860169991027846870170527607562179635470395365333547868786951080991441
key = rsa.PrivateKey(n,e,d,q,p) #在pkcs標準中,pkcs#1規定,私鑰包含(n,e,d,p,q)
with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\flag.txt","rb") as f: #以二進位讀模式，讀取密文
f = f.read()
print(rsa.decrypt(f,key)) # f:公鑰加密結果 key:私鑰
例題：2020西湖論劍BrokenSystems
題目
BrokenSystems.py
from Crypto.PublicKey import RSA
from Crypto.Cipher import PKCS1_OAEP
from secret import flag
import os
rsa = RSA.generate(2048)
public_key = rsa.publickey().exportKey()
f=open("public.key","w")
f.write(public_key.decode())
f.close()
rsakey=RSA.importKey(open("public.key","r").read())
rsa = PKCS1_OAEP.new(rsakey)
msg=rsa.encrypt(flag.encode())
f=open("message","wb")
f.write(msg)
f.close()
public.txt
-----BEGIN PUBLIC KEY-----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-----END PUBLIC KEY-----
message.txt
'Ω?奟?ypG睉晜< U,.
W?盔敲m銖?.嗘7?s來薶
只Z???'D?夞%莰}?~a,妄姷槢諫v}玊??#ad??$ 爝湆鄃
0遀;
#繕刜2?顪娪k+需?捨HD篹枒筡婌 輛 賅?跌婊 CD瓦?3?h¬?V?p琙|
黶UU沯?酟詎分b澾硲€}?~QJ?綾摪 偑鱈塖
?I騸?費JB_?O0&?髀
SxN岑y?
解題思路
首先進行公鑰解析得到 n，e的值：
n = 24493816160588971749455534346389861269947121809901305744877671102517333076424951483888863597563544011725032585417200878377314372325231470164799594965293350352923195632229495874587039720317200655351788887974047948082357232348155828924230567816817425104960545706688263839042183224681231800805037117758927837949941052360649778743187012198508745207332696876463490071925421229447425456903529626946628855874075846839745388326224970202749994059533831664092151570836853681204646481502222112116971464211748086292930029540995987019610460396057955900244074999111267618452967579699626655472948383601391620012180211885979095636919
e = 3683191938452247871641914583009119792552938079110383367782698429399084083048335018186915282465581498846777124014232879019914546010406868697694661244001972931366227108140590201194336470785929194895915077935083045957890179080332615291089360169761324533970721460473221959270664692795701362942487885620152952927112838769014944652059440137350285198702402612151501564899791870051001152984815689187374906618917967106000628810361686645504356294175173529719443860140795170776862320812544438211122891112138748710073230404456268507750721647637959502454394140328030018450883598342764577147457231373121223878829298942493059211583
我們可以看出，e的值特別大。嘗試winner攻擊，解得 d。(winner攻擊在後面低解密指數攻擊會詳細介紹)
這時發現我們已知了n, e , d；但N不能直接分解，這裡涉及到一個解密算法
已知n, e , d，求P,Q
https://www.di-mgt.com.au/rsa_factorize_n.html
得到n，e，d，p，q的值後，通過分析加密代碼我們可以知道這裡 涉及Crypto.Cipher.PKCS1_OAEP 和 Crypto.PublicKey.RSA 的加密協議
Crypto的官方學習源文件https://pythonhosted.org/pycrypto/Crypto-module.html
Python3解密腳本：
from Crypto.Cipher import PKCS1_OAEP
from Crypto.PublicKey import RSA
n = 24493816160588971749455534346389861269947121809901305744877671102517333076424951483888863597563544011725032585417200878377314372325231470164799594965293350352923195632229495874587039720317200655351788887974047948082357232348155828924230567816817425104960545706688263839042183224681231800805037117758927837949941052360649778743187012198508745207332696876463490071925421229447425456903529626946628855874075846839745388326224970202749994059533831664092151570836853681204646481502222112116971464211748086292930029540995987019610460396057955900244074999111267618452967579699626655472948383601391620012180211885979095636919
