如果你想知道幾何學到底有什麼用處，想用幾何思維重新認識我們身邊的世界，就跟隨這本書去重新發現幾何學的神奇力量吧。
——你將在歐幾里得、畢達哥拉斯、龐加萊、費馬、康威、牛頓等一眾大咖「導師」的指引下，縱橫於經濟、政治、金融、大數據、宇宙等多個重要領域。
——你將在「畫得很爛」的手繪插圖的幫助下，習得出色的問題推理能力。
——你將會讀到「諾特的褲子」「笨蛋的難關」「醉漢下圍棋」「無處不在的車鑰匙」「香農圖書館」等諸多有趣的幾何故事。
《幾何學的力量》
作者：[美] 喬丹·艾倫伯格
（Jordan Ellenberg）
譯者：胡小銳 鍾毅
出版時間：2023.3
適讀人群
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學生，激發他們對幾何學的興趣和培養數學思維；
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科普愛好者，拓寬他們的知識面並付諸實踐應用；
作者簡介
喬丹·艾倫伯格，美國威斯康星大學麥迪遜分校數學教授，擁有哈佛大學數學博士學位，他的專業研究領域是數論和代數幾何。他寫作的數學文章常見於《石板》《華爾街日報》《紐約時報》《華盛頓郵報》《連線》等知名報刊，他的代表作是《魔鬼數學》。
內容概要
對大多數人來說，幾何學是一門充斥著枯燥刻板習題的課程，高中一畢業，它就和你的牙套、你曾經追過的流行歌曲一起，被扔進了「故紙堆」。當提起幾何學時，如果你首先想到的是如何通過一系列步驟證明關於三角形的某個顯而易見的性質，那麼這並不是幾何學，而只是幾何學的很小一部分。打個比方，三角形之於幾何學，就好比一個動詞之於一部精彩的小說。
這本書要講述的幾何學遠不是初高中課本呈現的那樣，《魔鬼數學》作者、數學家喬丹·艾倫伯格帶領我們展開了一場海闊天空的探索之旅，旅程的終極意義是：通過發現幾何學的力量，我們能夠更好地思考每一個現實問題，重新認識我們身邊的世界。
一根吸管有幾個洞？尼姆遊戲的必勝玩法是什麼？數字貨幣交易中的公鑰和私鑰是怎麼生成的？我們如何做才能阻止一場流行病肆虐世界？人工智慧在學下西洋棋方面得心應手，而在學習朗讀句子方面卻力不從心，這是為什麼？古希臘的黃金分割比能用來預測股票市場的走勢嗎？如果你的孩子真想學會思考的方法，他們應該在學校學些什麼？所有這些問題都跟幾何學有關，千真萬確。
「幾何學」一詞的最初含義是「丈量世界」，但經過漫長的發展歷程，它的含義包羅萬象，可以解釋世間萬物的運行機制。在這本書中，幾何學變得更貼近現代世界，它能夠解答關於政治、社會、數據、技術、宇宙等領域的重要問題，與生活在「幾何城市」中的我們息息相關。
打開這本書，你會在手不釋卷的同時連連驚嘆於幾何學的偉大力量。
編輯推薦
「幾何學」一詞的最初含義是「丈量世界」，但經過漫長的發展歷程，它的含義包羅萬象，可以解釋世間萬物的運行機制。
如果你想知道幾何學到底有什麼用處，想用幾何思維重新認識我們身邊的世界，就跟隨這本書去重新發現幾何學的神奇力量吧。
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你將在歐幾里得、畢達哥拉斯、龐加萊、費馬、康威、牛頓等一眾大咖「導師」的指引下，縱橫於經濟、政治、金融、大數據、宇宙等多個重要領域。
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你將在「畫得很爛」的手繪插圖的幫助下，習得出色的問題推理能力。
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你將會讀到「諾特的褲子」「笨蛋的難關」「醉漢下圍棋」「無處不在的車鑰匙」「香農圖書館」等諸多有趣的幾何故事。
我們生活在一座蓬勃生長、欣欣向榮的「幾何城市」中。幾何學並未超越時空，它就在我們身邊，與日常生活中的各種推理交織在一起。
專家和媒體評價
