「維也納學派」是20世紀二、三十年代活躍在歐洲中心城市維也納的一個重要的學術群體，由多位優秀的哲學家、物理學家、數學家、邏輯學家和心理學家等具有不同學術背景的學者組成。他們在維也納大學定期會面，對於科學哲學的本質及科學方法論等問題進行深入探討和研究。維也納學派的邏輯實證主義（logical positivism）哲學立場，對於 20 世紀哲學，尤其是科學哲學和分析哲學，產生了巨大影響，留下了豐富的精神遺產。本文簡要介紹維也納學派中幾位著名數學家，如漢斯·哈恩、卡爾·門格爾、庫爾特·哥德爾等人的生平、成就和傳承。
撰文 | 范明
維也納學派群像
「學派」一詞，是指具有特色的學術傳統的群體。「學派」的英文school源於希臘文σχολείο，其本義為「躊躇、阻止、抑制」，引申義為「空閒、閒暇」。這些「閒人」們或吟詩作畫、彈琴奏樂、健身打獵，或探討自然科學和哲學問題，尤以討論學問和辯論真理為時尚。古希臘的「學問」便由這種有利於身心健康的「休閒」活動而來，「閒暇」成為古希臘人創造思想、學術和文化的基本前提條件，進一步派生出現代人所稱的「學校」「學院」以至「學派」。自古以來東西方學派大致可分為三種形式：「師承性學派」「地域性學派」和「問題性學派」，既有不同又互有聯繫。
19世紀末至二戰前是維也納文化活動的黃金時期，在哲學、心理學、藝術和音樂領域裡均出現了重大革新，成為歐洲整體啟蒙運動的重要組成部分。美國歷史學家卡爾·休斯克（Carl Schorske，1915-2015）這樣寫道：「偉大的維也納智識創新者在音樂和哲學、經濟和建築、自然還有精神分析方面，或多或少地刻意斬斷了他們同某種歷史觀的維繫」，維也納學派就是在當時這種創造性的文化氛圍中應運而生的。學派成員密切關注物理學和形式科學的最新進展，強調在哲學研究中使用現代數理邏輯學的新方法，從而建立一種 「科學世界觀」。與通常使用的school不同，維也納學派的德文原文是Der Wiener Kreis，英文是The Vienna Circle，因此中文譯成 「維也納學術圈」似乎更準確。
維也納學派的精神教父是19世紀的實驗物理學家和哲學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838-1916），他大力強調經驗主義和實證主義在科學研究中的重要性，另一位先驅者是熱力學和統計物理學的奠基人之一路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）。1924年，維也納大學感應科學哲學教授莫里茲·石里克（Moritz Schlick，1882-1936）等人創立了維也納學派，來自各個領域的學者和青年學生每周四在玻爾茲曼街（Boltzmanngasse）5號的數學研究所聚會，從那時算起已近百年。石里克與馬赫一樣，都是從物理學轉向科學哲學研究，他在柏林大學學習期間，曾師從量子力學的創始人馬克斯·普朗克（Max Planck，1858-1947）。
維也納學派產生的主要原因是對於德國唯心主義及其形上學理論的不滿，他們將知識分為兩大類，即先天分析的數學和邏輯與後天綜合的經驗科學。通過出版期刊叢書、召開學術會議、與各國同行交流，逐漸發展成為聲勢浩大的邏輯實證主義運動。維也納學派是一個鬆散的多元化組織，學派成員的觀點甚至某些核心立場並不完全一致，而這也許正是其生命力所在。學派領袖人物石里克、奧圖·紐拉特（Otto Neurath，1882-1945）、魯道夫·卡爾納普（Rudolf Carnap，1891-1970）三足鼎立，20世紀最偉大的哲學家之二——路德維希·維根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）及卡爾·波普爾（Karl Popper，1902-1994）與維也納學派也多有交流和互動。
維也納學派的核心成員及相關人物（scienceblog.at）