e = 3683191938452247871641914583009119792552938079110383367782698429399084083048335018186915282465581498846777124014232879019914546010406868697694661244001972931366227108140590201194336470785929194895915077935083045957890179080332615291089360169761324533970721460473221959270664692795701362942487885620152952927112838769014944652059440137350285198702402612151501564899791870051001152984815689187374906618917967106000628810361686645504356294175173529719443860140795170776862320812544438211122891112138748710073230404456268507750721647637959502454394140328030018450883598342764577147457231373121223878829298942493059211583
d = 1779217788383673416690068487595062922771414230914791138743960472798057054853883175313487137767631446949382388070798609545617543049566741624609996040273727
p = 149604112324264915811376746906108325951188179904814259006959765070266946659481820938211689946210254302179197289522748397160602946376246768419310765669852537378426700376878745285639531531077237124655345323906476180103106894642043615024716862503414785057646920410083538192951872861366496901158348770066798098371
q = 163724217068973025857079545677048587508164102644298632911494474022224582218067057349189211462632427829087720476013052665037199232658015194718500750961261016558605363103092187533086949903145449057015220561698195502163792192055762108803714387175594231859738263839090338762578040513451585421537323416472060788989
key=RSA.construct((n, e, d, p, q))
cipher = PKCS1_OAEP.new(key)
with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\message.txt","rb") as f: #以二進位讀模式，讀取密文
f = f.read()
flag = cipher.decrypt(f)
print(flag)
代碼中有看不懂的地方，如果是關於第三方庫模塊的，請認真學習一下上面的Crypto的官方學習源文件
2. 利用公約數求解
如果兩次公鑰的加密過程中使用的 n1 和 n2 具有相同的素因子，則可以利用歐幾里得算法直接將 n1 和 n2 分解
p = gmpy2.gcd(n1,n2) #gmpy2庫函數gcd(),用於求最大公約數。
自定義函數gcd()歐幾里得算法
def gcd(a,b):
if a<b:
a,b = b,a
while(b!=0):
temp = a%b
a = b
b = temp
return a
對於歐幾里得算法的時間複雜度，即便是4096bit級別的也是秒破級別。
3. 分解 N 得到多個相同的 P
知識點：
1.歐拉函數的性質：
p為素數，所以 φ
2.RSA加密公式：
n=p*q，φ
mod φ， mod
mod
例題：
由於暫時未找到這個考點的題目，下面的這個例題用的是一個博主發的
import gmpy2
import random
from Crypto.Util.number import *
from flag import flag
def generate_key(1024):
p = getPrime(1024)
r = random.randint(2, 10)
s = random.randint(r, 1024)
while True:
e = random.randint(3, p**r*(p-1))
if gmpy2.gcd(e, p**s*(p-1)) == 1:
break
pubkey = (long(e), long(p**r)) #返回e 和p^r
return pubkey
def crypt(msg, pubkey):
e, n = pubkey #e n=p^r
m = bytes_to_long(msg)
assert m < n - 1
enc = pow(m, e, n)
return long_to_bytes(enc)
nbit = 1024
pubkey = generate_key(1024)
print 'pubkey =', pubkey #輸出e 和p^r
msg = flag值
enc = crypt(msg, pubkey)
print 'enc =\n', enc.encode('base64')
解題思路：
通過分析加密腳本，我們可以知道：
已知e, , enc的值了。
由歐拉函數的性質可以得到：phi=φ
- 要求得 mod ,則先求d。
- 由於 mod φ，求得d，則先求φ(n)
- 題目給的是 ,所以先要分解n以獲得p和r的值。
4. dp、dq 泄露
攻擊條件：
已知p，q，dp，dq，c
關係公式：
解密公式：
- mod
- mod
- I:乘法逆元，I=invert(q,p)
解密數學原理：
利用中國剩餘定理可得： mod ， mod
證明：
由 mod ,得
因為 ,所以
上述公式中，同時取余p和q，可分別得到： mod ， mod
所以 ，代入 mod 可得： mod
等式兩邊同時減去 ，可以得到： mod
這裡因為gcd(p,q)=1 ,所以可以得到p的逆元，得： mod ( 表示p的逆元，可用gmpy2.invert(q,p)函數求得)
即： mod
由 mod 和
可得到：
mod
代入 mod 得：
mod mod
例題：
BUURSA1
p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852
解題代碼:
from gmpy2 import*
from libnum import*
p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852
#n=p*q
I = invert(q,p) #求p的逆元
mp = pow(c,dp,p) #求冪取模運算
mq = pow(c,dq,q) #求冪取模運算
