作者 | A. Weil

來源|《物不知數》

原文：Weil, Two Lectures on number theory, past and present，收錄於Weil全集的[1974a].

本譯文原載於《數學譯林》試刊（1981）83-90，及（1984）72-78，由王啟明先生譯出，張耀成先生校對. 對部分術語與表達已按目前較為通行的用法略作修改. 未加特別說明的人物肖像均取自Wikipedia。

（p.s. 從Weil對解析數論與概率論的觀念中也許能感覺到，像他這樣偉大的數學家也有不可避免的局限性.）

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為紀念已故的J. F. Ritt教授, 其遺孀捐獻了一筆基金開創了Ritt講座. 在哥倫比亞大學數學系的倡導下, 這個講座在哥倫比亞大學舉行. 1972年3月我所做的下列兩個演講就是此講座的一部分. 讀者將會看到, 它們實際上是「報告」而不是正式的演講, 我並不想修改它那有點浪漫的格調. 這裡刊出的是根據錄音稍加整理而成的稿子. 我只在第二講中添加了一點東西. 當時由於時間的關係, 內容不得不進行壓縮. 我要感謝Clemens教授及其在哥倫比亞大學的同事們, 他們組織這次演講, 錄了音而且列印了記錄。

第一講

我希望你們一看到這個演講題目, 就立即意識到, 兩講是根本不能概括它的. 樂觀點說, 一個全面的概述也許需要兩門歷時各一年的課程. 因此, 我的題目不應使人產生錯覺, 因為顯然沒有人能在兩次演講中對這個題目談得面面俱到. 我要講的中心思想是過去300年數論的連續性, 以及這樣一個事實：今天我們所做的不外乎是17世紀Fermat開創數論之後一些最偉大的數學家的工作的直接繼續。

(Fermat, 1601-1665)

那個時代的數學家, 特別是數論學家, 是很舒服的, 因為他們面臨的競爭是如此之少. 但對微積分而言, 即使在Fermat時代, 情形也有所不同, 因為今天使我們許多人受到干擾的東西（例如優先權的問題）也困擾過當時的數學家. 然而有趣的是, Fermat在整個17世紀期間, 在數論方面可以說一直是十分孤獨的, Euler在下一世紀大部分時間（即在Lagrange加入之前）也是如此. 後來來了個Legendre, 然後又出了個Gauss, 但Gauss已經是19世紀的人了, 所以應該屬於近代的範疇. 值得注意的是, 在這樣一個長時間段中, 事物的發展是如此緩慢而從容, 人們有充分的時間去考慮大問題而不必擔心他的同伴可能捷足先登. 在那個時候, 人們可以在極其和平寧靜的氣氛中研究數論, 而且說實在的, 也過於寧靜了. Euler和Fermat都抱怨過他們在這個領域中太孤單了. 我再說一次, 這與微積分的情況非常不同, Fermat對此也有決定性的貢獻. 在數論中, Fermat是孤單的, 這也是他沒有將他的成果及時寫出來的原因之一. 有一段時間他試圖吸引Pascal對數論產生興趣並一起合作, 但是Pascal不是搞數論的料, 當時身體又不好, 後來他對宗教的興趣超過了數學, 所以Fermat沒有把他的東西好好寫出來, 從而只好留給了Euler這樣的人來破譯。

(Euler, 1707-1783)

(Gauss, 1777-1855)

在往下講之前, 也許我應該為數論是什麼講幾句話. 英國詩人Housman有一次收到一個文學雜誌發出的一封愚蠢的調查信, 信中要求他為詩歌下個定義. 他的回答是, 「如果你叫一隻狐狸去定義什麼是老鼠, 它也許不會. 但是他一旦聞到老鼠的味道, 它能知道這是老鼠. 」當我聞到數論時, 我想我是知道的, 而當我聞到別的東西時, 我想我也能辨別. 例如, 數學中有一個學科(這是一個非常好的、完全正宗的學科)被不恰當地稱作解析數論. 從某種意義上說, 它是Riemann開創的, 而Riemann本人根本不是數論學家；後來Hadamard等人, 再其次是Hardy把它發揚光大, 這些人也都不是數論學家(我與Hadamard很熟)：在我看來, 解析數論不是數論, 而是分析. 說它是分析(即處理常常出現像「素數」這種數論名詞的特殊問題的分析)是因為它主要跟不等式和漸近估計打交道；在我看來, 這正好把它與數論區分開來. 我把它歸到分析的門下, 正如概率論只是積分論的一個分支, 只不過有自己的一套術語罷了. 我想舉出一個典型的例子來說明數論學家與分析學家(例如Hardy)之間的深刻差別. Hardy在他寫的關於Ramanujan的著名著作中必然要講到函數(即模函數理論中的判別式)的「Ramanujan猜想」, 後面我們還要再次提到這個猜想, 現在只要知道這是一個從橢圓函數理論中產生的特殊函數就可以了. 把函數展成冪級數:

