作者 | 林開亮（西北農林科技大學理學院）
8. 楊武之的九金字塔數定理
如果說 [4][5] 是在抄襲楊振寧52，那麼 [8] 就是在抄襲他的父親楊武之。當時我從網上找到一本《楊武之先生紀念文集》(清華大學出版社，1998 年)53，其中第一章就是楊武之本人的九金字塔定理的證明。懷著對這一結果的好奇，我邀請專攻數論與密碼的研究生 同學張愛仙一起研讀了這篇文章。最終我們整理出一個筆記，就是 [8]。
8.1 兩個缺點
後來我們得知，楊振寧先生在 2014 年接受浙江大學蔡天新教授訪談54時曾有這樣的對話：
蔡：您的父親楊武之先生是中國第一位數論博士（芝加哥大學），是我敬仰的前輩同行。他證明了可以將正整數表為某種類型的三次多項式之和。王元先生後來稱讚，這在那個年代是很好的結果。實際上，這是華林問題 (Waring problem) 的一個變種，他證明了，每個正整數可以 ，以翔實的資料和推導預測，每個正整數可以表為至多 5 個四面體數之和，充分大的正整數可以表為至多 4 個四面體數之和。這是對您父親的 表為至多 9 個四面體數之和。86 年過去了，最好的結果還需要 8 個四面體數。1994 年，您在《中國科學》數學捲髮表過一篇論文（與鄧越凡合作）一種紀念和敬意嗎？
楊：這不能說是對父親的紀念。我曾嘗試讀他的博士論文，但是發現一時不能讀懂，因為其中有很多 lemma（引理）。我估計至少要花一兩周時間才能懂，所以就放棄了。
我跟張愛仙的學習表明, 楊武之先生的論文並沒有楊振寧先生所預想的那麼複雜。但應該指出，[8] 作為歷史文獻來了解是有趣的，但所介紹的方法遠不是解決四面體數猜想的恰當方法。
此外，在歷史方面，我們可以引申一下楊振寧先生的一句評論。在 [23] 一文中，張奠宙與楊振寧有下述對話：
張 ：最後我想問一個關於您父親楊武之先生的問題。我最近在寫《中美數學交往 (1850–1950)》一文，覺得美國數學界在代數方面是經楊武之對中國產生影響的。他受迪克森 (Dickson) 的指導在芝加哥大學取得博士學位，論文題目是「華林問題的各種推廣」。華羅庚早期論文也是 關於華林問題，我猜想二者間必有聯繫，但卻未見國內文字報導，您可否談談您的看法。
楊：華先生最早的論文確是受我父親的影響而寫的。……
我們本可以藉此機會，在介紹楊武之的九金字塔數定理之後，再進一步介紹一下他博士論文的主要結果以及他對華羅庚的影響。這是後見之明了，不過這課題確實值得研究，記得有一次楊振寧先生特地發郵件詢問華羅庚早期發表的數論工作都有哪些 (他說記得早年看到華羅庚的一篇數論文章引用了楊武之的工作)。
8.2 後續工作
大連交通大學的莫利同學曾向我指出，真正的 (埃及) 金字塔所對應的數，並不是楊武之所考慮的形如
的數，55而是形如
的數。這促使我跟鄭豪合作，用計算機測試了種種形狀數的堆壘，最終引出了論文 [22]。這篇文章是我的第二篇數學史的文章。不同於第一篇 [9], [22] 不僅有歷史，也提出了新的猜想。這方面主要歸功於我的合作者鄭豪（當時是北京交通大學的博士生，現任教於北京物資學院）的努力。功夫不負有心人，2017 年初，我們很高興地從 《數學文化》 主編湯濤教授、編委張英伯教授那裡得知，論文 [22] 得到了王元院士的認可。
，而當時我也有考慮投給《數學傳播》其實 [22] 更適合《數學傳播》，只是我們想儘快發表 (該文的副標題是「紀念楊武之教授誕辰 120 周年」，在 2016 年見刊才有意義)，所以優先投給《數學文化》。這篇稿子得到《數學文化》兩位編委——山東大學劉建亞教授和浙江大學蔡天新教授的聯合推薦，因此很快就發表了。文中插入了許多數學家的照片，美編又擅長排版，所以這篇文章圖文並茂，看起來還蠻有趣味。不過略微令我有點失望的是，這篇文章的標題沒有列在當期紙質版的封面上。
我們後來趁熱打鐵，又提出了一些新的猜想，包括 Pollock 四面體數猜想的下述加強56：
猜想 5 對任意的正整數 ，Diophantus 方程
都有正整數解 。
我們 (2018 年 10 月 27 日) 測得的一個最好的猜想受到華羅庚 1940 年的工作57的啟發，如下：