m = (((mp-mq)*I)%p)*q+mq #求明文公式
#m = m%n(可以加上，不加也沒事，這裡數值不大)
print(n2s(m)) #n2s()函數，用於數值轉字符串
5. dp 泄露
攻擊條件：
已知e，n，dp，c
關係公式：
dp≡d mod (p-1)
φ
mod φ
mod
解密數學原理：
思路：
1.破解m的關鍵在於獲取到d
利用gmpy2庫，d=gmpy2.invert(e,φ(n))
2.由φ ，dp≡d mod (p-1)
可得到(p-1),進而得到p,q因為n已知,n=p*q
證明：
mod
推導： 為整數
由 mod 得
所以：
推導得：
令:，即
因為
所以
所以
3.求出p後即可求出q，進而求得φ(n)，得到d
通過遍歷x，可求出存在p，使得n % p=0
關鍵代碼：
for i in range(1,e): #在範圍(1,e)之間進行遍歷
if(dp*e-1)%i == 0:
if n%(((dp*e-1)//i)+1) == 0: #存在p，使得n能被p整除
p=((dp*e-1)//i)+1
q=n//(((dp*e-1)//i)+1)
phi=(q-1)*(p-1) #歐拉定理
d=gmpy2.invert(e,phi) #求模逆
m=pow(c,d,n) #快速求冪取模運算
例題：
BUURSA2
題目
e = 65537
n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113
dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657
c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751
解題腳本：
from gmpy2 import*
from libnum import*
e = 65537
n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113
dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657
c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751
for i in range(1,e): #在範圍(1,e)之間進行遍歷
if(dp*e-1)%i == 0:
if n%(((dp*e-1)//i)+1) == 0: #存在p，使得n能被p整除
p=((dp*e-1)//i)+1
q=n//(((dp*e-1)//i)+1)
phi=(q-1)*(p-1) #歐拉定理
d=invert(e,phi) #求模逆
m=pow(c,d,n) #快速求冪取模運算
print(n2s(m)) #16進位轉文本
6. Roll 按行加密
例題：
BUU RSAROLL https://buuoj.cn/challenges#RSAROLL
題目：
解題思路：
由圖二可知 N 和 e 的值。把圖二中的每行數據進行解密：
from gmpy2 import*
from libnum import*
n=920139713
p=18443
q=49891
e=19
phi = (q-1)*(p-1)
d=invert(e,phi)
m=""
with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\BUURSA題目\\ROLL\\Data.txt","r")as f:
for i in f.readlines(): #讀取每一行
m+=n2s(pow(int(i),d,n))
print(m)
注意讀取的密文數據要新建一個文本：只保留捲軸數據
7. 共模攻擊
背景：
共模攻擊，Common Modulus Attack,也稱為同模攻擊。同模攻擊利用的大前提就是，RSA體系在生成密鑰的過程中使用了相同的模數n。
對於同一條明文m，新手小白A和B對其進行加密：
A: mod
B: mod
如果，此時有一個攻擊者，同時監聽了A和B接收到的密文。因為模數不變，以及所有的公鑰都是公開的，那麼利用同模攻擊，就可以在不知道的條件下破解明文M
攻擊條件：
已知
解密數學原理：
當n一定時，已知
假設 互質，即
此時有：(其中為整數，且一正一負)
通過擴展歐幾里得算法，我們可以得到上式的一組解()
假設為正數，為負數
因為 mod ， mod
所以:
mod
=(( mod ) *( mod )) mod
(由)
可得到：
mod
即：
mod
例題：
BUU RSA3
c1=22322035275663237041646893770451933509324701913484303338076210603542612758956262869640822486470121149424485571361007421293675516338822195280313794991136048140918842471219840263536338886250492682739436410013436651161720725855484866690084788721349555662019879081501113222996123305533009325964377798892703161521852805956811219563883312896330156298621674684353919547558127920925706842808914762199011054955816534977675267395009575347820387073483928425066536361482774892370969520740304287456555508933372782327506569010772537497541764311429052216291198932092617792645253901478910801592878203564861118912045464959832566051361
n=22708078815885011462462049064339185898712439277226831073457888403129378547350292420267016551819052430779004755846649044001024141485283286483130702616057274698473611149508798869706347501931583117632710700787228016480127677393649929530416598686027354216422565934459015161927613607902831542857977859612596282353679327773303727004407262197231586324599181983572622404590354084541788062262164510140605868122410388090174420147752408554129789760902300898046273909007852818474030770699647647363015102118956737673941354217692696044969695308506436573142565573487583507037356944848039864382339216266670673567488871508925311154801
e1=11187289