紐拉特與卡爾納普都是學數學和物理出身，1906年紐拉特在柏林大學政治學與統計學系獲得博士學位。紐拉特創立了圖形統計社會學，具有獨特的哲學觀點和體系，後因納粹被迫逃離到英國。1921年卡爾納普在柏林大學獲得博士學位，他在博士論文《空間、論科學哲學》中，以正統的康德風格探討了時空理論。1926年卡爾納普入職維也納大學，1935年移居美國，是邏輯實證主義的代表人物。他的代表作《世界的邏輯結構》（1928）和《語言的邏輯句法》（1934）探討了在邏輯和數學規則下構建語言，指出哲學就是語言的邏輯分析。紐拉特和卡爾納普一起提出了物理主義或統一科學的主張，試圖以此消除「精神科學」和自然科學的對立性。
維也納學派的歷史和發展呈現出不同階段：1907-1912年間的史前階段，1918-1923年間的成長時期，1924-1928年間的非公開階段——「石里克學術圈」（The Schlick Circle），1928-1934年間的公開階段——以1928年馬赫協會成立和1929年的公開宣言《科學的世界概念：維也納學派》為標誌，以及1934-1938年間的解體、移民、國際化時期。隨著1930年代中期法西斯主義在歐洲興起，維也納學派中的猶太裔學者受到迫害。1934年學派重要成員哈恩病逝，1936年石里克遇刺身亡，維也納學派最終停止活動並解散，多位重要成員移民北美或英倫。
維也納學派唯一的中國成員洪謙（1909-1992）少年時代被梁啓超收為關門弟子，前往日本學習陽明哲學。1927年，洪謙留學德國，在柏林大學學習天文物理。後來他受到石里克賞識，來到維也納，石里克成為影響他一生的導師。從1930年開始，洪謙應邀參加維也納學派的周四討論會，親歷了它的興衰。洪謙於1934年完成了博士論文《現代物理學中的因果性問題》，他在論文中引用當時量子物理學最前沿的成果，反駁了傳統哲學中對於因果觀念的看法。1937年回國後，洪謙努力向中國哲學界原汁原味地介紹維也納學派的科學觀和哲學觀，撰寫了著作《維也納學派哲學》。
哈恩和三人小組
漢斯·哈恩（Hans Hahn，1879–1934）是維也納學派中主要數學家和邏輯實證主義哲學家之一。哈恩出生於維也納，1898年進入維也納大學學習法律，第二年轉學數學，先後在斯特拉斯堡、慕尼黑和哥廷根學習。哈恩在古斯塔夫·馮·埃舍里奇（Gustav von Escherich，1849–1935）指導下研究經典變分法，於1902年獲得維也納大學數學博士學位，他的博士論文題目為《論簡單積分的二次變分理論》。1905年，哈恩入職維也納大學，後來在奧地利帝國東北部的切爾諾維茨大學接受了第一個教授職位、一戰應徵入伍受重傷，隨後又接受了波恩大學的聘書，1921年回到維也納大學擔任教授。
哈恩和他的論文集《經驗論、邏輯學和數學》封面（維基百科 & suhrkamp.de）
哈恩在許多數學領域均有重要建樹，是集合論和泛函分析的先驅者之一。他發表過一篇關於非阿基米德系統的基礎論文，並且很早就認識到了一類特殊的拓撲向量空間——Fréchet空間的重要性，他還引入了Hahn序列空間的概念。哈恩證明了一個非空 Hausdorff拓撲空間成為單位區間連續圖像的充分必要條件是該空間緊緻、連通、局部連通並具有可數基，這類空間有時稱為 「皮亞諾（Peano ）空間」，這一充分必要條件現在通常稱為Hahn-Mazurkiewicz 定理。在一篇關於曲線理論的文章中，哈恩基於Veblen幾何公理，為簡單閉合多邊形的Jordan定理提供了嚴格證明。
在泛函分析領域，哈恩發展了魏爾斯特拉斯關於變分法的思想，修改了Ernst Hellinger 的二次型不變量理論，以及研究了Banach 空間的對偶性。令人印象最深的是1920年代後期，哈恩和波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）獨立證明了以二人名字命名的 Hahn-Banach 定理。這一定理是泛函分析的核心工具之一，它允許將定義在某個賦范向量空間的子空間上的連續線性泛函擴展到整個空間，表明在每個賦范向量空間上都定義了 「足夠多的」連續線性泛函。哈恩還獨立證明了泛函分析中的另一個重要定理：關於算子一致有界性的Banach-Steinhaus定理，或稱為 「共鳴定理」。