猜想 6設 為正整數，令
則對每一個， 都是非負整數，而且存在一個正整數，使得每個正整數都可以寫成中個數的和；並且的最小值等於。
猜想 5 可與 小歐拉 (Johann Euler) 關於 華林問題 的猜想 (1772 年提出，至今仍未完全解決) 媲 美：
猜想 7(小歐拉猜想) 對每一個給定的正整數K，存在一個正整數 ，使得每個正整數都可以寫成 個K次方數的 和；並且 的最小值等於 ，其中 表示不超過的最大整數。
[22] 的一個修訂版將作為附錄收入 Dickson 的《數論史》第二卷 (History of The Theory of Numbers. Vol. II: Diophantine Analysis) 中譯本，將由哈爾濱工業大學出版社劉培傑數學工作室出版。
9. 華羅庚關於矩陣標準型工作的介紹
[9] 是一篇長文，一共 31 頁，也許是 《數學傳播》 自 1976 年創刊以來刊出的最長的單篇文章。這是我的第一篇數學史文章，詳細介紹華羅庚先生在矩陣標準型理論方面的工作。回顧起來，我覺得略 有欠缺的，是沒有介紹華羅庚關於非負矩陣理論應用於經濟優化平衡的工作。很遺憾，到目前為止，我還沒抓住他在這方面的主要貢獻。這裡只給出四個文獻58，59，60，61供有興趣的讀者參考。
在數學史方面，我宗 Thomas Hawkins 為師。他的著述飽含著對數學家原始論文的分析梳理，處處可見扎紮實實的數學，比如62，63。
10. 微積分之前奏（或變奏）：高階等差數列的求和
[10] 源於 2016 年我應邀參加 《知識就是力量》 雜誌社主辦的「全國中學生數學/物理/化學科普競賽」之數學主講，在石家莊、鄭州、西安、青島、濟南五個城市巡迴。事先我並沒想好要講什麼主題，畢竟大學數學跟中 學數學有個跳躍。後來我從 丁玖 教授的一本書《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》(商務印書館，2016 年) 中的一段話得到啟發，決定發揮一下華羅庚先生的小冊子《從楊輝三角談起》(《數學小叢書》第 1 號，科學出版社，2002 年)。於是就有了後來的報告，見 從高斯算1+2+3+…+100 談起 。我自己感覺，這個報告給中學生講還算比較成功的。但不知為什麼，再往後兩年的活動， 主辦方卻再沒有請我主講了。如此基本的內容完全可以列入高中數學。
這個報告的修訂版（補充了微積分相關的內容）我先後在西北農林科技大學 (2017 年)、天津理工大學 (2017 年，蔡宏睿教授邀請)、北京工業大學 (2018 年，劉繼濤教授邀請) 講過，當然也在我的離散數學64課堂上講過，反響似乎還可以。基於我給大一新生講授微積分的經 歷，我想，針對部分專業（如文科）的學生，只講授這種版本的微積分，效果會不會更好？畢竟當前的普通微積分對部分學生來說還是有很大難度。
[10] 的簡體縮寫版65曾轉載於微信公眾號「好玩的數學」，讀者的反響也不錯。另一個縮寫版發表於《高等數學研究》，據 中國知網 統計，兩年內其下載量多達 200，見66。
11. 十篇文章小結
我在《數學傳播》上發表的這十篇文章，三篇 ([1][9][10]) 與 華羅庚 有關，兩篇 ([4][5]) 與 楊振寧 有 關，一篇 ([8]) 與楊武之有關，一篇 ([3]) 與 Dirac 有關，一篇 ([7]) 與 Halmos 有關，一篇 ([2]) 是在 (首都師 范大學) 數學系圖書館瀏覽期刊偶然所獲，一篇 ([6]) 是因為翻譯而起。
回顧起來，我覺得對我影響比較大的，除了《數學傳播》和《數學譯林》這兩份期刊，主要是數學家的傳記與文集，如 E. T. Bell 的 《數學精英》[24]，王元的《華羅庚》[12]，王元與楊德莊主編的《華羅庚的數學生涯》[13]，張奠宙的《20 世紀數學經緯》[25]、主編的《楊振寧文集》[26]，張奠宙、王善平主編的《陳省身文集》 [27]、合著的《陳省身傳》[28]，張洪光主編的《陳省身文選》[29]，江才健的《規範與對稱之美——楊振寧傳》[30]，Halmos 的《我要作數學家》[31]。我在本科時接觸到這些書，它們對我的影響慢慢發酵，到研究生期間才顯現出來。67順便提一句，我還與 季理真 教授合作，為楊振寧先生編輯了一本通俗文集《楊振寧的科學世界：數學與物理的交融》[33]。