然後以同樣的係數寫出Dirichlet級數

Ramanujan聲稱, 後者有個「Euler乘積」, 其中取遍所有素數, 而

他還猜測, 對每一個, 二次方程的根的模長等於(這顯然等價於說. 第一個斷言在Ramanujan去世後不久就被Mordell證明了, 而關於的猜想雖然取得一些進展, 但仍然是一個遠遠沒有解決的問題. 我所知道的數論學家中, 如果誰能有幸證明這一猜想, 他一定會感到非常榮幸和驕傲的. 但是Hardy又引人注目地說, 「似乎我們漂進了數學中的一潭死水了」. 在他看來, 這只不過是一個不等式：他很奇怪有人對此不等式抱有這樣大的興趣. 事實上, 他帶點歉意地解釋說, 雖然這個問題看起來沒有什麼意思, 也許它還是有吸引Ramanujan注意的地方。

這個故事可以用來說明數論學家與其他數學家的口味的本質差別. 令人印象深刻的是, 所有那些搞過數論的人在提起數論時都有一種激情. 你會在Euler的著作中讀到很多這種富有熱情的話. Gauss的著作中也有, 而Hilbert的數論報告的前言中則更多. Eisenstein曾寫過一本書總結他對數論和橢圓函數論的貢獻. Gauss為這本書寫了序, 我們前面已經看到這兩個學科關係非常密切. Gauss寫道：「這些領域特別的美吸引了每一個活躍在這方面的人，但是沒有誰比Euler流露得更多. 他的每一篇數論論文總是要反覆提到他從事這項研究的樂趣以及與實際應用關係較密切的課題給數論帶來的可喜變化」, 他引用了Euler收到Lagrange關於橢圓函數(Gauss顯然對這兩個學科不加區別)的一篇論文時所說的話來說明Euler的這種激情：Euler寫道, 「當我聽到Lagrange改進了我的工作, 我的欽佩是無限的. 」

(Eisenstein, 1823-1852)

（Eisenstein, 1847, 《高等算術與橢圓函數專著》；Gauss的序言）

寫完這段話, Euler又著手改進了Lagrange的工作, 這是一篇漂亮的論文, 寫在Euler年邁並且雙目失明之時：他先失去一隻眼睛, 不到60歲就雙目失明了. 那時他在聖彼得堡有幾個助手, 他已練成了在助手幫助下工作的本領. 大家知道, 他的全集還在出版過程中：目前已超過了60卷, 而且還沒有完, 其中數論占了將近8卷。

(Lagrange, 1736-1813)

作為他的工作的一個例子, 我在這裡為你寫下一個可以在Euler那裡找到的一個公式:

它包含在Euler 1749年在柏林科學院宣讀的一篇論文中, 但這篇論文直到1768年才印出來;論文(是用法文寫的)的標題是Remarques sur un beau rapport entre les séries de puissances tant directes que réciproques. 我希望你們許多人已經看出來, 這正是-函數的函數方程. 在左邊, 形式上是, 只是Euler寫成交錯項使得這個級數較易處理, 將乘以, 乘以就可以得到它, 右邊是Euler發現的函數. Euler對每個正整數證明了這一公式(用所謂的Abel求和法使得左邊分子中的發散級數有意義), 並推測該公式對所有的複數都成立。

