導語
音樂儘管允許幾乎無限的創造性表達，卻總符合一套嚴格的規則。為什麼音樂要遵循這麼多規則？為什麼我們要用這種組織聲音的方式來創造音樂？為解決這一問題，我們可以類比另一問題，隨機氣體或液體中的原子是如何聚集成固體的？身兼凝聚態物理學家和中提琴演奏家的 Jesse Berezovsky 認為這兩個問題的答案一致，音樂結構和固體結構都湧現於無序和有序的競爭，也都可以用同一套統計力學框架描述。
關鍵詞：音樂理論，統計物理，相變
論文題目：
The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory
論文地址：
https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aav8490
1. 音樂湧現於無序和有序的競爭中
音樂在各種文化的歷史中普遍占有一席之地。更令人稱奇的是，各種音樂體系和風格都共享一些特徵，如將聲音頻率切分為一組離散的音高，中國傳統五聲音階（宮商角徵羽）就是典型的例子。由此產生了一個問題：為什麼人們要用這種組織聲音的方式來創造音樂呢？
要回答這一問題，首先要了解音樂何以為音樂。從歷史上看，音樂理論一直遵循自上而下的經驗主義方法，將音樂中觀察到的模式概括為理論。直到20世紀，Helmholtz 創立的心理聲學（psychoacoustics）定量研究了聲音感知，才首次提供了自下而上的音樂理論。該理論稱音樂的結構與最小化不和諧音 D（dissonance）有關。然而，僅僅最小化不和諧音 D 不足以有效組織音樂系統，否則我們就都會去聽僅由單一音高組成的「音樂」了。由此可知，有效的音樂系統必須具有一定程度的複雜性，為譜曲提供豐富的「色彩」。
最小化不和諧音將音樂系統推向有序，保證一定複雜性將音樂系統推向無序，悅耳的音樂湧現於無序和有序競爭的張力中。Jesse Berezovsky 就基於這兩個原則，量化了不和諧音 D 和音樂複雜性 S ，並將其數學描述直接映射到一個標準的統計力學框架，運用統計力學的工具探索聲音中湧現出的音樂結構。
2. 統計力學工具研究音樂模式
熱力學系統的宏觀狀態決定於自由能 F = U-TS 的最小化，這需要平衡最小化能量 U 和最大化熵 S ，溫度 T 則作為兩者的調節參數。Berezovsky 提出的模型類比熱力學系統，引入參數 T ，調節最小化不和諧音 D 和最大化複雜性 S 間的平衡，以此利用統計力學中研究物理系統相變的強力工具。其中，不和諧音 D 由音樂系統中各音調兩兩相互作用形成的不和諧程度相加而得，而兩音調的不和諧程度可通過實驗獲得。複雜性則可以通過聲音熵 S （與聲調的數量相關）量化。
Berezovsky 首先應用平均場近似（mean field approximation）研究音樂系統中音高的均衡分布。考慮音調數量趨於無窮，此時音高被描述為概率分布P(x)，其中 x=log2f/fref（以此對數尺度衡量音高，則x=1對應音高變化八度）。圖1 展示了不同 T 值時，最小化音樂系統自由能 F = D-TS 的音高概率分布解 P(x)。
熱力學系統中，能量相互作用在低溫下占主導地位，有序出現；溫度升高則熵增，導致有序到無序的轉變。通過改變參數 T ，Berezovsky 發現了音樂系統也出現了類似的音高轉變。在高 T 時，聲音熵占主導地位，所有音高出現的概率相同，系統完全無序（圖1頂行）。在低 T 時，最小化不和諧音占主導，音樂系統僅出現一個音高（圖1最下面一行）。當 T 由高降低時，西方音樂八度十二音的熟悉結構從無序中湧現而出，這一轉變可通過朗道理論理解。
在平均場模型中觀察到音樂結構的湧現後，Berezovsky 又轉向數值模擬，研究假設放寬下的結果。具體而言，平均場模型中各音調相互作用一致，而數值模擬可通過將音調放置在格點（lattice）上，研究每個音調僅與其餘音調的子集相互作用的情況，同樣發現了熟悉的音樂結構湧現於模型中。
3. 自下而上的音樂理論
統計力學的框架可以產生音樂中的許多模式。毫無疑問，要進一步了解音樂的結構，可以通過進一步通過統計力學工具研究相關模型。熱力學的歷史發展與音樂理論的情況相似。從17世紀開始，人們用經驗定律（波義耳定律、查爾斯定律等）來解釋對氣體行為的觀察。這種自上而下的熱力學方法非常有用。然而，統計力學的發展產生了一種自下而上的理論，這種更基本的理解導致了 20 世紀之後的一系列新發現。
同樣，自上而下的音樂理論確實對於作曲和理解音樂非常有用，但是自下而上的音樂理論提供了更基本的理解，它不僅能解釋音樂（尤其是西方音樂）的結構，更能為研究不同文化和不同歷史下的音樂體系提供新的視角，甚至能夠引發理解、欣賞和創作音樂的新方法。
張澳 | 作者
梁金 | 審校
鄧一雪 | 編輯
商務合作及投稿轉載｜swarma@swarma.org
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