哈恩的研究領域還包括抽象測度理論、序理論、實函數、傅立葉分析、廣義調和分析等，以他的名字命名的定理還有：測度論中的Hahn分解定理、Hahn-Kolmogorov定理、Vitali-Hahn-Sak定理，以及關於阿貝爾群有序結構的Hahn嵌入定理等。哈恩撰寫了兩部關於實函數理論的專著，對於該理論的進一步發展產生了重要影響。根據數學家譜網站MGP記載，哈恩一共指導了13篇博士論文。除了廣泛深入的數學興趣和研究經歷之外，哈恩還是一位數學哲學家。他最喜歡的作家是大衛·休謨（David Hume，1711–1776），非常欽佩萊布尼茨，在近現代哲學家中偏愛馬赫。
1907年左右，哈恩與政治經濟學家奧圖·紐拉特及理論物理學家菲利普·弗蘭克（Philipp Frank，1884–1966）在維也納成立了一個三人小組，他們在維也納著名的中央咖啡館不定期聚會，討論哲學和科學問題，特別是奧地利和義大利的科學論及法國的約定論思想，紐拉特的觀點在其中起到了重要作用。1902 年，哈恩的妹妹奧爾加·哈恩-紐拉特（Olga Hahn-Neurath，1882–1937）進入維也納大學攻讀數學和哲學，主要的數學興趣是布爾代數。她22歲時雙目失明，1911 年成為維也納大學哲學專業的第三位女性畢業生，獲得博士學位，第二年與紐拉特結婚。弗蘭克是物理學和哲學比較研究的代表性人物，於1922年接任愛因斯坦在布拉格德意志大學的教授職位，因此小組活動不得不中斷。
維也納中央咖啡館，右圖下方是經常光顧這家咖啡館的奧地利作家Peter Altenberg的雕像（筆者攝）
1921年，哈恩出任維也納大學數學系系主任，看到了實現小組原有計劃的機會。在他的支持下，石里克於1922年被任命為維也納大學歸納科學哲學系主任，維也納學派應運而生並不斷擴大。回到維也納後，哈恩開始對符號邏輯進行深入研究，並著眼於相關的哲學問題，一共撰寫了八篇關於經驗論、邏輯學和數學的文章，被後人結集出版。他開設了布爾代數課程，主持了關於維根斯坦的《邏輯哲學論》以及懷特黑德（Alfred North Whitehead，1861–1947）和羅素（Bertrand Russell，1872–1970）的《數學原理》研討會。哈恩認為羅素很可能會被視為那個時代最重要的哲學家，這在很少有中歐哲學家了解羅素著作的時期是非同尋常的。
1929年，哈恩與卡爾納普、紐拉特一起，撰寫了維也納學派的公開宣言，敘述了學派的歷史、成員、傾向和目標，並將其題獻給石里克。宣言中說，維也納學派有兩個基本原則：一是認為知識只能來自經驗；其次，科學的世界概念的標誌是使用一個特定的方法，即邏輯分析法。然而，哈恩的名字常常不出現在宣言撰寫者的名單中。哈恩逝世後，弗蘭克在訃告中寫道：哈恩 「可視為維也納學派的真正創始人。」 「在某種意義上，他始終是該組織的中心。」 「沒人知道他如何以如此簡單而透徹的方式、合乎邏輯和暗示性的形式呈現這些主要思想。」
哈恩因使用其數學和哲學著作來研究精神現象而聞名，他有一個題為《直覺的危機》的著名演講，他指出：「由於直覺證明為真的命題被邏輯反覆證明是假的，所以數學家們越來越懷疑直覺的有效性。……因此，出現了從數學推理中排除直覺的需求，以及對數學的完全形式化的需求。」「直覺並非純粹先天的知識手段，而是植根於心理惰性的習慣力量。」哈恩晚年的部分業餘時間用於超心理學研究，並舉辦了一些公開講座。在政治上哈恩是一位堅定的社會主義者，積極參與社會民主主義運動。他不遺餘力地為公眾服務，尤其是投身於成人教育，為有潛力的貧困學生盡其所能。
門格爾和維也納研討會
哈恩的兩名學生後來也成為維也納學派的重要成員，其中之一是卡爾·門格爾（Karl Menger，1902-1985）。他的父親老卡爾·門格爾（Carl Menger，1840-1921）是奧地利經濟學派的創始人，他的母親赫敏·安德曼（Hermine Andermann，1869–1924）是一位猶太裔作家和音樂家。門格爾於1920年進入維也納大學學習物理學，第二年參加了哈恩開設的關於曲線概念的新課程，十分著迷。在哈恩的鼓勵下，門格爾開始對相關問題進行研究。他在患肺病療養期間，獨立給出維數的定義並獲得重要結果，於1924年以《關於點集的維數》的論文獲得數學博士學位。博士畢業後，門格爾在阿姆斯特丹大學度過兩年，擔任荷蘭數學家和哲學家魯伊茲·布勞威爾（Luitzen Brouwer，1881–1966）的助手。