這本書是數學闡述方面的一次勝利，它以幽默的文字和銳利的智慧，不但揭示出一系列深奧的真理，從距離的本質到預測的隨機性；也揭示出一系列深刻的錯誤，從歸因謬誤到法院判決。艾倫伯格在他的專業領域和讀者群中都具有顯而易見的影響力，閱讀這本書時，你會產生一種身臨其境之感：他就坐在你的面前，滔滔不絕地講授著他喜歡的數學。
——凱西·奧尼爾，《算法霸權》作者
毫無疑問，這本書讓幾何學變成了一門樂趣非凡的學問。艾倫伯格用風趣詼諧、寓教於樂的文字告訴我們，幾何學非但不是你人生中的「劫難」，更會成為你生活中的助力，拓展你對現實世界和抽象世界的認知。
——《紐約時報》
在艾倫伯格的妙筆之下，嚴謹的數學知識變得引人入勝，各種數學理論令人心曠神怡。
——《柯克斯書評》
在這趟微風習習的探索之旅中，數學教授艾倫伯格展示了幾何學是如何對現實世界中的諸多問題產生影響的。經由這本書習得數學思維的讀者，將會對他們身邊的世界產生醍醐灌頂般的理解。
——《出版人周刊》
艾倫伯格以包羅萬象的視野和妙趣橫生的筆觸，將幾何學的含義及其在現實世界中的作用娓娓道來。
——《每日電訊報》
目錄
引 言 事物在哪裡？它們長什麼樣子？/ VII
非凡的魅力 / IX
第1章 我投歐幾里得一票 / 001
僵化死板的教學方式 / 007
畢達哥拉斯定理的證明 / 009
笨蛋的難關 / 015
等腰三角形的定義 / 021
第2章 一根吸管上有多少個洞？/ 023
通過畫得差的圖形進行好的推理 / 028
諾特的褲子 / 033
莫比烏斯帶和三體問題 / 036
第3章 給不同的事物賦予相同的名稱 / 041
拉擠變換 / 044
龐加萊，我拉擠了時空！/ 048
第4 章 獅身人面像的碎片 / 053
蚊子問題和《天才少女》 / 057
嘗一口就能知道整碗湯的味道 / 059
給《自然》雜誌的一封信 / 064
隨機遊走到巴黎證券交易所 / 068
花粉顆粒似乎具有生命力 / 071
0 號沼澤 vs 1 號沼澤 / 073
馬爾可夫鏈和香農資訊理論 / 077
第5 章 他的棋風就是不可戰勝 / 085
阿克巴、傑夫和尼姆樹 / 088
熱愛樹棲生活的人類 / 092
W局面和L 局面 / 098
以此類推 / 106
Nimatron先生的世界 / 110
非《軟紐扣》不可嗎？/ 116
大獲全勝 / 120
我的程式設計師是上帝 / 123
非洲格拉斯哥開局 / 125
第6 章 試錯法的神秘力量 / 129
寶石手鍊和費馬大定理 / 132
費馬小定理的逆命題 / 138
兩名醉漢下圍棋 / 139
無限維度的策略空間 / 146
第7 章 機器學習如同登山 / 151
貪婪是相當好的東西 / 154
我是對還是錯？/ 158
深度學習和神經網絡 / 162
車鑰匙無處不在 / 169
第8 章 距離、家譜圖和單詞地圖 / 171
所有英語單詞的地圖 / 175
第9 章 三年來的所有星期天 / 183
第10 章 今天發生的事明天還會發生 / 191
它們不是上帝最重要的思想 / 195
神奇數字R0 / 198
明年將會有77 萬億人感染天花 / 203
康威的數學遊戲 / 205
辛普森悖論 / 207
哪枚金幣是偽幣？/ 208
流行病的數學模型 / 211
斐波那契數列和梵語詩歌 / 216
牛頓第二定律和差分方程 / 219
每個點都是臨界點 / 221
第11 章 可怕的增長定律 / 223
派對把戲 / 230
但其中有些是有用的 / 235
曲線擬合師和逆向工程師 / 239
第12 章 香菸煙霧潛伏在菸葉中 / 243
南達科他州和北達科他州（上） / 245
黃金比例和波浪理論 / 255
南達科他州和北達科他州（下） / 260
揭秘谷歌的運行機制 / 265
和弦的音符和量子物理學 / 269
第13 章 空間的皺摺 / 275
世界地圖、比薩定理和北極熊 / 278
你的埃爾德什數是多少？/ 284
圖像和書蟲 / 288
遠距離讀心術和熵 / 296
世界上唯一的名字 / 303
小世界網絡 / 307
第14 章 用數學思維破解選舉「黑魔法」 / 311
約瑟夫的攻擊性地圖 / 315
