一個具有初速度的微觀粒子如何運動？粒子面對高牆如何回頭？單個的微觀粒子會自我干涉嗎？
3月31日12時，《張朝陽的物理課》第133期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，首先為大家複習了一個不受力的自由粒子如何遵循薛丁格方程演化，以及為何說高斯波包是對一個微觀粒子最真實但又最簡單的建模。其後，利用前面發展出來的方法，張朝陽詳盡描述了有初速度的自由粒子的運動，並研究了它在高牆上碰撞反彈的完整過程。可以看到，當碰撞前後粒子遠離高牆時，可以近似地認為在做自由運動。而當它牆的附近時，它原始波函數和被反射回來的波函數將會產生劇烈的干涉。
對自由粒子演化問題的回顧
在整個三月中，張朝陽的物理課圍繞微觀粒子的時間演化（Time evolution）這一主題，展開了詳細的計算和討論。相比於早前研究過的定態問題，隨時間演化的物理過程在真實的物理世界中更為常見。在數學上，它的計算更為複雜當然也更為引人入勝。特別是可以注意到，演化問題和求解偏微分方程有直接的聯繫，利用相關的一些技巧，我們可以方便而深刻地解析許多物理現象。
特別地，張朝陽認為，對自由粒子的演化行為的系統研究，可以幫助我們建立對量子世界更清晰的物理圖像。在量子力學的框架下，不受力的——或者說自由的微觀粒子由薛丁格方程刻畫：
一旦再給定了初始條件，也就是t = 0時刻微觀粒子的波函數：
那麼此後任意t > 0時刻，它的演化就已經被唯一地確定了。
研究方程具體的解時，可以方便地引入兩個空間的概念。第一個空間是k空間，一般又被稱為「動量空間」；另一個空間是x空間，也稱為「坐標空間」。一個微觀粒子的狀態，既可以用k空間上的波函數描述，也可以用x空間上的波函數描述，兩者之間通過傅立葉變換相互聯繫。一個簡單的例子是一個平面波：
它同時是動量算符和哈密頓量算符的本徵函數。如果在初始時刻，一個粒子是這樣一個平面波，隨後它的演化就只有一個含時相位的差別：
其中與能量相關的：
這個關係又被稱為薛丁格方程的色散關係，它刻畫了波函數演化的行為特徵。
但張朝陽提醒大家，如果一個粒子處在平面波的狀態，我們將完全無法確定它的位置。而在自然界中，一個真實的粒子我們總能給出它所在的一個大概範圍，同時它所具有的動量也會有一個大致的範圍，兩者同時都是不確定的。這即是我們常常提到的不確定性原理，用數學來表達就是：
所以對更物理更真實的情況是，一個微觀粒子的初始波函通常由許多平面波——也就是動量本徵態——疊加而成。此後，每個動量本徵態都會貢獻一個含時相位，整個粒子的時間演化行為將是它們組合的結果：
其中，係數：
給出了在初始時刻的波函數如何由動量本徵態疊加而成。
作為最接近真實情況但是數學處理又相對簡單的例子，張朝陽曾特別討論了一個簡單的靜止高斯波包（Gaussian wavelet）模型。在初始時刻，這個粒子的波函數是：
這裡我們用下標s表示這個波包是靜止的（still），以和後面的討論作區分。在前幾節課程中，我們用兩種方法求解過它的演化問題。第一種方法即是前面所提的動量本徵態組合疊加的思路，第二種方法是從解偏微分方程角度提出的格林函數（Green's function）法。格林函數法的核心是先考慮一個δ粒子的演化。一個δ粒子對應於動量空間中的一個均勻分布：
於是可以知道：
這裡利用到了前幾節課上一直在強調的轉換為高斯積分的技巧。如果記：
則又可以將結果簡寫為：
它對應概率密度：
與具體的空間坐標x無關。在前面的課程中，張朝陽對此做出過解釋：因為這樣一個粒子由無數個、任意速度的、平權的動量本徵態組合而成，其中包含了有無窮大的速度的成分，在一瞬間它將會跑到無窮遠的地方。因為目前我們考慮的是非相對論性的量子力學，所以在這裡出現無限大的速度也並不奇怪。
得到單個δ函數的演化後，我們可以認為在每個空間點上都有一個δ函數，最後的演化結果是它們各自獨立演化結果的疊加：
代入靜止高斯波包作為初始條件，可以計算到：
它對應的概率密度為：
可以看到，這樣一個波包將隨著時間慢慢向兩邊擴散。作為驗證，我們用另一個方法同樣求靜止高斯波包的含時波函數。首先求它在k空間中對應的波函數，利用傅立葉變換：
它也是一個高斯分布。加上含時相位後疊加得到：
與格林函數法得到的結果是一致的。這裡，我們用到的還是轉換高斯積分的技巧，細節的計算將留給各位觀眾作為複習和練習。張朝陽再一次提醒，這個計算技巧如此重要，希望在通過前面的學習後，它能被每位對量子力學感興趣的人爛熟於心。
向前運動的高斯波包的自由演化
在前面的課程中，我們考慮了靜止的高斯波包的演化行為，也討論過經典的波包的傳播行為，介紹了群速度和相速度的概念。現在自然就可以問一個問題：如果初始時刻，一個高斯波包帶有不為零的群速度：
它應該如何演化呢？首先前面的課程中已經分析過，因為一個波包刻畫的是一個微觀粒子，群速度恰好可以與它的經典速度對應，所以首先可以期望這個波包應該在向前傳播。但是，我們又分析過，借鑑經典波動力學的經驗，直接替換：