這只是Euler在這個領域中的發現的一個例子. 他是以師從Bernoulli兄弟開始他的數學生涯的, Bernoulli兄弟無疑是分析學家而不是數論學家. 可以肯定的是, Euler的血液中已經有了它的成分, 但幸運的是, 在他還年輕時(不到20歲)就離開巴塞爾去了聖彼得堡, 因為別處似乎找不到工作. 聖彼得堡剛剛由彼得大帝建立起來. 彼得大帝成立科學院的計劃留待他的遺雷來完成. Bernoulli兄弟中年少者Nicolas和Daniel已經到了那裡：Nicolas到達不久後就去世了. Euler接到聘書後乘船沿菜茵河下到美因茨, 然後主要靠步行到了盧貝克, 接著乘船前往聖彼得堡, 當時聖彼得堡比一個繁華的村莊大不了多少;一切都還是相當混亂的. Euler很快就有了優厚的薪俸和一個方便的工作環境. 幸運的是, 這裡有個叫Goldbach的德國人, 他的名字現在只是由於Goldbach猜想（每個偶數是兩個素數之和)才為人所知. 他是個業餘數學愛好者, 對數學以及其他許多東西, 比如語言學, 都很有興趣. 早先他在義大利認識了Nicolas Bernoulli, 然後在俄國定居下來. Bernoulli兄弟以及稍後的Euler來到俄國, 都是他努力的結果. 科學院非正式地僱傭他擔任秘書, 他基本上居住在莫斯科. 我們保存有他與Euler和Bernoulli兄弟的通信. Goldbach很喜歡在業餘搞搞數論, 顯然這些信都推動了Euler在數論中的一系列發現. Euler在發布這些結果之前總是先寫信告訴Goldbach。

應該指出, Euler剛開始研究數論時, 除了Fermat那些神秘的命題外, 什麼東西也沒有. Fermat經常聲稱「我證明了這個」、「我證明了那個」. 對於Fermat方程

(後面還要詳細討論此方程)他似乎也是這樣說. 除了此方程無(非平凡)解的斷言, 在Fermat的諸多命題中有一個是說, 形如的素數可以寫成, 還有一些命題論述了可以寫成和的素數應滿足的條件. 有一個命題說, 每個正整數可以寫成四個平方數之和. 這些命題迷住了Euler：但是他首先必須自己動手建立數論中一些最基本的定理. 例如, Fermat「小定理」：若是素數, 則(用近代記號) , 對所有不被的整除的都成立. 在那個時代研究Fermat的著作的人看來, 每個命題都是同樣的神秘, 雖然容易對很大數值範圍內的所有整數驗證其中許多命題的正確性. Euler不得不白手起家, 做出一些在今天的教科書中都有的東西. 這些東西在今天從群或素理想兩個觀點去看是非常簡單的. 但他還是花了一些時間在這方面. 一開始, 他不知道與互素的整數是一個群;當然他沒有群的概念, 逆元的存在性當初也不是顯然的. 還有些事實在今天看來是很初等的. 例如, 給定一個域(例如, 模一個素數的有限域), 任何一個代數方程的根的數目不超過方程的次數, 這個事實直到1760年才由Euler和Lagrange證明, 這是Euler開始研究數論將近30年以後的事情了, 此時他正在更加困難的問題上工作. 他不知道問題的難與易. 例如, 在他看來, 素數是平方和這一事實與模有限域上五次方程至多有五個根這一事實同樣地困難. 事實上, 他甚至認為前者更容易, 因為它只涉及平方, 而後者有五次方；Euler仿效Diophantus和Fermat把次數作為問題分類的第一個因素;當然, 他猜測還存在其他因素, 但不能肯定。

前面談到, Euler不得不白手起家. 他與Goldbach的通信, 記錄了他的想法是如何醞釀的, 記錄了他是怎樣一個接著一個地解決問題的, 讀起來引人入勝. 他解決了某個問題, 但是需要假定另一些東西. 有時他說：「如果我能證明這個, 那麼那個也可以證明. 」Goldbach總要加些評語. 雖然Goldbach似乎並沒有貢獻什麼, 但他一直興趣盎然, 他這個通信對象在許多年中對Euler都是很寶貴的. 後來Lagrange出來了, 並開始與Euler通信：當然, 他是一個第一流的數學家, Euler從一開始就意識到這一點。

Euler在純粹數論方面做了很多年. 他的起點是Fermat的工作. 這個主要課題是, 把整數特別是素數, 寫成平方和. 比方說Fermat的命題：每個形如的素數是兩個平方數之和:. Euler在1749年寫給Goldbach的信中證明了這一命題；他寫道, 「我終於給出了正確的、完整的證明. 」 這個證明很有意思；我來講一下這個證明並指出它與現在流行的證明的共同點與不同點. 但我的時間這樣少, 我只想局限在下列情形：

