作者 | 特雷費森
來源 | 節選自《一個應用數學家的辯白》，人民郵電出版社/圖靈新知，2023.6.
本書是馮諾依曼獎得主著名數值分析專家勞埃德•尼克•特雷費森教授的心得之作。除了回顧早期學習數學的成長過程，以及深耕數值分析領域的心路歷程，本書還體現了特雷費森教授對數學本身的深刻思考、對純數學和應用數學的真切感悟，以及對數學所面臨的挑戰的反思。
我是一名滿懷激情的數學家，但也充滿了疑惑。我的生活就是數學，我覺得自己與過去的數學家之間有著緊密的聯繫。隨著時間的推移，我研究新的問題，也收穫了更多的知識和方法，我越發覺得自己就是一名數學家。然而，我又覺得如今的數學家和數學脫節了。
我寫這本書的初衷是為了探索這種奇怪的情況。這很自然地會讓我反思自己的職業經歷，於是不久我便發現自己寫的還是一本回憶錄。它講述了一位數學家在數學學科的某個獨特（且非常活躍的）角落裡的故事。
我從事的數學領域是數值分析，我曾在 30 年前的一篇文章里這樣定義數值分析：
數值分析研究的是連續數學問題的算法。
（這裡的「連續」包含了實數和複數。）傳統的觀點認為，有些數學家可能會提出對多項式的根的一些理解，然後由數值分析專家開發出計算它們的算法。我們如何計算這些數呢？這需要通過執行數值分析專家開發的算法。當然，數學家還發明了許多比「求解多項式的根」還複雜的問題，比如偏微分方程，它是很多自然科學的基礎。數值分析專家的任務也是求解這些問題，科學家和工程師一直在用我們的方法。
牛、歐拉和高斯在他們的時代里都是傑出的數值分析專家。當時，數學家有一部分工作內容就是計算，這是不言而喻的。但此後的情況發生了變化，數學的其他分支紛紛出現並蓬勃發展，其程度在那時是無法想像的。如今，大多數頂尖的數學家對計算不感興趣，他們習慣性地避免計算，他們可能覺得從原則上講，計算本身並不重要，因此不屑一顧。他們還做一些其他方面的研究，而像我這樣的研究人員的論文也不會發表在像《數學年鑑》這樣的頂級期刊上。與此同時，數值分析領域也在蓬勃發展，當然我們有很多自己的期刊。從人員數量上講，干我們這行的人很多，大約占從事學術研究的數學家的 5%。在科學和技術方面，我們的影響力也很大。
我個人的運氣非常好。我在牛津大學擔任數值分析教授，這一職位可以說是該研究領域在世界範圍內最引人注目的職位。這裡的數學系很大，網站上列有 100 位教授，他們與哈佛大學、麻省理工學院、史丹福大學、、劍橋大學和普林斯頓大學的教授一樣，都是頂級的。不過，這些大學都沒有數值分析教席，但牛津大學有。我從 1997 年起就擔任數值分析教授了。我們的數值分析組自 20 世紀 60 年代成立以來，一直是英國數值分析學科的領導者，並享譽世界。我個人也廣為人知，我寫的教科書和技術論文被廣泛閱讀。我是英國皇家學會會員，美國工業與應用數學學會前主席，並且收穫了許多大獎和榮譽學位。我還是貝利奧爾學院院士，這所學院成立於忽必烈在位時期。
顯然，我算是成功的，事實上可能已經到了極致。這看起來不像是一個覺得自己與數學脫節的人該有的樣子。那麼，這到底是怎麼回事呢？
青少年時期的數學
當我還是個孩子的時候，就已經開始喜歡數學了。我在麻薩諸塞州的萊克星頓長大，和大多數後來成為數學家的人一樣，我發現在學校里很容易算對數學題——用英國人的話說就是「做加法」。儘管作為美國人，我仍然覺得這個表達很陌生。我記得練習卷上有空格，比如 5+W = 12，你得算出空缺的那個數。這很容易，但有趣的是，我的一些同學在這方面就不那麼遊刃有餘。大多數數學家都有類似的記憶。
1965 年那年，我 9 歲。正在學術休假的父親帶著母親、姐姐和我一起環遊世界，這讓我缺勤了林蔭山學校的四年級課程。我們乘坐一艘只有 11 名乘客的貨輪在太平洋上行駛了 28 天后，來到了澳大利亞雪梨。我進入了雪梨的海福斯小學，那裡的數學也很簡單。