c2=18702010045187015556548691642394982835669262147230212731309938675226458555210425972429418449273410535387985931036711854265623905066805665751803269106880746769003478900791099590239513925449748814075904017471585572848473556490565450062664706449128415834787961947266259789785962922238701134079720414228414066193071495304612341052987455615930023536823801499269773357186087452747500840640419365011554421183037505653461286732740983702740822671148045619497667184586123657285604061875653909567822328914065337797733444640351518775487649819978262363617265797982843179630888729407238496650987720428708217115257989007867331698397
e2=9647291
解題腳本：
from libnum import* #python第三方庫
from gmpy2 import* #python第三方庫
n = 22708078815885011462462049064339185898712439277226831073457888403129378547350292420267016551819052430779004755846649044001024141485283286483130702616057274698473611149508798869706347501931583117632710700787228016480127677393649929530416598686027354216422565934459015161927613607902831542857977859612596282353679327773303727004407262197231586324599181983572622404590354084541788062262164510140605868122410388090174420147752408554129789760902300898046273909007852818474030770699647647363015102118956737673941354217692696044969695308506436573142565573487583507037356944848039864382339216266670673567488871508925311154801
c1 = 22322035275663237041646893770451933509324701913484303338076210603542612758956262869640822486470121149424485571361007421293675516338822195280313794991136048140918842471219840263536338886250492682739436410013436651161720725855484866690084788721349555662019879081501113222996123305533009325964377798892703161521852805956811219563883312896330156298621674684353919547558127920925706842808914762199011054955816534977675267395009575347820387073483928425066536361482774892370969520740304287456555508933372782327506569010772537497541764311429052216291198932092617792645253901478910801592878203564861118912045464959832566051361
c2 = 18702010045187015556548691642394982835669262147230212731309938675226458555210425972429418449273410535387985931036711854265623905066805665751803269106880746769003478900791099590239513925449748814075904017471585572848473556490565450062664706449128415834787961947266259789785962922238701134079720414228414066193071495304612341052987455615930023536823801499269773357186087452747500840640419365011554421183037505653461286732740983702740822671148045619497667184586123657285604061875653909567822328914065337797733444640351518775487649819978262363617265797982843179630888729407238496650987720428708217115257989007867331698397
e1 = 11187289
e2 = 9647291
s = gcdext(e1,e2) #gmpy2.gcdext(),擴展歐幾里得算法，返回tuple元組，滿足s[1]*e1+s[2]*e2=1
m = pow(c1,s[1],n)*pow(c2,s[2],n)%n #獲取明文m
print(n2s(m))
8. 低加密指數攻擊
e=3時的小明文攻擊：
特點：e=3，m很小，n很大
- 當 e=3 時，如果明文過小，導致明文的三次方仍然小於n，那麼通過直接對密文開三次方即可得到明文。
即： mod ,如果e=3，且 ，則：，
2.如果明文的三次方比n大，但不是足夠大，那麼設k有：
爆破，如果 或者 能開三次根式，那麼就可以直接得到明文。
關鍵代碼
i=0
while 1:
if(iroot(c+i*n,3)[1]==1): #或者 iroot(c-i*n,3)
print(iroot(c+i*n,3)[0])
break
i=i+1
例題：
BUU Dangerous RSA
https://buuoj.cn/challenges#Dangerous%20RSA
題目：
#n: 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
#e: 0x3
#c:0x10652cdfaa6b63f6d7bd1109da08181e500e5643f5b240a9024bfa84d5f2cac9310562978347bb232d63e7289283871efab83d84ff5a7b64a94a79d34cfbd4ef121723ba1f663e514f83f6f01492b4e13e1bb4296d96ea5a353d3bf2edd2f449c03c4a3e995237985a596908adc741f32365
so,how to get the message?
