呂洪魁
中國科學院高能物理研究所
宇宙中所有物體的運動速度是否有極限？愛因斯坦在1905 年發表的狹義相對論中給出了答案，如果我們承認現實的因果性，也就是事件的原因必定在結果之前發生，就必須接受一個基本的物理法則：宇宙中任何有質量的物體的運動速度都必須小於299,792,458 m/s，即真空中的光速(在一秒鐘時間裡，光子可以沿著地球赤道跑7 圈半)。這一不可思議的理論在當時引起了很大轟動，實驗物理學家們設計了很多實驗來驗證愛因斯坦提出的理論，結果都證明相對論是正確的。在這一百多年裡，相對論沒有受到實質性的挑戰。
當宇宙加速器加速宇宙線時，宇宙線運動得越來越快，運動速度會趨近於光速，但不會超過光速。那麼，宇宙線的運動速度到底有多快呢？通過「重走宇宙線發現之旅」系列課程「空氣電離之謎」，我們已經知道，在海平面測量到的是宇宙線與地球大氣中氮、氧等的原子核碰撞產生的次級粒子，到達地面時，以穿透力強的μ子為主。這些μ子平均能量約為4 GeV (eV 是能量單位，表示一個電子經過1V的電位差加速後所獲得的動能，1 GeV=10eV)，按照狹義相對論計算，這些粒子的速度為光速的99.96%，非常接近光速。
宇宙線就像光速炮彈一樣從外太空飛到地球上，如果它的速度真的這麼快，我們怎樣精確測定出來？這要先從物質運動的最快速度——光速測量的歷史談起。
一.光速測量實驗的歷史
1.伽利略的光速測量實驗
17 世紀之前，狹義相對論尚未建立，人們普遍認為光的速度是無限的，克卜勒和笛卡爾都對此深信不疑。義大利科學家伽利略卻提出了不同的觀點，他認為光的速度雖然很快，但仍是有限的，並且是可以測量出來的。1600 年左右，伽利略設計了一個測量光速的實驗，讓兩個實驗員A、B分別站在距離約1.5 千米的兩座山的山頂，每個人手裡拿著一盞燈。如圖1 所示，A首先遮住燈，B看到A遮住燈之後立刻遮住自己的燈。從A遮住燈到看到B 遮住燈的時間間隔Δ里，光剛好在兩人之間傳播了一個來回，傳播距離=2，通過測定距離和時間可以計算光速= /Δ。然而，這個實驗沒有成功，這是因為人的反應時間(約為0.2 s)和遮住燈的時間在秒量級，而光在兩山頂之間的傳播時間只有10 μs左右(1 μs =10 s)，以至於這個實驗不可能測出光速。伽利略也承認，他沒有通過這個實驗測出光速，也沒有判斷出光速是有限的還是無限的。
圖1 伽利略設計的光速測量實驗原理圖(為了更好的顯示效果，該圖中人形比例經過放大)
我們來定量分析一下這個實驗的測量精度。按照誤差傳遞公式，速度的誤差σv和距離的測定誤差σl 及光傳播時間的測定誤差σΔt 直接相關，遵循關係如下：
假設距離測量誤差足夠小，若使速度的誤差小於10%，時間測量誤差必須要控制在光傳播時間的10%以內。這意味著伽利略實驗的計時精度至少要達到1 μs，才能有效測定光速，伽利略設計的實驗不可能達到這個精度。
2.木星衛星測量法
木星是距離太陽第五近的行星，也是太陽系中體積最大的行星，它周圍環繞著數十顆衛星。其中木衛一最靠近木星，每42.5 小時繞木星一圈，木衛一的軌道平面非常接近木星繞太陽公轉的軌道。如圖2 所示，地球繞著太陽在公轉軌道上逆時針運動，木衛一也繞著木星逆時針運動。每當木衛一轉到木星背面，太陽光無法照射到木衛一，地球上的觀測者就看不到這顆衛星了，稱為木衛一蝕。
圖2 木星衛星蝕現象的原理示意圖
