導語
為什麼我們可以預測太陽系各大行星在百萬年後的運動軌跡，卻無法準確預測一個月後的天氣？這是因為在一個混沌的世界，系統初始條件的微小變化，會通過非線性作用層層放大，讓長期預測變得不可能。本文從羅密歐與朱麗葉兩人之間的愛情動力學開始，進入無法精確求解的「三體問題」，分析了動力系統的混沌特性，告訴我們如何衡量系統對初始條件的敏感性，預測系統是否會進入混沌狀態。
關鍵詞：動力系統，非線性，混沌
劉宇 | 講者
董佳欣 | 整理
鄧一雪 | 編輯
本文內容整理自北京師範大學複雜系統國際科學中心劉宇老師的直播 。
當系統的初始狀態與狀態變化規則已知，理論上可得之後任一時刻系統的狀態，但實際上由於對初始條件的測量存在誤差，以及計算過程中對數值的約算，對系統狀態的精準預測被畫上問號。
本文試著回答以下幾個問題：如何對動力系統進行分析？存在不可預測的動力系統嗎？導致不可預測的原因是什麼？希望幫助大家對動力系統有更深的理解。
1. 戀愛動力學：
羅密歐與朱麗葉的愛恨情仇
高中時我們都有學過導數，對於
下面我們加入一個新變量J到系統中，給兩個變量賦予含義，並且讓他們之間產生互動，從而使我們的系統豐富起來。
我們假設此時愛可以量化， R表示羅密歐愛朱麗葉的程度，J表示朱麗葉愛羅密歐的程度，而他們雙方愛意的變化遵從這個規則：
其中a, b, c, d為任意常數。
當a, b, c, d取值組合不同（尤其是取值正負組合不同時），最終會使得R和J隨時間的變化呈現不同的樣態。比如當四個常數取值
根據圖我們不難發現，在這段關係中，一方的愛意大小會對另一方的愛意的變化產生影響，而如何影響是由a, b, c, d取值決定。針對上例中取值狀況，我們若想進一步分析二人的愛意對對方的影響，不妨變換坐標，以R為橫軸，J為縱軸，得到兩人愛意動力系統的相圖：
如何分析該圖呢？我們取右上方區域放大，按黃色箭頭方向來看，當羅密歐的愛意上升（橫坐標變大）時，朱麗葉的愛意會下降（縱坐標變小），以同樣的方法去分析另外三個部分，即可了解二人的愛意對對方的影響。
取不同a, b, c, d，會得到不同的雙方愛意變化規則，如下圖所示，再根據二人愛意的初始值，可得到之後任一時刻，兩人對對方的愛意數值，並且根據兩人愛意變化的規則，編出二人間不同的愛情故事。
上述過程告訴我們，當系統遵循不同的變化規則，會使得系統相圖呈現出不同樣態，取不同樣態間的共性，我們可以將相圖根據其收斂方向、形態等特點進行分類，並根據系統相圖所屬的種類的特點，對該系統的發展有定性了解。
2. 混沌：三體運動不能精確求解
現在，我們再給系統內加一個主體，並且讓他們之間存在非線性關係，也就是變化規則中存在非線性項，這就進入到了所謂的「三體問題」，事實上這個問題早在幾百多年前就被提出。
1885年，在剛創刊不久的瑞典數學雜誌上出現了一則引人注目的通告：為了慶祝瑞典和挪威國王奧斯卡二世在1889年的六十歲生日，將舉辦一次數學比賽，懸賞2500克朗和一塊金牌，比賽題目共有四個，其中第一個就是找到「多體問題」的所有解。而多體問題，又可追溯至 17 世紀晚期，當牛頓發現運動和引力定律時，牛頓定律非常清晰地闡述了行星軌道的形態。乍看上去似乎只要應用牛頓定律，就能計算出任何一組相互間存在引力作用的物體的運動軌跡，可以是三體、四體或者任意數，只要知道起始狀態，通過萬有引力定律，一定可以把所有物體的任意位移計算到任意的精確程度。
龐加萊在讀博士期間就已經開始研究太陽系中的多體問題，當他看到這則通告，毫不猶豫便選擇了這個問題，他進展迅速，並完成以任意精度計算三體的運動軌跡，雖然這隻解決了多體問題當中的三體情況，但仍征服了評委，得到這一賽事的獎勵，且他的解答論文也被刊登在《數學學報》上。不幸的是，很快他發現在證明的關鍵地方，忽略了數學函數的幾何行為的一種微妙可能性，因此他對於三體問題的解答是錯誤的。龐加萊自費找回了已經被發放的雜誌，並且更改了他的結論——從微積分的角度而言，萬有引力影響下相互作用的三體問題沒有可解析的積分解，這暗示著含有更多數目的多體問題也是無解的。