12. 薦稿、撤稿、退稿與轉稿
12.1 薦稿
除了我本人為《數學傳播》供稿以外, 我還建議我的同學和師弟師妹給《數學傳播》投稿。感謝《數學傳播》對我們的鼓勵支持68，這些稿件後來都刊登了，分別是 [33] 與 [34]。[33] 的想法後來被我和本科時代的同學劉新亮 (現任教於天津耀華中學) 進一步闡發，見 [35]。[34] 的簡體版69後來在微信公眾號「好玩的數學」上轉載。
12.2 撤稿與退稿
實際上，我給《數學傳播》的投稿並不止 [1]–[10]，另有一些被我撤稿或被《數學傳播》退稿。我也想講一講這些文章，因為它們也從側面反映出《數學傳播》各位審稿專家對我的鼓勵與指導。
先說撤稿的兩篇文章，標題分別是「華羅庚的代數工作介紹」與「Cartan–Tkachev 定理的簡單證明」。前者之所以撤稿，主要是我覺得自己的水平還不夠，當時審稿老師給我回饋了長達 6 頁的審稿意見，我想我以後會完成一篇滿意的稿子重新投稿 (否則對不住這位用心良苦的老 師)。而後者之所以撤稿，是因為審稿老師建議完善以後用英文投稿給 American Mathematical Monthly，我覺得值得一試。
」與「高斯的《數學日記》及其影響：算術部分」 被退稿的文章也有兩篇，標題分別是「介紹 Mariana Cook 的相冊《數學家》 。後者之所以被退稿，是因為審稿老師認為最好能夠結合原始的德文日記來分析，對此我也是很認同的。而前者之所以被退稿，是因為審稿老師認為我的翻譯欠妥；他指出了一兩個明顯的翻譯錯誤，為此我還是很感激他。後來這篇稿子發表在《數學文化》，見 [36]，介紹的是我們翻譯的一本數學家相冊，Mariana Cook 的 Mathematicians: An Outer View of the Inner World, 後來在華東師範大學張奠宙、王善平兩位老師的推薦下出版了，即 [37]。
Cook 的這本數學家相冊是我想翻譯的第一本書。為做好宣傳，我特地請了北京大學張恭慶院士、中科院林群院士寫了推薦語，請季理真教授寫了中譯本序言 數學家：他們的心思與長相，還請中科院嚴加安院士題了字，見圖 4。
圖 4:2013 年嚴加安院士為《當代大數學家畫傳》題字：「鏡頭捕風采，筆端抒情懷」
後來我在微信公眾號「好玩的數學」、「數學縱貫線」上先後轉載了其中的多個篇目。例如，你可以讀到 Bryan J.Birch， 張聖容 ，Mikhael L. Gromov，John F. Nash，Barry Mazur，Henri Cartan ，Phillip Griffiths，Frances Kirwan，Maryam Mirzakhani，John W. Milnor 和 Margaret D. McDuff ，Robert D. MacPherson， 丘成桐 ，Benoit Mandelbrot，Robert P. Langlands，Manjul Bhargava，William P. Thurston，William T. Gowers，Charles Fefferman ，Robert Fefferman，Edward Nelson， 蕭蔭堂 ，Peter D. Lax， 田剛 ，David Mumford，Alain Connes，Cathleen S. Morawetz， 陶哲軒 ，John H. Conway，David H. Blackwell，William Browder，Elias M. Stein，Karen Uhlenbeck，Michael Atiyah, Felix E. Browder 和 Harold W. Kuhn。這裡有一個 連載合集 。
12.3 轉稿
2017 年 3 月 8 日，我開通了微信公眾號「數學縱貫線」，後又協助打理「數學愛好者俱樂部」和「好玩的數學」。我在這三個公眾號上轉載了《數學傳播》上的多篇文章，清單如下：
有朋自遠方來——專訪 Uhlenbeck 教授.