門格爾的主要研究領域是維數理論、邏輯、幾何、圖論和博弈論，現代點集幾何理論的發展與維數概念密切相關。門格爾在研究拓撲維數概念時，構造了後來以他的名字命名的 「門格爾海綿」（Menger sponge），又稱 「門格爾立方體」。門格爾海綿是拓撲維數為1的通用曲線，即任何一維曲線都與門格爾海綿的一個子集同胚；它是一維的康托爾集和二維的謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣，其分形維數為 (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.727；它是勒貝格測度為0、表面積無窮大的不可數緊集。1928年，門格爾出版了著作《維數理論》，他在書中將自己及同行的研究成果匯集為一個有機整體，並揭示了對這一理論未來發展方向的非凡認識。
門格爾證明了圖論中最重要的結果及關於圖的連通性的基本定理之一——門格爾定理，即在有限圖中，最小割集的大小等於在任何頂點對之間不相交路徑的最大數量。這一結果收錄在他的第二本著作——1932年出版的《曲線理論》中。門格爾參加了同年在蘇黎世舉行的國際數學家大會，作了《幾何的新方法和問題》的大會報告。門格爾還發展了19世紀英國數學家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley，1821–1895）關於距離幾何的理論，被認為是這一數學分支的創始人之一。距離幾何是對半度量空間和它們之間的等距變換的研究，在基本定義中出現的特徵數學表達式是 Cayley-Menger 行列式，距離幾何在如 GPS 之類的電信網絡、化學中如NMR技術，以及一些應用程式軟體包中有廣泛應用。
門格爾和門格爾海綿（math.duke.edu & YouTube）
1927年應哈恩之邀，門格爾回到維也納大學，擔任數學系教授並很快成為維也納學派的活躍成員。門格爾對科學最持久的貢獻，是在1928-1936年間組織創辦的 「維也納研討會」（Vienna Colloquium），研討會每兩周在維也納玻爾茲曼街5號舉辦一次。早期的演講和討論集中在純數學，特別是幾何和拓撲方面，後來擴大到物理科學、哲學、統計學和經濟學領域，許多不同的新思想在這裡交匯碰撞。門格爾保存了研討會的全部記錄，編輯出版了八期論文集《學術研討會的成果》。他曾計劃出版一本名為《維也納學派及那個時代的奧地利》的專著，但由於其他項目和健康原因未能完成。
許多著名學者應邀在維也納研討會發表演講，其中包括愛德華·切赫（Eduard Čech，1893–1960）、阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901–1983）、約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann，1903–1957）、諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894–1964）、奧斯卡·摩根施特恩（Oskar Morgenstern，1902–1977）等人。在研討會上，馮·諾依曼通過對布勞威爾不動點定理的推廣，首次給出關於一般競爭均衡存在的純拓撲證明，他的有關多部門經濟擴張模型的論文發表在最後一期論文集上。馮·諾伊曼和摩根施特恩於1943年在普林斯頓發表的劃時代著作《博弈論和經濟行為》中，將不確定性引入選擇理論和博弈論的發展，也可溯源到維也納研討會。
