如何用高斯定理證明球殼的引力等效地作用在球心？引力結合能又是如何計算出來的？7月3日中午12時，《張朝陽的物理課》第六十八期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間。他先簡單回顧了上節課證明過的高斯定理和泊松方程，然後利用球殼的對稱性與高斯定理計算出了球殼的引力場，再次驗證了球殼對外部質點的引力可以等效成質量集中在球心的引力，而內部質點受到的引力為零。隨後張朝陽還求解了球殼的泊松方程，得到引力勢。最後，他通過選取恰當的積分順序，結合球體引力勢的表達式，計算出了均勻球體的引力結合能。
應用高斯定理計算球殼引力
在之前的課程中，張朝陽在球坐標系下計算了球殼對質點的引力，發現球殼對其外部質點的引力可以等效地看成是將球殼所有質量集中在球心的引力，而球殼內質點感受到的引力為零。密度均勻一致或者至多只隨半徑變化的球體，等價於不同半徑球殼的集合，它對質點的引力也可以等效地把球體質量看成是集中在球心。由於萬有引力是中心力，為了讓物體能量最小化，宇宙中的很多物體都具有球形結構。萬有引力這個特殊的性質對於我們計算宇宙中物體之間的萬有引力有非常大的幫助，例如它可以說明中學時期計算空間站或地球表面物體所受的地球引力的方法是正確的。
之前的課程是將不同位置的質量微元產生的引力分量進行積分來進行論證，但這個積分需要進行多次變量代換，頗為複雜。下面將利用高斯定理，簡潔地證明球殼對質點的引力可以等效地看成是球殼所有質量集中在球心的引力。
選取球殼外的一個球面，球面的半徑為r，由於球殼的球對稱性，可知半徑為r的球面上的引力場大小g都相等；又因為球殼繞任何經過圓心的軸具有旋轉對稱性，所以引力場只有沿徑向方向的分量；又由於引力是吸引力，故引力場方向與球面的法向方向正好相反，最終引力場在半徑為r的球面上的通量為：
其中第二個等號利用到了球的表面積公式S=4πr^2。
另外，上節課也介紹了引力場的高斯定理（M是球殼的總質量）：
對比以上兩種通量的表達式，馬上可以得到某位置處引力場大小g與該位置到球心的距離r的關係：
方向沿徑向指向球心。由於一個質量為M的質點在r處產生的引力場大小也是GM/r^2，方向也指向球心，這說明球殼對球殼外質點的引力，確實可以等效地看成是球殼所有質量集中在球心時的引力。
另外，若選取的球面半徑r小於球殼的內半徑，那麼球面內包含的M=0，故g=0，說明球殼內質點感受到的引力為零。可見，這裡只通過高斯定理進行簡單的推導，就得到了先前通過複雜積分計算才得到的結果，展現出了高斯定理的強大作用。
求解泊松方程得到引力勢
上節課利用高斯定理和散度定理，還推導了引力勢φ與質量密度ρ的關係，即泊松方程：
現在已知球殼對應的全空間的質量密度ρ(r)是球對稱的，若進一步要求無窮遠處引力勢φ與一個點電荷產生的引力勢一樣都趨於0，那麼球對稱的泊松方程的邊界條件也是球對稱的，於是方程的解φ也是球對稱的，記為φ(r)。各點的引力勢只與其到球心的距離r有關，而與球坐標的角度無關。先前求解量子力學中氫原子的薛丁格方程時，張朝陽曾經推導了球坐標下拉普拉斯算子的表達式：
將其代入泊松方程，並考慮到體系的球對稱性，可得：
仔細觀察上述形式的泊松方程，會發現等號左邊正是氫原子薛丁格方程關於r的求導項。根據求解氫原子薛丁格方程的經驗，只需在方程的等號兩邊同乘以r，並令u(r)=rφ(r)，即可將方程進一步化簡為如下形式：
設球殼的外半徑為R，球殼的內半徑為R₀，那麼ρ(r)在r>R或r<R₀的範圍內都為零，即在r>R或r<R₀區域，泊松方程簡化為：