我們講這個例子是因為它在某種意義上更能說明問題. Diophantus已經知道下列恆等式

這個等式保證了兩個平方和的乘積還是平方和. 這個恆等式來自(大家都知道)

因此這個乘積是兩個複數的乘積的模的平方. 同樣地, 對也有一個類似的恆等式, 只要注意到是的模的平方. Euler最終意識到這一點而且經常用它, Lagrange也經常用它. 有一次, Euler特意稱讚Lagrange在當時大多數人還認為無理數和虛數完全多餘的時候就在他的數論研究中很好地用上了它們. 這表明, 代數數域的理論可以追溯到相當遠；事實上, 人們自然地會猜測, Fermat是否已用過這類事實. 然而, 據我所知, 在他的著作中目前還沒有發現這種跡象。

講到這裡, 我們是時候來討論Fermat當時是否真像他自己所說的那樣證明了「Fermat定理」這一問題了：這決不是一個無聊的問題, 雖然我們不能肯定任何答案. 這個斷言是他寫在Diophantus的書的頁端上的註記：那本書已經找不到了. 但他寫在書上的話在他去世以後由他的兒子發表了：這件事做得很明智, 因為Fermat顯然是為了寫一部數論的系統著作做準備而寫下這些註記的, 但是這部書他一直沒有寫. 註記一開始就說, 一個立方數不可能是兩個立方數之和, 一個四肷方不可能是兩個四次方之和, 他還說, 這件事對於所有大於2的方冪都成立. 他寫道, 「我有一個奇妙的證明, 但是這頁端太小」. 四次方的情形他給出過證明;事實上, 他在關於Diophantus的註記中證明了方程

無解, 這顯然包含了方程的情形. 我推測(基於我們對他的工作的了解)他對方程也有完整的證明. 這一證明很可能與Euler經過多年努力重新發現的詳細證明相同. 有趣的是, Euler關於此方程無解的證明是建立在下述假定上的. 用近代的語言來說, 這個假定相當於說域(三次單位根的域)只有一個理想類. 後來, 他證明了這個假定. 從Fermat寫下的東西可以相當清楚地看出, 他已經知道與類數是1這一事實等價的事實. 如果對次單位根你也作出類似的假定, 那麼就不難證明次冪的Fermat定理；當然, 我們知道這個假定一般是不成立的. 因此, 我們可以設想, Fermat曾經有一個建立在這一假定（或某個與之等價的假定）上的證明, 但而後又意識到這個假定並非對所有的都成立. 事實上, 在他與外國數學家的通信中, Fermat從未提到過一般的次Fermat方程：他反覆提到立方的方程. 他甚至不大可能認真地考慮過五次方程, 不只是因為它的困難性, 而且也由於一個我馬上就要講的原因, 這與Fermat所屬的數學家的氣質有關。

許多人認為數學家與物理學家的重大區別之一是：在物理學中有理論物理學家與實驗物理學家之分, 而在數學家中不存在這種區分. 這一點兒也不對. 就像在物理學中一樣, 在數學中也有這種區分, 雖然界限不是很分明. 在物理學中, 理論家認為實驗家就是為他們的各種理論找證據的, 實驗家也反過來認為理論家的事情就是為他們提供良好的實驗課題. 在數學中做實驗就是與特定的例子(有時是數值的)打交道. 例如, 一個實驗也許對1000或者1000億以內的整數驗證諸如Goldbach猜想這樣的一個命題. 換言之, 一個實驗就是嚴格地處理一些特例, 直到可以認為對一般的命題已經取得了良好的證據為止. 做實驗有很多方法, 有些方法用到的理論知識一點兒也不少；例如, 現在有人對很感興趣. 他們先用做實驗（在許多問題中也已經是不容易的了）, 然後對實驗(這已十分困難). 然而, 一個第一流的數學家必須在兩方面都強才行, 但是還是有氣質上的的差別. Fermat顯然是理論家. 他感興趣的是一般的方法和原理而不是某個特殊的情形, 這反映在他所有的工作中, 不論是分析還是數論. 反之, Euler則基本上是一個實驗家. 當他猜想到一個一般定律時, 他會很高興, 他願意花大量的時間去證明它. 但是, 如果找不到證明, 而只得到一些令人信服的實驗證據, 他幾乎也會感到同樣的欣慰. 因此, 他的研究工作有著朝各種可能的方向蔓延的趨勢. Fermat是理論家, 他總是談論「我的方法」, 因此清晰地表明了他的數論興趣的範圍. 從本質上看, 他感興趣的是二次型(主要是二元的), 即後來Gauss所大大發展了的觀點下的二次數域的理論, 他感興趣的另一個方面則是Diophantus方程, 但總是限於虧格為1的情形. 當Fermat談到「我的方法」時, 這通常指處理現在稱為橢圓曲線這一類問題的方法, 方程和定義了這種曲線, 但不是, 因此超出了Fermat通常工作的範圍. 這是橢圓曲線與數論的關係的首次呈現, 而且是很自然地出現的. 一些最有意思的方程是兮格為1的. 當然, 只有在進行積分以後才會產生橢圓函數, 在Euler和Fermat眼中, 微積分與數論的公式之間似乎有一道鴻溝, 而從我們今天的觀點來看, 這道溝已經不復存在了：我們現在知道如何架這個橋. 值得注意的是, Euler對純粹數論產生了很大興趣, 特別是對證明Fermat定理, 這一問題包括了特別困難的兮格為1的方程, 他還從另外兩個觀點對此發生興趣. 其中之一與方程密切相關. 似乎Leibniz已經猜到到積分