解題思路：
假設我們 Ｍ / n 商 k 餘數為c，
所以Ｍ = + C，對K進行爆破，只要k滿足 k*n + C能夠開方就可以
解題腳本：
from libnum import* #python第三方庫
from gmpy2 import* #python第三方庫
n = 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
c = 0x10652cdfaa6b63f6d7bd1109da08181e500e5643f5b240a9024bfa84d5f2cac9310562978347bb232d63e7289283871efab83d84ff5a7b64a94a79d34cfbd4ef121723ba1f663e514f83f6f01492b4e13e1bb4296d96ea5a353d3bf2edd2f449c03c4a3e995237985a596908adc741f32365
i=0
while 1:
if(iroot(c+i*n,3)[1]==1): #或者 iroot(c-i*n,3)
print(n2s(iroot(c+i*n,3)[0]))
break
i=i+1
e=2時的小明文攻擊：
e=2時，直接將密文C開平方獲得解
由於e只有2，相當於把明文m平方而已，得到的C也比n小很多。嘗試直接將C開根號看能否得到明文。
from libnum import* #python第三方庫
from gmpy2 import* #python第三方庫
c=...... #C的值
m=isqrt(c) #開平方根
#m=iroot(c,2)[0] #開C的二次方根
print(n2s(m))
e=1時的小明文攻擊：
加密過程：
C≡m mod n ,明文與密文同模
所以有：m=C+n*k,爆破k
from libnum import*
n=....
c=....
max_num = 7 #設置遍歷上限
for k in range(max_num):
m = c + n*k
print(n2s(m))
9. 低加密指數廣播攻擊
背景：
如果選取的加密指數較低，並且使用相同的加密指數給一個接受者的群發送相同的信息，那麼可以進行廣播攻擊得到明文
適用條件：
模數n，密文C不同，明文m，加密指數e相同。（一般的話e=k，k是題目給出的n和c的組數）
例如：e=k=3
同餘式組：
由中國剩餘定理：
設 是兩兩互素的正整數，
則同餘式組：
有唯一解：
其中 mod ，
攻擊代碼
#python3，在兩兩互質的情況下
from gmpy2 import*
n1=...
n2=...
n3=...
c1=...
c2=...
c3=...