早在1922年讀博養病期間，門格爾完成了其父的遺著《國民經濟學原理》第二版的修訂和出版工作，並獲得了相當多的經濟學專業知識，因此他認為自己心中「住著兩個靈魂」——數學家的和經濟學家的。門格爾獨特的成長經歷和教育背景，使得他在經濟學家和數學家之間的合作發揮了橋樑和催化作用。維也納學派的許多重要思想都起源於門格爾，然而卻經常被歸因於他人。和他的導師哈恩一樣，門格爾作為哲學家並不總是得到應有的認可，實際上他可以被稱為「最合乎邏輯的實證主義者」。隨著納粹在德國的崛起，奧地利政治局勢逐步惡化，1936年維也納研討會停止活動。
1937年門格爾應聘前往美國印第安那州聖母大學任教，在那裡開始研究雙曲幾何、概率幾何和函數代數，並將大部分精力投入高等數學教育工作，撰寫了有關教學新思想的文章和書籍。後來門格爾訪問了同樣移居美國並擔任芝加哥大學哲學教授的卡爾納普，後者按照維也納學派的模式創建了 「芝加哥學派」。因此門格爾於1948 年到伊利諾伊理工學院教書，直到1971年退休並在芝加哥度過餘生，他在維也納和美國一共指導了18位數學博士。1980年，門格爾為哈恩的論文集《經驗論、邏輯學和數學》英文版撰寫了序言，概述了哈恩的一生，本文中關於哈恩的許多描述就來自這篇序言。
哥德爾和不完備性定理
庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel，1906-1978）是哈恩最著名的學生，與被低估的導師哈恩、師兄門格爾不同，哥德爾是維也納學派中最富盛名的數學家和哲學家。哥德爾出生於奧匈帝國的布爾諾（Brünn，今屬捷克），自幼體弱多病，他小時候因其永不滿足的好奇心獲暱稱「為什麼先生」（Der Herr Warum），高中時期就已經掌握了大學數學。1923 年哥德爾進入維也納大學，開始學習理論物理，但對於精確性的追求使他轉向數學。1926年左右，在哈恩的引導下，哥德爾參加了維也納學派的活動，但他與邏輯實證主義的見解並不相同。在石里克主持的關於羅素《數學哲學導論》的討論會上，哥德爾對數理邏輯產生了極大興趣，之後跟隨哈恩攻讀博士學位。
1920年代，大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）提出了一項影響深遠的數學研究計劃——「希爾伯特綱領」。他建議將所有現有理論建立在一組有限的、完整的公理之上，並提供這些公理是一致的證明，希望以此一勞永逸地解決所有數學基礎問題。哥德爾通過維也納學派的活動了解到希爾伯特綱領，參加了希爾伯特在博洛尼亞的一場講座，並將其作為自己博士研究的選題。他於1929年完成了博士論文《關於邏輯演算的完備性》，指出一階謂詞演算中所有邏輯上有效的公式都是可以證明的。1931年經哈恩推薦，哥德爾的劃時代論文《論數學原理及相關系統的形式上不可判定定理》正式發表。門格爾也是哥德爾的大學老師，論文中著名的不完備性定理最早就是在維也納研討會上宣布。
哥德爾在這篇論文中的主要結果是：1. 任何自洽的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以構造在系統中不能被證明的真命題，因此通過推理演繹不能得到所有真命題（即系統是不完備的）。2. 任何邏輯自洽的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就不能用於證明其本身的自洽性。他證明了在任何數學公理系統中自洽性和完備性都是不相容的，從而結束了人們一個世紀以來將整個數學大廈建立在公理化基礎上的嘗試。哥德爾不完備性定理是 20 世紀數學的一個里程碑和轉折點，它表明數學並不是像人們想像的那樣完美，也意味著計算機永遠不可能用編程來回答所有數學問題，從而撼動了當時被希爾伯特認為完美的數學王國。
1932年，哥德爾獲得Habilitation 「特許任教資格」，第二年開始成為維也納大學的無薪講師，講授過《算術基礎》《數理邏輯》《公理集合論》等課程。1933-1938年間，他曾三次訪問美國，在普林斯頓高等研究院（IAS）從事客座研究。1936年6月，石里克被刺身亡，引發了哥德爾嚴重的精神疾病，因此不得不在療養院度過數月。1938年春季學期，門格爾曾安排哥德爾訪問聖母大學，但未能說服他接受那裡的職位。隨著1938年3月德國吞併奧地利，1939年9月二戰爆發，哥德爾面臨失去工作、被徵兵等種種困境。他偕同新婚不久的妻子，於1940年再次來到普林斯頓，在IAS獲得一個職位，1946 年成為IAS的永久成員，1953 年成為正教授。