丘成桐， 時空幾何與廣義相對論中的質量.
莊志達、梁耀強撰文，呂素齡譯，Serre 訪問記.
張奠宙， 楊振寧和當代數學.
有朋自遠方來——專訪 Cédric Villani 教授.
數學教育——W. Thurston 談美國數學教育. [我們推送的是吳帆發表在《數學通報》上的 譯稿 ]
K-12 數學教育的危機——伍鴻熙談美國中小學數學教育.
有朋自遠方來——專訪姜伯駒教授.
陳木法的自學之旅.
莫宗堅， 少年游——我的大學時代.
顏一清，Emmy Noether 的一生 (1882.3.23–1935.4.14).
有朋自遠方來——專訪項武義教授.
有朋自遠方來——專訪 Peter Lax 教授.
蔡聰明， 萊布尼茲如何想出微積分.70
陳省身， 什麼是幾何學.[我們推送的是收錄於《陳省身文集》[27] 的版本]
陳省身， 學算四十年.
陳省身、康潤芳， 記幾位中國的女數學家.
最後一篇文章是台灣大學數學系的「六朵金花」——張聖容、李文卿、金芳蓉、吳征眉、騰楚蓮、蕭美琪——的傳記，我後來與其中的 張聖容 、 金芳蓉 71聯繫過，並且向微信公眾號「賽先生」推薦過一篇關於張聖容的訪談 數海英雌的孤單與堅強——對 話台灣女數學家張聖容 。金芳蓉老師還向我回饋了她的一篇 Notices 文章 之中譯文 《資訊時代的圖論》。
13. 我與兩位老師
通過《數學傳播》牽線，我先後通過郵件聯繫到中央研究院數學研究所的李國偉老師和國立交通大學應用數學系的吳培元老師，後來有機會與他們見面交流，得到他們的薰陶教化。古人云「以文會友」，與千里之外的兩位老師相識相知，實在是人生中的美妙際遇。下面分別介紹。
13.1 我與李國偉老師
我與 李國偉 老師聯繫，是通過《數學傳播》的陳麗伍編輯。當時我在投稿「介紹 Mariana Cook 的相冊《數學家》」以及另一篇文章 (即 [38] 的初稿)。陳編輯回 復我下述郵件 (為方便讀者，已轉為簡體)：
林先生, 您好：
《數學傳播》這邊就無法接受你的投稿。或者，如果上海世紀出版社那邊願意出具證明，同意《數學傳播》刊載您所投稿的翻譯稿件，這樣會關於版權的部分，要麻煩你協助幫忙了解上海世紀出版社那邊與 Cook 女士簽的是否是包含繁體字翻譯的專有所有權 (exclusive right)，如果是的話， 對事情的進展有很大的幫助。也請你在溝通的時候，註明《數學傳播》季刊是一份非營利性的期刊，主要是服務對數學有興趣的社會大眾。
另外，有關你的另外一篇有關科學家的翻譯，可以考慮投稿到台灣 《科學人》(http://sa.ylib.com/) 這份雜誌，也許他們會有興趣。中研院數學所的 李國偉 老師有固定幫這個雜誌寫專欄。
中研院數學所數學傳播編輯部
助理 陳麗伍 敬上
後來我聯繫上李國偉老師。他幫我將另一篇文章 [38] 推薦到 《科學月刊》(http://scimonth.blogspot.com/2013/11/blog-post_1476.html) 。
2017 年 8 月，我與李國偉老師在成都召開的「第四屆近現代數學史與數學教育國際會議」72相遇，併合影留念，見圖 5。
圖 5:2017 年與李國偉老師在四川師範大學留影
更富有戲劇性的是，2018 年我跟我的合作者在討論一個問題時，遇到一個比較棘手的難題。當時我們感覺文獻上有結果了，但一直苦於查不到論文。某一天我從微信朋友圈看到好友龍暘靖 (當時是上海交通大學的博士後) 發布的台灣學術訪問的消息，其中提到與李國偉老師相遇，並得到一 本贈書。我就立即發郵件諮詢李國偉老師那個問題，結果驚喜地收到李國偉老師的下述回覆：
開亮：
我也很高興認識你的朋友龍暘靖。
你的文章是篇好文章，我知道你運用線性代數的技術很令人佩服。我馬上聯想起以前我們中研院統計所趙晨慶與梁文騏合寫的一篇論文，請看附件。梁文騏是梁實秋的兒子，本來在大陸生活工作，後來才轉到台灣，但是現在已經過世。