衰敗選區和「格里蠑螈」行為 / 319
哪個政黨是克雷奧拉州的當權派？/ 327
從藝術到科學的演變 / 331
別再踢唐老鴨了！/ 334
把晶砂人劃分出去！/ 340
效率差距和浪費的選票 / 342
會撒謊的統計數字 / 348
錯誤的問題比錯誤的答案更糟糕 / 350
醉醺醺的選區地圖 / 353
圖像、樹狀圖和洞的凱旋 / 360
一場關於三明治的口頭辯論 / 365
從陰暗的密室到明亮的教室 / 372
結語 膨脹的房子和翩翩起舞的窗戶 / 375
機器捕捉不到事實的靈魂 / 377
每個人都離不開幾何學 / 383
致 謝 / 387
試讀
對像我這樣的數學專業人士來說，當看到人們被網際網路上的一道數學問題難住，一兩天都不得其解時，這絕對是一大樂事。我們願意看到其他人發現並享受我們一生都樂在其中的思維模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜歡有人意外來訪。
以這種方式出現的問題通常都是好問題，儘管它們一開始看起來可能很無聊。而吸引你注意力的東西是，那種與一個真正的數學問題不期而遇的感覺。
例如，一根吸管上有多少個洞？
我問過的大多數人都認為這個問題的答案顯而易見。但是，在得知某些人眼中顯而易見的答案與自己的答案不同時，他們都表現得非常驚訝，有時甚至有點兒憤憤不平。這是「You』ve got another think coming」（你錯了，再好好想想吧）與「You』ve got another thing coming」（你還有一件事要做）的數學版辨誤問題。
據我所知，「一根吸管上有多少個洞？」的問題最早出現在《澳大利亞哲學雜誌》（Australasian Journal of Philosophy）於 1970 年刊登的一篇論文中，史蒂芬妮·劉易斯和戴維·劉易斯夫婦在這篇文章中討論的管狀物是一個紙巾捲筒。2014 年，這個問題以民意調查的形式再次出現在一個健身論壇上。其爭論的腔調與《澳大利亞哲學雜誌》不同，但爭議的內容是一樣的。「0 個洞」、「1 個洞」和「2 個洞」的答案都得到了不少人的支持。
隨後，Snapchat（色拉布，一款「閱後即焚」的照片分享應用）上出現了一段視頻：因為 2 個洞和 1 個洞的爭論，兩名大學生好友變得火冒三丈、怒目相向。這段視頻不斷傳播，最終的瀏覽量超過 150 萬次。吸管問題在Reddit（紅迪網，一家社交新聞網站）和推特上也風靡一時，還登上了《紐約時報》。BuzzFeed（一家新聞聚合網站）的一群年輕、有魅力的員工對這個問題備感困惑，他們為此拍攝了一段視頻，也收穫了幾十萬次的點擊量。
你可能已經開始思考那幾個主要的觀點了，讓我們把它們羅列出來吧：
0個洞：把一塊長方形的塑料捲起來，然後用膠水將接口處粘住，一根吸管就做好了。長方形塑料上沒有洞，當你把它捲起來時，也不會在上面留下任何洞。所以，它仍然沒有洞。
1個洞：這個洞就是吸管的中空部分，從頂端一直延伸到底端。
2個洞：看一眼就知道了！吸管的頂端有1個洞，底端也有1個。
我的第一個目標是讓你相信這些洞確實會讓你感到困惑，即使你不這樣認為。原因在於，上述三種觀點都存在嚴重的問題。
我先來駁斥「0 個洞」觀點的支持者。有些東西即使不被移除任何部分，也可以產生洞。做百吉圈（一種硬麵包）時，我們並不是先做比亞利麵包卷，然後在中間打洞，而是先把麵團揉搓成蛇形，然後將其兩端相連，百吉圈就做成了。如果你否認百吉圈上有個洞，那麼毋庸置疑，你會遭到紐約、蒙特婁和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。
關於「2個洞」的觀點呢？這裡有一個問題要考慮：如果一根吸管上有2個洞，那麼其中一個洞的洞底在哪裡？另一個洞的洞口又在哪裡？如果你不介意，可以想像有人讓你數一塊瑞士乾酪上有多少個洞，你會分別計數乾酪頂部的洞和底部的洞嗎？