不能用初等函數(包括指數函數和三角函數)表示. 但是, Fagnano令人意外地發現了微分方程

具有有理函數解. 這震驚了Euler. 據Jacobi講, 橢圓函數的生日應該是1750年Fagnano的數學論文集送交柏林科學院請Euler審查的那一天. 雖然這個論文集事前已經刊出, 但是作為柏林科學院的一個最有名的院士, Euler還是要對是否正式批准這部著作表態. 他看到這個集子以後立刻像著了魔似的, 並緊接著寫出一系列論文. 正是在這個關頭, Lagrange改進了Euler的工作, 爾後Euler又改進了Lagrange的工作, 這些我們前面已經提到. Euler寫下:

其中是一個四次多項式. 他發現, 四次的情況有一些特殊的性質, 從而有可能求解出這類方程的代數積分, 而且(他稍後注意到)對方程

(其中為任意的整數)也是如此. 從我們現在的觀點來看, 這些都可以歸結為橢圓函數的加法與乘法。

(Jacobi, 1804-1851)

Euler對這些東西的興趣非常之大, Lagrange也是如此, 但是並沒有怎麼想到與數論可能的聯繫, 倘若Euler當初從這一觀點研究過Fermat關於方程的無解性的證明, 他會發現, 這個證明包含了這個橢圓函數復乘的公式. 你只要把Fermat的公式放到一起就看出來了. 如果你重複這一過程, 就得到加倍。

Fermat的做法是這樣的. 首先, 有一個簡單的公式給出的復乘, 這就把你送到同一條曲線上, 但是關於有理數域則是另一條曲線了. 再用替換重複這個過程, 就把你帶回到原來的曲線. 從某種意義上說, 他得出了原來曲線上的初始點的加倍公式. 而且, 因為這個曲線的特殊性質, 這個程序也可以反過來. 從曲線上一個給定的點出發(假定有一個有理點), 你可以用除它, 再用除, 也就是把它除以2;這在曲線上給出了一個坐標更小的點, 這就是「無窮遞降」法, 這會導致矛盾, 因為一列無窮多的正整數不可能總是遞減. 這就是Fermat的證明. 如果Euler(或Fagnano)想到這麼看問題, 他們早就可以從Fermat的數論工作中認出他們的公式了. 現在再來看看Euler的工作的其他方面, 其中有些也與橢圓函數有關. 有一個課題是Euler的前人從沒有考慮過的:他一生都喜歡擺弄級數, 對它們進行形式的運算. 顯然這起源於Leibniz級數

Euler對這類東西很有興趣, 並且後來自己也做出一個, 這個發現理所當然地使他自豪, 而且這在當時也相當轟動:

他是在1736年發現這個公式的：他立即告訴了已回到瑞士的朋友Daniel Bernoulli, 後者為之深深打動. Euler很快又解決了所有偶數次冪的情形:

