先看下面的概念：
是對應法則
是定義域，是陪域(有的書叫值域)。
是的像(有的書叫值域)。
我們不用「值域」這個詞，但是別人說值域時，你要清楚人家說的是哪個概念。
一般來說。然而我們知道如果這兩個集合不相等，那麼S=，減號表示差集。S的元素都不是函數的像，即，不是哪個自變量對應的因變量。那麼為什麼要讓它存在，或者我們有下面的問題：
既然是所有因變量的集合，我們為什麼要定義陪域，直接定義函數是不好嗎？
你是怎麼看的呢？之前有想過類似的問題嗎？
很多函數其實我們是不能確定像的，高中數學、高等數學那耳熟能詳的的初等函數及其複合，都是定義域與像非常明確的「精確函數」，甚至還有類似的題目要求你計算函數的像(值域)。但是隨著數學內容的深入，很多函數都是抽象的，比如線性映射，群同態，環同態，流形間的侵入映射等等。如果沒有其它條件或者性質給出，確定映射的像是難以辦到的，有的甚至是不可能的！
如果是一種被稱為「同構」的映射，你就能知道它們的像是什麼了，因為所有的同構都要求至少是雙射：集合間的雙射、有序集間的序同構、向量空間的同構、微分流形的微胚(微分同胚)、複流形的全純映射，這些都是具有不同內容的數學對象的「同構」。它們的像就是它們的陪域。一般情況下，給出陪域B，要比給出更加方便我們的研究和討論。
那麼，函數的陪域和像哪個更重要？
答案是：都重要！
看幾個例子。
1）恆等映射和包含映射，令它們的對應法則相同，即，所以它們的是相同的。正是因為像是相同的，這才說明從對應的法則的角度(作為序對的集合)來說，它們是同一函數。但是它們的陪域不同。正是因為陪域不同，我們才能明確這兩個函數研究的對象是不同。恆等映射是集合A到自身最簡單的變換：
且。
而包含映射則是，我們要把A在其元素不動（恆等）的情況下映到B的內部：
且。
從擔當的角色來看，它與是不同的，這也是為什麼我們把它們看成不同的函數。
2）映射，N是自然數集合。當時，B的元素個數小於等於N，即B是至多可數的集合；當且是任意映射時，B的元素個數一定大於N。這個映射本質就是在比較陪域和的大小，從而確定集合元素個數的多少。
3）麥可·阿廷在他的《代數》裡說：對於從群G到G'的同態，是的值域的子群。代數對於的研究要比分析更加廣泛和深刻。在這個例子裡，正是因為有了陪域的概念，我們才能在某些結構和性質下觀察的性質。【附帶說一句，阿廷老爺子稱呼為的值域，他和曼克勒斯老先生——教程《拓撲學》的作者——一樣，都稱呼陪域為值域，而他倆的書又都是經典，這必定會影響一大批人，所以一旦遇到「值域」需要特別留心它的指向】
綜上，可以看到，如果函數只是，那麼所有的函數的陪域就是，這其實是一種人為的限制，它使我們對於不同的數學對象之間的聯繫的研究變得十分困難。陪域的存在不但能放寬這種限制，而且在函數性質較少、的信息不足時，能清晰地告訴我們函數的所在的大致範圍，避免糾結對於的描述之苦。