為了讓我們和家鄉的小夥伴保持同一水平，母親教我和格威內思英語，父親教我們額外的數學知識。這對父親而言並不難，因為他是塔夫茨大學的機械工程教授。事實上，在雪梨的那幾個月里，他領導著一個團隊，首次在南半球對浴缸做了排水實驗，並在嚴格控制的條件下觀察了科里奧利效應。在我的記憶里，1965 年 5 月，我們在從布里斯班開往雅典的「埃利尼斯號」客輪上。在那些悠閒的午後，父親就在休息室里教我們數學。（當時我們穿過蘇伊士運河，而兩年後，運河因 1967 年戰爭而關閉。）我們通過理解數軸上的小蟲學習了負數。比方說，假設有一隻小蟲頭朝左停在 −5 的位置，隨後它向後跳 3 個單位。它會停在哪裡呢？當然是 −2。這解釋了為什麼−5−(−3)=−2，我覺得這既簡單又有趣。當我 10 歲回到林蔭山學校時，我有一種奇怪的感覺，單憑知道如何對負數做加減乘除運算就使我比班上其他同學領先了 3 年。
不過，我並沒能超過納特•富特，這個紅頭髮男孩在我不在的時候來到了我的學校。他和我都是林蔭山學校 1970 屆的數學天才。在七、八、九年級時，我們兩個離開普通班，在鮑勃•勞勒老師的指導下學習課本以外的知識。我們學了很多代數知識。父親從未教過我神奇的「因式分解」技巧，而納特則從他哥哥喬治（George）那裡學過。我們也學了三角函數，所以我擅長正弦函數和餘弦函數。在沒人看著我和納特上數學課時，我們往往會很吵鬧，我記得我還和勞勒老師就數學問題發生過爭執。他告訴我 1 除以 0 是「無意義的」，而我覺得這太愚蠢，顯然應該是無窮。15 歲時，我和納特進入了一所優秀的高中——菲利普斯•埃克塞特學院。即便在 20 世紀 70 年代，學校的數學教師中也已經有了 3 位博士。第一天的第一節課教的是微積分，大部分學生都是畢業班的。在課堂里，林奇老師在黑板上認真地用極限的 ε−δ 定義告訴我們什麼是函數的導數。哇！我簡直大開眼界，而納特已經從喬治那裡學過了。導數看起來真的是那麼回事兒，需要集中精力思考，我記得我當時想，倘若在高中學習階段，了不起的概念都能以這樣的速度呈現的話，那將會是一段相當緊張的經歷。那年春天，我和納特通過了大學預修課程「微積分 BC」的考試。
同年，我迷上了計算機，因為埃克塞特學院的電傳打字機與達特茅斯的分時作業系統是連著的。一開始，我覺得人人都在用，我沒必要去湊這個熱鬧，但幾周後我試了一試，就不再這樣認為了。用它來解決數學問題顯然是值得探索的事情，我記得我寫了一系列 BASIC 程序來列印質數 2、3、5、7……，而這些程序的效率也一個賽過一個。由於終端不夠多，我經常不吃午飯去占空位，不過回想起來，我只有一天午飯和晚飯都沒吃。
然後又是一個休假年，我和父母再次環遊世界。特別是史蒂夫•莫勒的加入，使這段經歷更加豐富多彩。莫勒是一名教師，也是普林斯頓大學的博士生。在埃克塞特學院的第一年，我和他，以及納特在埃爾姆街食堂吃早餐的次數最多，因此我們成了朋友。莫勒先生把 33 個「世界之旅難題」整到一起，讓我在旅行時解決，這些問題成了我高二那年的主題。然而，我只解決了其中的五六個問題，我覺得這是自己能力不足的表現。在莫勒先生的建議下，我還學習
了由費勒撰寫的概率論經典著作的前幾章，它們真是太精彩了。我們全家在去澳大利亞的途中曾在西雅圖停留了 4 個月，於是我在華盛頓大學選修了一門非常呆板的線性代數課程，還選修了一門榮譽分析課程，任課老師是很善於激勵學生的卡爾•艾倫多弗教授。與我同時代的比爾•蓋茨當時正住在離我們大約一英里遠的地方。他在湖濱學校上學，除了其他活動之外，也學著類似的高等數學，但那時我還沒有聽說過他。
在埃克塞特讀高三的時候，我和納特都躊躇滿志。第一學期，我們用弗雷利的課本從戴維•阿諾德那裡學習了抽象代數，這是我所擁有的最激動人心的數學經歷。群的定義真是太美麗了！阿諾德先生讓我和納特做一個關於西羅定理的專題。在最後一個學期，我們學了一門課，這門課後來被證明對我的職業生涯很重要。我們可以選擇任何一個想學的課題作為「現場研究課程」。我們選擇了複分析，也就是關於由實數和虛數組成的數以及由這些數構造的函數。我們的老師叫戴維•羅賓斯，這個人非常特別，他在去美國國防分析研究所之前曾教過幾年書，而我們用的課本是邱吉爾的經典著作。在這門課上，我記得我比納特學得好，這樣的感覺真好。羅賓斯老師曾在一次測驗中出了這樣一道題：有一隻螞蟻先移動一個單位，接著左轉 30 度後又移動半個單位，然後再左轉 30 度移動四分之一單位，以此類推，最後它會停在哪裡？（8 年之後我又遇到了小蟲！但這次它出現在複平面上，不再僅僅向前爬或向後爬，而是可以向四面八方爬。）我記得當時自己很高興，因為我發現這是一個冪級數，而納特沒發現。不過，總地來說，我和納特差不多都是不相上下的全才。畢業時，他的成績全班第一，我是全班第二。我得了數學獎。儘管莫勒先生表示反對（他覺得人必須交一些新朋友），我們還是決定繼續在哈佛大學做室友。