哥德爾及其在維也納最後的住址（維基百科 & ltn.lv）
儘管存在健康問題，哥德爾在1930年代後期的研究工作仍然進展順利。1938年秋天，他在普林斯頓完成了另一篇經典之作《選擇公理和廣義連續統假設與集合論公理的一致性》。在1900年巴黎國際數學家大會上，希爾伯特提出了20世紀有待解決的23個重要數學問題，其中第一個問題是 「連續統假設是否成立」。哥德爾用內模型法證明了連續統假設與ZFC的相對協調性，即連續統假設不能在ZFC系統中被證偽。1963年，美國數學家保羅·科恩（Paul Cohen，1934-2007）用力迫法證明了連續統假設不能在ZFC系統中被證明，即連續統假設獨立於ZFC系統。順便說一下， 「希爾伯特的23個問題」與 「希爾伯特綱領」是兩個不同的概念，後人常有混淆。
在普林斯頓，哥德爾找到了安心做學問的避難所，獲得了廣泛追求學術興趣的充分自由。哥德爾第一次訪問普林斯頓時就結識了愛因斯坦，相見恨晚，成為忘年之交。愛因斯坦晚年時曾說過：「我來上班就是為了能有同哥德爾一起散步回家的榮幸」 ，兩人的午後散步是普林斯頓的一道風景。從1943年開始，哥德爾的主要精力從數理邏輯轉向哲學研究。1949年他還客串了一把相對論，發現了愛因斯坦場方程的一個精確解，被稱為 「哥德爾度量」或 「哥德爾宇宙」。這是一個宇宙學常數為負數的旋轉宇宙模型，其中存在封閉的類時曲線，在理論上讓時光倒流成為可能。哥德爾認為時間和變化不是客觀實在的， 「有許多聯繫，今天的科學和正統的智慧對之一無所知」。
哥德爾信奉柏拉圖主義，將數學視為他所鍾愛的哲學的最後堡壘。1952年哈佛大學授予哥德爾名譽博士學位，稱他是「本世紀最有意義的數學真理的發現者」。1970年代初期，著名美籍華裔數理邏輯學家王浩曾與哥德爾大量討論哲學，王浩這樣描述哥德爾：「在他的手裡，數學和哲學意蘊豐富，優美異常，且無半點門戶怨氣。在意見相左的思想圈子中，他享受如此的尊重，為當世所少見。世人相爭相鬥，樂此不疲，他卻超然於競爭之外。他的著作，對當代邏輯的所有分支來說，都是基礎和生命力。在哲學中，情形卻相反，他大量的著述還未發表，對他的觀點也是眾說紛紜，莫衷一是。……人們耳熟能詳的，只是他對自己的數學哲學簡略的勾畫。」
哥德爾和愛因斯坦在普林斯頓（wsj.com）
其他幾位數學家
理察·馮·米塞斯（Richard von Mises，1883-1953）出生於奧匈帝國倫貝格（今為烏克蘭的利沃夫）的一個猶太家庭，本科在維也納科技大學學習數學、物理和工程學。1907年馮·米塞斯獲得維也納大學力學博士學位。馮·米塞斯先後擔任斯特拉斯堡大學、德勒斯登科技大學、柏林大學教授，1944 年起任哈佛大學空氣動力學和應用數學講席教授。馮·米塞斯的主要研究領域包括力學、航空學、統計學和概率論，他發展了應力的畸變能量理論，獨立制定了塑性理論的馮·米塞斯屈服準則，最早提出概率論中的「生日問題」，還定義了賭博系統的不可能性。
在數學力學工作之外，馮·米塞斯也追隨馬赫的腳步，對科學哲學做出了重要貢獻。他於1939年出版了哲學著作《實證主義：人類理解的研究》，副標題為 「科學的目標和態度如何應用於人類的所有智力活動——無論是科學、藝術或是倫理學。」 他認為實證主義並不聲稱所有的問題都可以得到合理的回答，正如醫學並不以所有疾病都可以治癒為前提，或者物理學並不以所有現象都是可以解釋的假設為出發點一樣，然而僅僅由於某些問題可能沒有答案並不足以成為不尋找答案或不使用可獲得的答案的充分理由。馮·米塞斯的著述現在已經基本被遺忘，但他的總體觀點仍然存在。