國偉
2018/3/30
梁文騏、趙晨慶兩位教授 1992 年的文章73恰好提供了我們 (2018 年) 所孜孜以求而求之不得的結果！簡直是無巧不成書！後來我還與趙晨慶教授聯繫交流，他也頗感意外，並且告訴他當初正是李國偉教授建議他們投稿到 European Journal of Combinatorics。這篇稿子74我們還在潤色，等完稿也投給《數學傳播》。
13.2 我與吳培元老師
我第一次見到 吳培元 老師的名字，是通過《數學傳播》回饋的關於 [7] 的審稿意見，其中有一條：
第 4 頁的定理及其他相關的結果, 已出現在論文: J.‐H. Wang and P. Y. Wu, Difference and similarity models of two idempotent operators, Linear Algebra Appl., 208/209 (1994), 257‐282, Theorem 1.3.
這裡的 P. Y. Wu 即吳培元教授75。此處所提到的第 4 頁的定理即 [7, p.69] 定理 6。我之所以得出這個定理非常偶然，當時是在讀一本泛函分析教材76時意外湊出來的。
後來，我跟吳培元老師也通過郵件取得聯繫。值得一提的是，我們後來彼此推薦了一篇文章發表。當我寫好 [21] 的初稿時，我發給了吳培元老師請他提意見。結果他給我回饋了一篇他從前為學生寫的 Halmos 的自傳 I Want to Be a Mathematician 的導讀。我很喜歡，就推薦給《數學文 化》，後來刊登了，見77。
吳培元老師後來又將我寫的關於 Freeman Dyson 的傳記 [39] 推薦給 《數理人文》。78後來也發表了，見 [40]。[40] 的中文簡體版後來又發表在「數理人文」， 戴森傳奇（上）， 戴森傳 奇（下）。
2016 年，我與吳培元老師在上海大學舉辦的「矩陣不等式及矩陣方程國際會議」相遇並留影，見圖 6。
圖 6:2016 年與吳培元老師在上海大學留影 (右一是同事劉帥)
14. 回顧與展望
很難想像，如果十年前我沒有給《數學傳播》投稿， 我將會是在哪裡 。
在某種意義上，是《數學傳播》開啟了我的學術生涯。回顧起來，我非常感激《數學傳播》的各位編輯老師、審稿專家，是你們不厭其煩地鼓勵著我，不遺餘力地提攜著我，讓我漸漸成熟，讓我慢慢學會寫作與表達，讓我領略到與人分享交流數學的樂趣，更重要的，讓我有了研習數學的信 心和決心。
從 2009 到 2014 上半年這四年半，我在首都師範大學念研究生，當我 2013 年底博士畢業馬上面臨找工作時，我手頭只有很少幾篇文章：[1]-[6],[15],[39]。其中只有 [15] 是研究論文，也就是說在一般的高校招聘單位看來，我只有一篇論文。可以想見，找工作對我來說是一件極困難的事情。不 過，很幸運的是，我在《數學傳播》上發表的文章 [1]-[6] 以及關於 Freeman Dyson 的傳記 [39] 還是得到了關注，華東師範大學數學系的張奠宙教授 (很久以後我才通過他的助手王善平老師知道，張老師其實一直關注著我) 和西北大學數學系的曲安京教授（通過同學吳帆引薦）都表示了對 ，而華東師範大學的張奠宙教授則一直努力將我調往上海。說到這裡，一方面我要感謝這些老師對我的關注，更要感謝《數學傳播》提供了很好的平台，讓大家能看到我的工作和潛力。我在數學傳播這方面工作的興趣。我很順利地通過了西北大學數學系的面試（後來換到西北農林科技大學）
我還想說，《數學傳播》給作者的稿酬也蠻豐厚，這恐怕是大陸的傳播普及類刊物難以企及的。當我收到從《數學傳播》寄來的第一篇文章 [1] 的樣刊與稿酬匯款單時，我的心情是無比激動喜悅的。