以上兩視頻展示了不同初始條件下的三體運動，可以直觀發現它們的運動十分混亂、無序，且在某時刻會因為引力彈弓的原因被高速彈開。若用略為嚴謹的語言表述其之所以無法被預測的原因，是因為描述它們的方程無法涵蓋和控制計算中細微的不確定性，即任何小數量級的誤差都會導致全然不同的運動軌跡，這就是混沌的特性。
也正是因此，三體文明才會選擇對地球發起戰爭，而不是發展科技預測三顆太陽的運動軌跡，因為任何觀測或是計算上的微小誤差，會導出極具差異性的運動軌跡，也就是摧毀了預測的能力。
3. 蝴蝶效應：
其實人家叫「對初始條件的敏感性」啦
混沌呈現出系統對初始條件的敏感性，即同一系統，在初始條件有細微差異的前提下，會導出兩種完全不同的發展情況，其實也就是我們熟知的蝴蝶效應：一隻蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的德克薩斯州引起一場龍捲風。
拿洛倫茲系統來舉例，如下面的動圖所示，即使一開始兩個點相距很近，以至於運動一段時間我們都看不出原來是兩個點，但隨著時間推移，兩個點儼然開始走起各自的軌道，且兩條軌道毫不相關，唯一的相似之處便是被限制在一定的運動範圍內，而這個是該系統兩個吸引子的影響。洛倫茲系統遵從的運動規則由以下三個方程決定：
至於如何衡量一個系統對初始條件的敏感性，依靠的就是李雅普諾夫指數，它是用來描述兩個點相互遠離的速度。如下圖所示的一個系統中的兩條軌道：
設初始時刻（t=0），兩點的距離為||δ(0)||，t時刻兩點的距離變為||δ(t)||，我們再令t時刻的距離約等於初始時刻的距離乘以一個隨時間指數增加的值，即：
其中λ即為李雅普諾夫指數。將等號左右兩邊取對數，可得如下形式的公式：
我們會發現該式的形式與直線的斜截式（y=kx+b）相同，所以此時我們得到的圖將會成為一條直線（如下圖所示）。
我們發現李雅普諾夫指數就是系統實際ln||δ(t)||~t曲線的近似直線的斜率，由此，我們便可以得到系統的李雅普諾夫指數。
同時，我們再回到定義李雅普諾夫指數的公式，會發現當其為正（λ>0)時，因
為||δ(0)||一定值，故||δ(t)||會以指數速度增加，換言之，系統中兩點會以指數速度分離，也就是進入兩條毫不相關的軌道。而對於系統是否存在動力學混沌，可以從最大李雅普諾夫指數是否大於零非常直觀地進行判斷——正李雅普諾夫指數，意味著在系統相空間中，無論初始時刻兩點距離多麼靠近，其間距都會隨著時間成指數率的增加以致達到無法預測，這也就是我們所說的混沌現象，而李雅普諾夫指數的大小，暗示著兩點分開的速度，也就是系統進入混沌狀態的速度，或者也可以說系統不再能被預測的速度。
此時再回過頭去看一些系統，根據其李雅普諾夫指數的大小，我們便能大致估計出對系統進行預測的程度。例如對於太陽系各行星運動，我們能預測到400~500萬年左右，對於天氣系統，我們能預測到15天左右，而對於混沌電路，則僅能預測1毫秒左右。
因此由於系統的非線性性質，部分系統將面臨必然走向混沌的結果，故而我們不能僅通過觀測其在某一時刻的狀態與演化規律，就精確預測任意時刻後該系統的狀態。因此，就無須抱有一些不切實際的期待，比如希望天氣預報給出未來一個月的天氣情況。
4. 對於混沌的最新研究
正如前文所講，多數非線性系統難以求解析解，因為相較於線性系統，它不能分成幾個部分單獨求解，並重新整合。但自然界的很多複雜系統，如氣象變化、化學反應、病毒感染、人口移動、社會行為等，各部分會相互影響、合作或競爭，也就是出現很多非線性作用，因此學會用整體的目光，關注系統中的複雜性與偶然性就顯得尤為重要。
混沌理論就是非線性科學中發展出的理論，它是關於系統從有序突然變為無序狀態的一種演化理論，是對不規則而又無法預測的現象及其過程的分析。
然而，混沌不是純粹的無序，而是不具備周期性變化和其他明顯對稱特徵的有序態，因此該理論可以為我們研究自然科學或社會科學中諸多現象的不確定性做出解釋與分析。與此同時，該理論延展出的如何控制或利用混沌現象的研究，還被應用於神經網絡、非線性電路、天體力學、非線性機械故障診斷系統等諸多領域，向我們展示了其廣闊的發展前景。
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來源：集智俱樂部
編輯：冬眠愛好者