庫爾特·雷德邁斯特（Kurt Reidemeister，1893–1971）從 1912 年起先後在弗萊堡、慕尼黑、馬爾堡和哥廷根大學學習，1920年獲數學、哲學、物理、化學、地質學的中學教師任教資格，1921 年以代數數論的論文獲得漢堡大學博士學位。經哈恩推薦，1923年雷德邁斯特被維也納大學聘用，並加入維也納學派。在他的帶領下，維也納數學家團隊用了一年時間研究維根斯坦的《邏輯哲學論》中關於邏輯和數學的深刻思想。雷德邁斯特先後在柯尼斯堡、馬爾堡、哥廷根大學擔任教授，他的主要研究興趣是組合群論、組合拓撲、幾何群論和幾何基礎，撰寫了關於紐結理論的重要著作《紐結和群》、《紐結理論》，以及哲學著作《希臘人的確切想法》。
亞伯拉罕·沃爾德（Abraham Wald，1902-1950）出生在匈牙利的一個猶太知識分子家庭，畢業於費迪南一世國王大學。他於1927年進入維也納大學研究生院，在門格爾的指導下撰寫了題為《關於希爾伯特公理系統》的博士論文，1931年獲得博士學位。1930年代，沃爾德擔任奧地利著名經濟學家卡爾·施萊辛格（Karl Schlesinger，1889-1938）的數學老師，是門格爾研討會的積極參與者。他發表了多篇幾何學及經濟學的論文，還為研討會撰寫了一部關於時間序列中季節性變化的專著。1938年，沃爾德應邀前往美國進行計量經濟學研究，是統計序列分析領域的開創者。二戰期間，沃爾德為美國海軍服務，提出了 「倖存者偏差」的概念，1950年與妻子在飛機失事中雙雙遇難。
奧爾加·陶斯基-托德（Olga Taussky-Todd，1906-1995）出生於奧匈帝國時期捷克奧洛穆茨的一個猶太家庭，1925 年進入維也納大學學習數學，哈恩和門格爾是她的老師，哥德爾是她的同學。陶斯基專攻代數數域理論，於1930年獲得博士學位。她在讀書期間參加了維也納學派的活動，與哈恩-紐拉特、羅斯·蘭德（Rose Rand，1903-1980）一樣，是最早加入維也納學派的女性之一。從維也納大學畢業後，陶斯基受聘哥廷根大學，參與編輯希爾伯特數論全集第一卷，還擔任過埃米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）和理察·庫朗（Richard Courant，1888-1972）的助理。她後來移居英國，又與丈夫——愛爾蘭數學家傑克·托德（Jack Todd，1911-2007）一起移民美國，先後在國家標準局和加州理工學院工作。
古斯塔夫·伯格曼（Gustav Bergmann，1906-1987）在維也納大學攻讀數學、輔修哲學，從事多維微分幾何的研究，1928年獲得博士學位。伯格曼在讀博期間，與他的高中同學哥德爾一起，成為維也納學派最年輕的成員。1938 年秋天，伯格曼移民美國，定居愛荷華。在乘船穿越大西洋的時候，伯格曼應紐拉特的要求撰寫了一本專著《維也納學派的回憶：致奧圖·紐拉特的信（1938 年）》。1940年後期，伯格曼開始了後來成為他最重要的工作——形上學、邏輯哲學和心靈哲學的研究，他堅持認為邏輯實證主義本身也包括一種隱含的形上學。伯格曼在心理學和物理學哲學，以及邏輯和概率論方面發表了大量論文及著作，後來成為愛荷華大學哲學和心理學教授。
左：維也納大學主樓，右：玻爾茲曼街5號（筆者攝）
在非理性主義蔓延的時代，維也納學派的創造是獻給世界的禮物，也是對所處艱難時世的反應。雖然早期邏輯實證主義不再是活躍的研究領域，但他們的思想已融入現代科學哲學，成為我們今天享有的社會繁榮和進步的基礎。對於文中提到的幾位數學家來說，哲學只是其科學成果的一部分，他們在各自的數學領域均做出了傑出貢獻。筆者讀大學時初次接觸哥德爾不完備性定理以及哈恩參與證明的泛函分析基本定理，在很大程度上顛覆了以往的認知。去年初夏筆者來到維也納，專門走訪了文藝復興風格的大學主樓和當年維也納學派成員舉辦研討會的玻爾茲曼街5號。40多年之後來到這些不朽思想的發源地，敬仰之情油然而生，特撰寫這篇小文向大師致敬！
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《瘋狂年代的精確思考》，Karl Sigmund（維也納大學數學教授）著，湖南科技出版社，2022年11月
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