作為《數學傳播》的忠實讀者和撰稿人，我衷心祝願《數學傳播》越辦越好！以後我會一如既往地給《數學傳播》奉獻我的作品，也請各位審稿專家堅持高標準，繼續批評指正！
正如李宗盛在 山丘 里所唱的：想說卻還沒說的，還很多。最後我只說一句：我期待，有朝一日能訪問 台灣中央研究院數學研究所 ，見見各位編輯老師，跟諸位前輩當面說一聲謝謝！
15. 附錄：推介台灣中央研究院數學研究所的普及刊物《數學傳播》
2015 年，我曾經在善科網 (後崩潰，現在重生為 數立方 ) 發表過一遍推介《數學傳播》的文章，附在此處，僅供不太了解《數學傳播》的讀者參考。
優秀的中文數學普及刊物並不多見，能夠與 《數學文化》 一比高下的，北京中科院數學所的 《數學譯林》 從前還 可以算一個，但如今恐怕就只有台灣中央研究院數學所的《數學傳播》了。
與《數學文化》一樣，《數學傳播》也有 電子版 。《數學文化》電子版只提供了部分免費閱讀，而《數學傳播》電子版則是完全對外開放。
《數學傳播》由中央研究院數學所 黃武雄 、 劉豐哲 兩位教授發起，與其他當時在中研院數學所任職的教授共同創辦，目的為傳播數學知識及推廣數學教育，是一份適合大眾閱讀的科普刊物，重要面向中學生、大學生、中學教師中的數學愛好者。跟《數學文化》一樣，《數學傳播》也是季刊，自 1976 年 5 月創刊，至今已有 47 年，出版到 184 期。79
我第一次了解到這個刊物是看到《陳省身文選》中的某些文章（如《學算四十年》，在台灣的另一個網頁80上有 電子版 ）和張奠宙教授對楊振寧的一個訪談 ，料想這個刊物應該不錯。後來偶然從南開陳省身數學所看到這個刊物，拿來一讀，果然有趣。現在我知道，陳省身與《數學傳播》有關 （ 楊振寧和當代數學 ）曾發表在《數學傳播》 系並非偶然，因為 陳省身曾出任中央研究院數學所的代理所長 ！
《數學傳播》分好幾個版塊，在索引分類中可以看到。我最喜歡的是 「專訪」(可以通過搜索「有朋自遠方來」得到 全部專訪 )，我認為這也是最精彩最有價值的欄目。編輯有心，給這個欄目取了一個典雅的系列名字「有朋自遠方來——專訪某某教授」，盡顯地主之誼，很是貼切。台灣是個孤島，能來此一游的都算「遠道而來」了，主人自然是「不亦樂乎」。在這個欄目中，你可以發現許多傑出的數學家，如 Gerd Faltings，Stephen Smale，Mori Shigefumi，Peter Lax，Srinivasa S. R. Varadhan，Karen Uhlenbeck，Clifford Taubes 等。
這些訪談物件都親到過台灣中研院。當然，跟《數學譯林》一樣，《數學傳播》上也有一些翻譯過來的訪談，例如這裡是 Serre 的訪談 。
如果只讓我推薦一篇訪談，我會毫不猶豫選擇 姚鴻澤的訪談 ，這個訪談最近也重印於丘成桐主編的 「數學與人 文」 叢書 (第 15 輯，《與數學大師面對面》)。在回顧他的大學生涯時， 姚鴻澤 教授說道：
數學系的學生證明了四年，就像少林寺的和尚在挑水一樣。四年一直都在挑水，卻沒有讓他看些其它的東西，很容易就讀不下去了。
這個比喻很是貼切， 莫宗堅 在 《少年游——我的大學時代》 一文中也這麼說：
經過了一、二年的苦讀，我才發現女同學們臉若春花，眸若點漆。有些小和尚，經也不念，鍾也不打：「不拜佛祖，只拜觀音。」
諸位還在挑水敲鐘、打坐念經拜佛祖的小和尚們，這裡有一份《數學傳播》，各路神僧開壇論道，閒時若不拜觀音，不妨一閱。
末了，應該打個預防針，台灣仍使用繁體字，所以《數學傳播》仍沿用繁體字排版。這也許會給大陸讀者帶來不便，但我相信這不是大問題。81想必中國傳統文化在台灣得到了更多的傳承，這從中央研究院數學研究所的 劉太平 教授 訪談孫理察 （Richard Schoen）時 說的一段話可見一斑 (分析與小說之間的通感，我頭一次聽說，耳目為之一新)：