或者，把吸管底端的洞堵住，這樣一來，「2 個洞」觀點的支持者所說的底端那個洞就消失了。從本質上講，現在這根吸管變成了一個又高又細的杯子。杯子上有洞嗎？是的，你會說它頂部的開口就是一個洞。好吧，如果這個杯子變得越來越短、越來越粗，最終變成一個菸灰缸呢？當然，我們不會把菸灰缸的上緣稱作「洞」。但是，如果這個洞是在從杯子到菸灰缸的變化過程中消失的，那麼它到底是何時消失的呢？
你可能會說，菸灰缸上仍然有 1 個洞，因為它有一個凹陷處或一個負空間，那裡可以容納物質，但實際上沒有任何物質。你堅持認為洞不一定要「貫穿到底」，那你不妨「思考一下，我們說地上有個洞，是什麼意思呢？」。這是一個公平合理的反對理由，但我認為，如果我們在什麼算作洞的標準問題上過於寬鬆，而把任何凹陷都當成是洞，就會讓這個概念失去有效性。當你說水桶上有個洞時，你指的並不是它的底部有個凹陷處，而是它會漏水。同樣地，即使你在比亞利麵包卷上咬一口，它也不會變成百吉圈。
至此，還剩下「1個洞」的觀點，它是三個備選項中支持人數最多的一個。現在，讓我來告訴你它有什麼問題。當我問我的朋友凱利關於吸管的問題時，她直截了當地否定了「1個洞」的觀點：「這是否意味著嘴巴和肛門是同一個洞？」（凱麗是一名瑜伽教練，所以她傾向於從解剖學的角度看問題。）毫無疑問，這是一個公平合理的問題。
但是，我們假設你有足夠的勇氣接受「嘴巴 = 肛門」這一等式。即便如此，挑戰依然存在。下面是那兩名大學生在Snapchat視頻中的一個場景（不過說實在的，你還是自己去看吧，我無法通過文字和舞台指示完美地呈現出他們怒氣越來越盛的過程），其中1號兄弟支持「1個洞」的觀點，2號兄弟則支持「2個洞」的觀點。
2號（拿起一個花瓶）：這上面有多少個洞？1個洞，對吧？
［1號默默地同意了。］
2號（拿起一個紙巾捲筒）：這上面有多少個洞？
1號：1個。
2號：理由呢？（再次拿起那個花瓶）它們看上去一樣嗎？
1號：因為如果我在這裡（在花瓶底部做了一個手勢）打 1個洞，它還是只有 1個洞！
2號（被激怒了）：你剛才說，如果我在這裡打 1個洞。
［氣得直喘粗氣］
1號：如果我在這裡再打 1個洞，它就有……
2號：對——再打 1個洞，加上這個洞，共有 2個洞！到此為止吧！
在這個場景中，支持「2個洞」觀點的那位兄弟似乎表達了一個非常合情合理的原則：在某個物體上打一個新洞，洞的數量就應該增加一個。
我們再來看一個更難的題目：一條褲子上有多少個洞？大多數人給出的答案都是3個：褲腰上有1個洞，褲腿上有2個洞。如果你把褲腰縫合起來，就會得到一根由牛仔布做成的特大號吸管，上面還有一個彎兒。如果一開始有3個洞，你縫合其中的1個，應該還剩下2個而不是1個，對吧？
如果你堅持認為一根吸管上只有1個洞，那你也許會說一條褲子上只有2個洞。在你縫合褲腰之後，褲子上就只剩下1個洞了。這是我經常聽到的答案，但這個答案與「一根吸管上有2個洞」的觀點面臨著同樣的問題：如果一條褲子上有2個洞，它們在哪裡？其中一個洞的洞底和另一個洞的洞口又在哪裡？
或者，你可能認為一條褲子上只有1個洞，因為你所說的洞是指褲子內部的負空間區域。如果我把牛仔褲的膝蓋部位撕破，製造出一個新洞，這樣做會影響洞的數量嗎？你堅持認為不會，褲子上仍然只有1個洞，人為地把牛仔褲撕破不過是給那個洞製造了一個新的開口。縫合褲腰或堵住吸管底端，並不會讓洞消失，只是封閉了洞的出口或入口。
但這又把我們帶回到不得不說菸灰缸上有1個洞的問題。更糟糕的是，假設我有一個膨脹的氣球。根據你的說法，這個氣球上有1個洞，即氣球內部加壓空氣占據的區域。如果我拿一根大頭針在氣球上戳一個洞，氣球就會爆炸，只留下一個橡膠圓盤，也許上面還有一個結，但顯然沒有洞。也就是說，某個東西上本來有1 個洞，你又在上面戳了1個洞後，它反而一個洞也沒有了。
你現在感到迷惑不解了嗎？我希望如此！數學無法確切地回答這個問題，因為它不能告訴你「洞」的詞義（這取決於你和你使用的語言）。但它會告訴你有哪些意思是你能夠表達的，這樣至少可以避免你被自己的假設絆倒。
讓我用一個富有哲理的口號開啟我們的討論吧：一根吸管上有2個洞，但它們是同一個洞。
《幾何學的力量》
作者：[美] 喬丹·艾倫伯格
譯者：胡小銳 鍾毅
出版：中信出版社/鸚鵡螺
時間：2023-03