當我 18 歲時，我覺得自己毫無疑問將成為一名數學家。我記得在上哈佛大學之前的那個夏天，我開車去離萊克星頓的家幾英里遠的公園時，還隨身帶了赫斯坦的抽象代數教材，這樣我就可以深入學習這門課了。但這並沒有成為現實，因為我在大太陽的照射下困得不行。
許多數學家的早年經歷都是這樣的。我們中的大多數人發現，在一兩位特殊的老師的幫助下，自己學好這門課並不需要花費多少功夫。通過這樣或那樣的方法，我們最終都能學會超出常規課程的知識。1973 年，我在新罕布夏州的高中數學考試中奪得第一，並獲得了有史以來的第一個滿分，納特則是第二名。但我在這之後的美國高中生數學奧林匹克競賽中考得並不理想。總而言之，我表現很棒，但並不算出眾。我也沒有接受過任何校外數學培訓，而許多孩子已經從這類培訓中嘗到了甜頭，這些培訓後來成了一個產業，比如暑期數學夏令營和競賽指導班。在支持我的父母、優秀的老師，以及一位和我旗鼓相當的好朋友兼競爭對手的鼓勵下，我只是對鑽研數學這件事情滿懷熱情。
我在埃克塞特高三的那年還發生了一件有趣的事情。我抓住了進入這樣一所特別學校的機會，卻從未認真考慮過留在家鄉萊克星頓會怎樣。在那一年的全國高中數學測試中，埃克塞特在新英格蘭排名第二，而萊克星頓高中排名第一！我們開玩笑說，倘若我留在家鄉，那麼排名可能就會發生反轉。
18 歲的我沒有任何理由去質疑數學的任何方面。數學是用來學習和研究的，而我是一個學生。高手們已經深耕許久，我有幸能有機會了解他們的一些發現。我也沒有想到，在某一天，關於「純數學和應用數學」的思辨會對我產生至關重要的影響。
書名：一個應用數學家的辯白
定價：39.8
ISBN：9787115612076
作者：勞埃德·尼克·特雷費森
版次：第1版
出版時間：2023-06
內容提要：
本書是數值分析家勞埃德·尼克·特雷費森教授的心得之作。除了回顧早期學習數學的成長過程，以及深耕數值分析領域的心路歷程，本書還體現了特雷費森教授對數學本身的深刻思考、對純數學和應用數學的真切感悟，以及對數學所面臨的挑戰的反思。本書適合對數學史、數學思想和數學教育，以及純數學和應用數學感興趣的所有讀者。
作者簡介：
Lloyd N. Trefethen 馮諾依曼獎得主，1982年在史丹福大學獲得博士學位，研究領域是數值分析與應用數學，目前是牛津大學數學研究所教授兼數值分析小組負責人。他還是美國工業與應用數學學會（SIAM）主席、英國*學會院士、美國國家工程院院士，另著有Numerical Linear Algebra、Approximation Theory and Approximation Practice、Spectral Methods in Matlab和Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators等書。曾到訪中科院數學院開展學術交流，與中國數學界聯繫緊密。
目錄：
中文版序
關於書名的說明
1 開場白
2 青少年時期的數學
3 菲爾茲獎：獲獎者們對我的影響小得不可思議
4 哈佛大學的本科階段：選擇數值分析
5 數值分析的古怪名聲
6 離散和連續
7 圖靈獎：我在數學和計算機科學之間的遊蕩
8 純數學與應用數學
9 五個數學領域
10 實驗室數學
11 逼近論：我的早期歲月
12 逼近論：多項式和Chebfun軟體
13 逼近論：有理函數
14 史丹福大學的研究生階段：吉恩 戈盧布和塞拉屋
15 複分析與彼得 亨里齊
16 複分析：複分析視頻研討會與計算方法和函數理論
17 由彼得 拉克斯指導的紐約大學博士後階段：再次遭遇純數學和應用數學
18 實分析和偏微分方程：正則性
19 克利夫 莫勒和Matlab軟體
20 十位數字
21 泛函分析：白手起家的Chebfun軟體
22 隨機分析：數值與係數
23 *數學