劉太平 ：……我總是把數論、甚至幾何的一部分或代數，來和分析做比較，就像比較中國文學中的詩與小說。小說與詩非常不同。中國的詩在唐代和宋代有過非常光輝的過去。那個時代，中國社會對詩人多有推崇。就小說而言，中國遠不及日本，更別提歐洲。小說比較複雜，需要 有人生的體驗等等。寫小說需要在生活中歷練，作詩就有些不同。
致謝
感謝中科院數學所的王元院士、嚴加安院士、中央研究院數學研究所的李國偉教授、國立交通大學的吳培元教授、首都師範大學的李克正教授以及內蒙古大學的顏昭雯教授慨允作者使用相應的照片。
以下師友對初稿提出了許多有益的評論和建議，特表感謝：香港城市大學的陳關榮教授，台灣國立交通大學的吳培元教授，上海交通大學的吳耀琨教授、來米加教授，天津大學的戴伍聖教授，南開大學的朱富海教授，南開大學陳省身數學所的唐梓洲教授，美國加州大學爾灣分校的陸志勤教 授，加州伯克利勞倫斯國家實驗室的邵美悅博士，重慶大學的邵紅亮教授，北京物資學院的鄭豪教授，中國礦業大學的張漢雄教授，復旦大學的謝啟鴻教授，北京市朝陽區教育研究中心的張浩博士，北京景山學校朝陽學校的趙潔博士，從事數學教育的自由職業者張寶群博士，江西省吉安市 吉水縣阜田中學的孫志躍老師，北京中杉學校的李萌老師，南京江寧高等職業技術學校的馬威威老師，首都師範大學的劉潔女士，中科科貓（北京）科技有限公司的潘穎女士，波士頓國際出版社的鄧宇善編輯，數學愛好者張恩典。
註解：
52 這兩篇文章後來我都給楊先生看過，他對 [5] 尤其感到驚訝——他未想到他的問題可以用 Grassmann 代數表述得如此簡潔自然。
53 很久以後我才了解到，這本書主要歸功於陝西師範大學數學院的數學史專家張友余教授。她向陳省身先生提議在 1996 年楊武之 (1896–1973) 誕辰 100 周年之際搞一個紀念活動。陳省身先生委託北大退休教授段學復組織了這一活動。
54 蔡天新，「我的一生可以算做一個圓」——西子湖畔訪楊振寧 , 《數學文化》2014 年第 3 期。
55 這類數稱作 四面體數 (tetrahedral numbers) 更合適，見蔡天新的上述訪談。
56 Pollock 原始的四面體數猜想（他一共提出十來個猜想，見 [22, pp.71-72]）是:
猜想 4對任意的正整數 ，Diophantus 方程
都有正整數解x,x,x,x,x5。
57 L. K. Hua On a generalized Waring problem. II. J. Chinese Math. Soc. 2(1940), 175—191. 有中譯文， 關於一個推廣的華林問題 II，收入《華羅庚文集：數論卷 III》，王元、潘承彪、賈朝華編譯，科學出版社，2010 年。感謝日本岩手大學數學系川田浩一（Koichi Kawada）教授提點我們注意到這篇文章。
58 Loo-Keng Hua, On the mathematical theory of globally optimal planned economic systems, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 81 (20), 6549–6553. 此前相關的中文文章收入 《華羅庚文集: 應用數學卷 II》，楊德莊主編，北京：科學出版社，2010。
59 華羅庚、華蘇， 具有左右二正特徵向量的實方陣的研究 ，《數學通報》，1985 年第 8 期。
60 鍾開萊 ( K. L. Chung ), 「Markov chain must have a beginning」，In Memory of Prof. Loo-Keng Hua, 《數學研究與評論》，1986 年第 1 期。[上海交通大學的吳耀琨教授告知，他們一直想將這一結果推廣到多變量情形。]
61 陳木法， 數學的進步 ，《數學傳播》，第 37 卷第 2 期 (2013 年)，15–25.