但是, 對於奇數次冪, Euler始終不能成功, 其原因令Euler困惑不解. 這樣, 他就與現在稱為-函數的東西混熟了. 他注意到, 這個級數可以寫成無窮乘積

現在這叫做Euler乘積. 然後他就玩起無窮級數與無窮乘積. 順便提一句, 他注意到, 這可以給出素數的無限性的另一個證明, 而且同樣的想法可以非常初等地證明在兩個算術級數和中都存在無限多個素數。

在擺弄無窮級數和無窮乘積時, 他發現了一些在他看來是孤立和非常驚人的事實. 他考慮無窮乘積

並且形式地將它展開. 他有許多這種級數和乘積;有時他得到一些顯示確定規律的結果, 有時得到的則是雜亂無章的東西. 在上面這個級數的情形, 他是很成功的, 他計算了至少15項或20項, 公式的前幾項寫出來是:

這裡的規律對沒有受過訓練的人來說可能不是一眼就能看出來的. 用近代記號, 這就是

我把替換為, 是因為自從Jacobi以後, 在橢圓函數論中已經是標準的記號了. 各項的冪次構成一個性質簡單的級數. Euler寫出20項左右時立刻看出其中的規律. 很可能他算過100項：他很有理由地說, 「這是十分有把握的, 雖然我不能證明」：十年後他的確也證明出來了. 他不會想到這個級數與乘積是橢圓模函數理論的一部分. 這是數論與橢圓函數的聯繫的又一個例證. 他還有一個很有意思的命題. 這也是(我們大家現在都已知道)與橢圓函數有關. 他說, 證明整數表為平方和的這類定理的最自然的方法當然應該是計算下列級數的方冪:

例如, 證明Fermat關於每個正整數是四個平方數的和的最自然的辦法是給出此級數的四次方的一個公式. 而這又是一個橢圓函數的問題, 這也就是Jacobi在Lagrange的純算術證明(Euler本人很快就改進了Lagrange的證明)之後很久所給出的證明。

因此, 我們看到, 數論不可避免地要引出橢圓函數論, 並且反之亦然:回顧歷史, 這早在Fermat的研究中已經很明顯了, 而Euler的工作更加證明了這一點. Gauss的早期研究(他沒有發表)以及後來Jacobi與Abel多少是同時的關於橢圓函數的著名工作, 使得這兩門學科匯合在一起. 這是一個必然的發展, 並且從許多實質性方面來說, 也造成了我們今天的現狀, 因為我們今天所要做的就是發展這許多方向, 把它們向前推進, 但是時刻銘記著它們之間的關係.

(Abel, 1802-1829)

（待續）

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「Hilbert第12問題提醒我們以下三個主題之間的血緣關係, 儘管這個提醒應該是多餘的. 一是類域論或者數域的Abel擴張理論, 這在本世紀初便達到了近乎完成的形式. 二是橢圓曲線或者更廣泛的Abel簇的代數理論, 五十年來一直是一個恢宏茁壯的研究方向. 第三則是自守函數理論, 它成熟較慢, 而且仍緊密交纏於Abel簇的研究, 特別是其模空間的研究. 三者後來經歷的發展經常是分離的。

「當然, 這些主題在Hilbert的時代才剛從數學全景中分化為個別的理論, 而在Kronecker的時代, 它們僅僅是橢圓模函數與分圓域理論的附庸. 青年之夢(Jugendtraum)一詞見於Kronecker 在1880年寫給Dedekind的一封信, 其中闡述了他聯繫虛二次 域的Abel擴張和帶復乘橢圓曲線的工作. 由於這些主題交織得如此緊密, 在當時要區隔青年之夢涉及的種種數學幾無可能, 尤其是要區隔其中的代數面向和分析或數論面向. 或因如此, Hilbert才會將歷史進程中的一個偶然, 興許也是個必然, 誤作是「最緊密的交互聯繫」 (innigste gegenseitige Berührung). 俏若我們試著採取一位老於世故的當代數學家的視角, 來觀照青年之夢的數學內容, 對此或能有更允當的判斷。

------------Langlands，源於青年之夢的若干當代問題

「The theory of complex multiplication of elliptic modular functions, which brings together number theory and analysis, was not only the most beautiful part of mathematics but also of all science."

」橢圓模函數的復乘理論將數論與解析聯繫在一起，它不僅是數學中，也是整個科學中最為優美動人的部分。」

------------Hilbert

參見

關於Weil在第一講中提及的數學的具體內容，也許可以參考