e=3
def CRT(a,n):
sum = 0
N = reduce(lambda x,y:x*y,n) # ni 的乘積,N=n1*n2*n3
for n_i, a_i in zip(n,a): # zip()將對象打包成元組
N_i = N // n_i #Mi=M/ni
sum += a_i*N_i*invert(N_i,n_i) #sum=C1M1y1+C2M2y2+C3M3y3
return sum % N
n =[n1,n2,n3]
c =[c1,c2,c3]
x = CRT(c,n)
m = iroot(x,e)[0]
print(n2s(m))
例題：
BUURSA4
https://buuoj.cn/challenges#RSA4
N = 331310324212000030020214312244232222400142410423413104441140203003243002104333214202031202212403400220031202142322434104143104244241214204444443323000244130122022422310201104411044030113302323014101331214303223312402430402404413033243132101010422240133122211400434023222214231402403403200012221023341333340042343122302113410210110221233241303024431330001303404020104442443120130000334110042432010203401440404010003442001223042211442001413004
c = 310020004234033304244200421414413320341301002123030311202340222410301423440312412440240244110200112141140201224032402232131204213012303204422003300004011434102141321223311243242010014140422411342304322201241112402132203101131221223004022003120002110230023341143201404311340311134230140231412201333333142402423134333211302102413111111424430032440123340034044314223400401224111323000242234420441240411021023100222003123214343030122032301042243
N = 302240000040421410144422133334143140011011044322223144412002220243001141141114123223331331304421113021231204322233120121444434210041232214144413244434424302311222143224402302432102242132244032010020113224011121043232143221203424243134044314022212024343100042342002432331144300214212414033414120004344211330224020301223033334324244031204240122301242232011303211220044222411134403012132420311110302442344021122101224411230002203344140143044114
c = 112200203404013430330214124004404423210041321043000303233141423344144222343401042200334033203124030011440014210112103234440312134032123400444344144233020130110134042102220302002413321102022414130443041144240310121020100310104334204234412411424420321211112232031121330310333414423433343322024400121200333330432223421433344122023012440013041401423202210124024431040013414313121123433424113113414422043330422002314144111134142044333404112240344
N = 332200324410041111434222123043121331442103233332422341041340412034230003314420311333101344231212130200312041044324431141033004333110021013020140020011222012300020041342040004002220210223122111314112124333211132230332124022423141214031303144444134403024420111423244424030030003340213032121303213343020401304243330001314023030121034113334404440421242240113103203013341231330004332040302440011324004130324034323430143102401440130242321424020323
c = 10013444120141130322433204124002242224332334011124210012440241402342100410331131441303242011002101323040403311120421304422222200324402244243322422444414043342130111111330022213203030324422101133032212042042243101434342203204121042113212104212423330331134311311114143200011240002111312122234340003403312040401043021433112031334324322123304112340014030132021432101130211241134422413442312013042141212003102211300321404043012124332013240431242
解題腳本：
from gmpy2 import*
from Crypto.Util.number import*
from libnum import*
# 將5進位數轉換為10進位數 int('',5)
N1 = int('331310324212000030020214312244232222400142410423413104441140203003243002104333214202031202212403400220031202142322434104143104244241214204444443323000244130122022422310201104411044030113302323014101331214303223312402430402404413033243132101010422240133122211400434023222214231402403403200012221023341333340042343122302113410210110221233241303024431330001303404020104442443120130000334110042432010203401440404010003442001223042211442001413004',5)
c1 = int('310020004234033304244200421414413320341301002123030311202340222410301423440312412440240244110200112141140201224032402232131204213012303204422003300004011434102141321223311243242010014140422411342304322201241112402132203101131221223004022003120002110230023341143201404311340311134230140231412201333333142402423134333211302102413111111424430032440123340034044314223400401224111323000242234420441240411021023100222003123214343030122032301042243',5)