得到的波函數並不滿足薛丁格方程。原因在於，在向前傳播外，對靜止高斯波包的分析告訴我們一個物質波還會出現彌散的現象。為了更好地理解這件事，我們需要在數學上嚴格地求解一個行進高斯波包（Travelling Gaussian wavelet）的含時波函數。
在具體計算中，張朝陽發現，對這樣一個問題，用動量本徵態疊加的方法會比格林函數法更為方便且易於理解。於是首先我們要問：如何在k空間描述一個帶有初速度的高斯波包？可以想像這樣一個過程，如果我們在以同樣的速度勻速跑動的狀態下——而不是站在原地——去觀察這個波包，此時，波包對於我們來說，事實上就是靜止的。前面我們已經知道，對於一個靜止的高斯波包：
這裡我們用k_1標記在跑動時測量到的波數。然而，此時如果仍然記靜止的觀察者測量到的波數為k，它們之間會相差：
於是可以給出：
這裡下標t表示一個行進中（travelling）的波包，以作區分。張朝陽評述道，這裡事實上相當於在k空間上做一個平移，重點是抓住了在不考慮相對論效應時，粒子本身的狀態不應該因為觀察者自身的運動而發生改變這一事實。
在這個基礎上，我們可以將含時相位加入，然後作積分：
這裡我們用了變量替換，將原本對k的積分轉變為對：
的積分，但是上下限不會改變。接下來可以先對指數項稍作整理，把與積分無關的項提到積分外，再合併關於積分變量的一次項，得到：
注意到此時提到最前面的就是一個整體，以速度v_g向前傳播的相位因子，而整理後的積分形式上與前面靜止高斯波包含時函數：
是一致的，僅相差一個代換：
事實上，這一點也符合我們的預期。利用靜止波包的計算結果，立刻可以得到：
對應的概率密度為：
正如前面定性分析得到的結果，它即在向前傳播，同時整個波包的寬度也在逐漸變大。
高斯波包的反彈與自我干涉
有了自由傳播的高斯波包的解，我們就能討論一個更有意思的問題。如圖，假設在x ≥ l處有一堵無限高的牆，而初始時刻，在原點處有一個具有群速度：
向右傳播的高斯波包，它在傳播時不可避免地會撞到牆上，接下來會發生什麼事情呢？
首先分析加入牆帶來的影響，由之前我們解無限深方勢阱的經驗可以知道，無限高的牆意味著：
這一個邊界條件，而在x < l部分，波函數的演化同樣遵循自由粒子的薛丁格方程。其次，回憶之前我們求解熱傳導問題時候用過的「奇延拓」的技巧，我們可以這樣求解這個問題：首先我們將牆「壓縮」到一個點上，然後假設整個系統以牆為軸是對稱的。換句話說，假設在牆的「另一面」也是自由的：
如果牆的左側有一個波包：
在牆對稱的位置處會有一個完全相同，但運動方向相反的波包：
而我們想要求解的波函數是它們的疊加：
它會自然滿足邊界條件：
從前面的計算中，我們已經可以給出：
對於右側的波包，我們希望能夠在這個基礎上，通過一些簡單的變化來得到相應的數學表達。首先，它頂點的位置和左側的波包關於牆對稱，於是需要有替換：
其次，兩者相對而行，所以它們的群速度或者說初始的波數之間應該滿足變換：
這樣，我們就得到：
把這兩個波函數組合起來，經過一定的整理後，可以得到：
對這個式子稍作分析。首先我們假設l很大，也就是t = 0時刻，波包應該在距離牆非常遠的地方，以至於感受不到牆的存在。此時：
顯然有：
此時近似地只有左側波包有貢獻：
可以看成是一個自由向右傳播的波包。另一方面，同樣保持l很大這一假設，考慮在很長一段時間後（t → +∞），有：
於是有：
正相反，此時近似只有右側波包有貢獻：
也就是可以將其看成是一個自由反向傳播的波包。換句話說，也可以這樣解釋「奇延拓」技巧，左邊的波包即使來向的原始波包，右邊的波包即是被牆反彈之後去向的反射波包，總的波包是它們二者的疊加。
於是可以想像這樣一個過程，在開始時刻，波包看不到牆的存在，近似在做自由運動。其後它將會「撞牆反射」，逐漸再次遠離牆近似作反方向的自由運動。而在時間不大不小，也就是在經典碰撞時間：
附近時，可以想像左右兩側的波包會同等重要。此時，可以考慮計算波函數對應的概率密度。這裡張朝陽特別指出，在計算單個波包的概率密度，我們習慣了直接把相位忽略掉，但這裡則不同，因為整個波函數由兩個波包疊加而成，此時他們之間相對相位的變化變得不可忽略而有極其深刻的意義，它將是我們所期望看到的干涉現象的來源。為了更清晰地看到這一點，我們可以把這個反射過程藉助計算機畫出來。
圖上我們將「牆」設置在x = l = 100處，時間取動畫幀數標記。不難看到，在經典碰撞事件附近，同一個粒子的原始波包和反射波包之間會產生強烈的相互干涉，產生類似於光學中「干涉條紋」的現象。
據了解，《張朝陽的物理課》於每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻「關注流」中搜索「張朝陽」，觀看直播及往期完整視頻回放；關注「張朝陽的物理課」帳號，查看課程中的「知識點」短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的「搜狐科技」帳號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。