這是一個非常簡單的微分方程，通過級數解法或直接積分即可解得：
其中c1與c2是積分常數。前面已經規定過無窮遠的勢能為零，所以對於r>R的區域，c2=0。另外，當r趨於無窮時，r遠遠大於R，球殼近似成為一個質量為M的質點，引力勢趨近於該質點的引力勢-GM/r，這說明c1=-GM。於是當r>R時，引力勢的表達式為：
而當r<R₀時，若c1不等於零，那麼引力勢在r=0處發散，並且球殼的泊松方程在r=0處不成立，所以c1=0。於是當r<R₀時，引力勢為一個與空間坐標無關的常數：
c2的具體數值，需要通過求解R₀≤r≤R區域的引力勢並利用連續性條件來確定。全空間的引力勢如下圖所示：
引力勢隨r的依賴關係
上節課還證明了引力場與引力勢的關係為：
通過此公式以及剛剛求出的球殼引力勢的表達式，可以得到引力場的表達式：
這個結果與用純粹積分計算和用高斯定理得到的結果完全一致。
引力結合能
綜上所述，張朝陽已經求解了球體（相當於R₀=0的球殼）的引力勢φ(r)，那麼當質量為m的質點處在位置r>R時，它感受到球體的引力勢能即可直接得出為mφ(r)。但若想要考慮球體自身的引力勢能，應該如何計算？ 可以思考這樣一個構成球體的過程:首先所有構成球體的質量微元都在無窮遠處，然後將它們一個一個從無窮遠處移動到球體所在的位置，值得注意的是，球體是逐漸長大的直到半徑達到R。所以處在位置r處的質量微元從無窮遠移到r處的過程中，它只感受到一個半徑為r的球體的引力，而並不是半徑為R的完整球體的引力。由此可以計算出球體的引力勢能。
除此之外，還可以通過計算所有質量微元對（即一對質量微元組成的系統）之間的引力勢能之和來得到整個球體的引力勢能：
其中r12是一對質量微元dm1與dm2之間的距離。同樣需要注意的是，求和過程中，所有的質量微元對只能計數一次。所以在r2處選定某個質量微元dm2，並計算它對整個球體引力勢能的貢獻時，不統計dm2參與的所有質量微元對，而只選取其中包含滿足r1<r2的dm1的那些微元對來計算。對應上述操作的積分順序為：
其中積分號下標註的r2，代表該積分只對半徑為r2的球體進行積分。根據引力勢的定義，方括號[]里的積分結果，正是半徑為r2的球體在dm2所處位置r2處的引力勢φ(r2)，而求解球殼泊松方程那一節已經給出過球體引力勢φ(r)的表達式：
其中，Mr2是半徑為r2的球體的質量。之後為了方便書寫，使用記號r來替換r2。若假設球體的密度ρ為一個常數，那麼有Mr=4/3πr^3ρ，將引力勢φ(r)與Mr的表達式代入球體引力勢能的計算中：
其中，最後一個等號用到了球體總質量公式M=4/3πR^3ρ。上式表明了拆散球體所有質量微元到無窮遠所需要做的功；或者反過來說，當質量微元從無窮遠處聚集成一個半徑為R、質量為M的球體時，可以釋放3GM^2/(5R)的能量，所以這裡計算出的球體自身的引力勢能的絕對值|E|也被稱為引力結合能。它在宇宙學中有重要的應用，例如塵埃氣體形成太陽時放出的引力結合能可以用來估算形成太陽所需的時間。
據了解，《張朝陽的物理課》於每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻「關注流」中搜索「張朝陽」，觀看直播及往期完整視頻回放；關注「張朝陽的物理課」帳號，查看課程中的「知識點」短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的「搜狐科技」帳號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。