N2 = int('302240000040421410144422133334143140011011044322223144412002220243001141141114123223331331304421113021231204322233120121444434210041232214144413244434424302311222143224402302432102242132244032010020113224011121043232143221203424243134044314022212024343100042342002432331144300214212414033414120004344211330224020301223033334324244031204240122301242232011303211220044222411134403012132420311110302442344021122101224411230002203344140143044114',5)
c2 = int('112200203404013430330214124004404423210041321043000303233141423344144222343401042200334033203124030011440014210112103234440312134032123400444344144233020130110134042102220302002413321102022414130443041144240310121020100310104334204234412411424420321211112232031121330310333414423433343322024400121200333330432223421433344122023012440013041401423202210124024431040013414313121123433424113113414422043330422002314144111134142044333404112240344',5)
N3 = int('332200324410041111434222123043121331442103233332422341041340412034230003314420311333101344231212130200312041044324431141033004333110021013020140020011222012300020041342040004002220210223122111314112124333211132230332124022423141214031303144444134403024420111423244424030030003340213032121303213343020401304243330001314023030121034113334404440421242240113103203013341231330004332040302440011324004130324034323430143102401440130242321424020323',5)
c3 = int('10013444120141130322433204124002242224332334011124210012440241402342100410331131441303242011002101323040403311120421304422222200324402244243322422444414043342130111111330022213203030324422101133032212042042243101434342203204121042113212104212423330331134311311114143200011240002111312122234340003403312040401043021433112031334324322123304112340014030132021432101130211241134422413442312013042141212003102211300321404043012124332013240431242',5)
e=3
n = [N1,N2,N3]
c = [c1,c2,c3]
def CRT(a,n):
sum = 0
N = reduce(lambda x,y:x*y,n) # ni 的乘積,N=n1*n2*n3
for n_i, a_i in zip(n,a): # zip()將對象打包成元組
N_i = N // n_i #Mi=M/ni
sum += a_i*N_i*invert(N_i,n_i) #sum=C1M1y1+C2M2y2+C3M3y3
return sum % N
x = CRT(c,n)
m = iroot(x,e)[0] #開e次方根
print(n2s(m)) #數值轉字符串
10. 低解密指數攻擊
背景：
與低加密指數相同，低解密指數可以加快解密的過程，但同時也帶來了安全問題。Wiener表示如果滿足：
那麼一種基於連分數（數論中的問題）的特殊攻擊類型，就可以危害RSA的安全，此時需要滿足：
如果滿足上述條件，通過Wiener Attack 可以在多項式時間中分解n。
下載工具：rsa-wiener-attack
github上有公開的攻擊代碼。
將解密的代碼放入wiener-attack的目錄下即可。
下載網址: https://github.com/pablocelayes/rsa-wiener-attack
低解密指數攻擊的特點：
e看起來特別大就行，且n分解無望
例題：
BUU rsa2
https://buuoj.cn/challenges#rsa2
題目：
N = 101991809777553253470276751399264740131157682329252673501792154507006158434432009141995367241962525705950046253400188884658262496534706438791515071885860897552736656899566915731297225817250639873643376310103992170646906557242832893914902053581087502512787303322747780420210884852166586717636559058152544979471
e = 46731919563265721307105180410302518676676135509737992912625092976849075262192092549323082367518264378630543338219025744820916471913696072050291990620486581719410354385121760761374229374847695148230596005409978383369740305816082770283909611956355972181848077519920922059268376958811713365106925235218265173085
import hashlib
flag = "flag{" + hashlib.md5(hex(d)).hexdigest() + "}"
解題步驟：
wiener攻擊腳本用於求出d的值
（注意，這裡要將攻擊腳本和rsa-wiener-attack的py文件放在同一個目錄下）
攻擊腳本：
import RSAwienerHacker
n = 101991809777553253470276751399264740131157682329252673501792154507006158434432009141995367241962525705950046253400188884658262496534706438791515071885860897552736656899566915731297225817250639873643376310103992170646906557242832893914902053581087502512787303322747780420210884852166586717636559058152544979471
e = 46731919563265721307105180410302518676676135509737992912625092976849075262192092549323082367518264378630543338219025744820916471913696072050291990620486581719410354385121760761374229374847695148230596005409978383369740305816082770283909611956355972181848077519920922059268376958811713365106925235218265173085
d = RSAwienerHacker.hack_RSA(e,n)
if d:
print(d)
得到d後在python2的環境下對其進行MD5哈希即可得到flag
後記：
以上分享了一些基本的RSA加密算法，如果有錯誤的地方，歡迎大家留言指正，我們一起學習進步。後面我會給大家分享更高階的加密算法，和我個人認為很好的一些題目,感謝大家的閱讀。
文章中可能有因為不同平台間編碼格式不同的緣故，而導致部分公式或者圖片顯示不出來或者是影響閱讀。有問題可以在下面留言