62 Thomas Hawkins，Emergence of the Theory of Lie Groups. An Essay in the history of Mathematics 1869–1926 (Sources and studies in the history of mathematics and physical series). Springer Verlag, New York, 2000.
63 Thomas Hawkins，The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics，Springer-Verlag，New York，2013.
64 Ronald Graham,D. E. Knuth,Oren Patashnik 合寫的離散數學教材 Concrete Mathematics（有中譯本， ，張明堯、 張凡譯，人民郵電出版社，2013 年。）第二章就講離散微積分。
65 林開亮， 微積分之前奏 1：高階等差數列的求和 .
66 林開亮， 從微積分的觀點看高階等差數列的求和 ，《高等數學研究》2017 年第 1 期，34–37.
67 我很幸運，曾有機會見到其中幾位作者、譯者乃至傳主本人，而且幾位前輩都對我非常提攜鼓勵，尤其是楊振寧先生和最近過世的張奠宙教授 (1933–2018)。我曾在 我為 什麼要寫作 一文中提及，對我走上數學科普寫作的道路，張奠宙先生的影響最大。
68 要特別感謝劉立寬 (很遺憾，我現在都不知道他的身份) 為 [34] 繪了一張漂亮的插圖。
69 Nathan Carter and Dan Kalman 著，雷艷萍譯, 哈利·波特與圓上的有理點 .
70 自 2014 年走上講台以來，我一共教過三次微積分（高等數學公共課），其中有兩次（2016 級，2017 級）都專門用了兩節課來講 蔡聰明 老師的這篇文 章，之所以第一次（2014 級）我沒有講，是因為當時我還沒有注意到蔡老師的這篇大作。
71 我從網上了解到，有一部以她們為主人公的紀錄片 學數學的女孩們 , 可惜一直沒機會看到。還有一部 徐道寧——數學女鬥士 也想了解一下。大陸很少拍這種類型的影片。
72 我在這個會議上做了關於華羅庚生平與工作的英文報告，得到與會專家的關注。報告中我有個人名 (Shih-Hsiung Tung) 不能確定其中文，就諮詢李國偉老師此人是否可能是台灣人。李老師後來專門查閱數據核實 (表明他確實是，李老師提供的此 紀念網頁 表明他本科畢業於台灣師範大學)，並建議我直接給他從前的單位寫信諮詢。
73 Chern-Ching Chao, Wen-Qi Liang, Arranging distinct numbers on a line or a circle to reach extreme total variations, European J. Combin., 13(1992), 325–334.
74 林開亮、劉帥、邵美悅、王兢、肖宇庭，【標題待定】
75 另一名作者 Jin-Hsien Wang 是台灣海軍軍官學校的王進賢教授。
76 張恭慶、郭懋正，《泛函分析講義》(下冊)，北京大學出版社，2001 年。見該書 p.132 引理 6.5.19.
77 吳培元，I Want to Be a Mathematician，《數學文化》, 7 (2016), 113–115.
78 在此一年前，香港城市大學的 陳關榮 教授也在網上發現了這篇文章，並幫我推薦給《數學文化》，後來也發表，見 戴森傳奇 。因為這篇文章，我結識了不少朋友，收到一些溫暖的郵件。現在我視之為自我介紹的首選 名片 。
79 這是 2015 年的文章，現今已有 47 年，出版到 184 期。
80 數學知識 ，我第一次了解到這個網站，還是由本科同學辛赫告知的。
81蒙好友孫志躍告知，對於 HTML 版，可用 Google Chrome 的翻譯功能，在此環境下，繁體字可自動調整為簡體。
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[38] 林開亮，二十世紀科學家群像——《科學的面孔》，《科學月刊》第 44 卷第 527 期（2013 年 11 月號），867–870.
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[40] 林開亮， 戴森傳奇——從數論、QED 到科普寫作大師 ，《數理人文》第 9 期（2016 年），61–79.