在17 世紀，天文學的發展已經使得人們可以計算出這顆衛星圍繞木星運行的周期，並計算出它在地球上可以被觀測到的時間。1671 年到1673 年，丹麥天文學家羅默對木星的這顆衛星進行了多次觀測。他發現在一年中的不同時期，木衛一蝕出現的時間總會與計算出的結果有一些差異。他的觀測數據顯示，當地球和木星距離最近的時候，木衛一蝕出現的時間比平均值早了約11 分鐘，而當地球和木星距離最遠的時候，木衛一蝕出現的時間則比平均值晚了約11分鐘。
羅默通過這個現象推斷光速是有限的。他意識到在一年之中，地球和木星之間的距離是在不斷變化的，因此木衛一蝕的光傳播到地球所需的時間也是不同的，這22 分鐘的差值就是光線走過地球和木星間最大和最小距離(等於地球公轉軌道直徑)的時間差。在1676 年羅默公開了這個推測以及相應的觀測數據，雖然他本人並沒有親自算出光速的數值，但是其他天文學家利用他的數據進行了計算，得出光速約為2.2×10⁸m/s。由於計時誤差，以及這時人們還無法準確地計算出地球公轉軌道直徑，這一測量值和現代精確測量值相去甚遠，誤差高達30%。但這仍然是一個了不起的成就，人類第一次觀察到光是有速度的，並且正確地估算出光速的數量級。
3.旋轉稜鏡測量法
1877 到1879 年，美國物理學家麥可遜改進了傅科發明的旋轉稜鏡，利用這套裝置精確測量了光速。圖3 為實驗裝置的示意圖，在相隔較遠的兩處分別放置八面鏡M和反射裝置M2、M3，當一束光從光源S 發出，經過八面鏡中的鏡面1 反射後傳播到遠處的反射裝置M2，再通過M2和M3反射回八面鏡，最終經過鏡面3 反射後進入觀察目鏡R。只有稜鏡在如圖所示的特定角度時，觀察目鏡處才會有光。由於裝置M1和M2、M3之間相距千米量級，如果八面鏡轉動一個微小角度，鏡面1 反射光就無法照射到M2，觀察目鏡上看不到光。
圖3 麥可遜測量光速裝置示意圖的原理圖(為了更好的顯示效果，該圖中實驗裝置的比例經過放大)
如果讓八面鏡旋轉起來，旋轉角速度逐漸增大，會發現在某個角速度下又可以從觀察目鏡中看到光了。這是因為光線從鏡面1 反射到達M2再返回八面鏡時，八面鏡剛好轉動1/8 周期(即45 度)，鏡面2 剛好轉到鏡面3 的位置，將光線反射到觀察目鏡。由於人眼在光線消失時存在「視覺暫留」，觀察者從觀察目鏡中會一直看到光。假設M1、M2兩套裝置相距為d，八面鏡轉動周期為T。由於遠大於裝置部分的尺度，所以光傳播的距離近似為l = 2d，光傳播的時間間隔Δt = T/8 ，可以計算光速v = l/Δt = 16d/T。
根據這個原理，麥可遜將這套旋轉稜鏡裝置分別安裝在相距很遠的位置，只有在一年中天氣最好的時候，並且在日出後一小時和日落前一小時大氣條件最佳的情況下，才能在目鏡中得到穩定的像。這個實驗歷時3 年多，共得到五百多組數據，最終測得的光速值為299853±60 km/s。1923 年，麥可遜利用新改進的旋轉稜鏡，在加利福尼亞的兩個相距約35 千米的山頭之間重做了這個實驗，把光速的精度提高到299798±4 km/s，這是當時得到的最精確值，和現代物理採用的光速值僅差十萬分之二。
二.如何測量宇宙線速度
回顧這段歷史不難發現，無論是木星衛星測量法還是旋轉稜鏡法，原理都是通過光的傳播距離和傳播時間之比得到光速。這一類實驗的測量精度都可以通過公式(1)確定，只有將距離測量的相對誤差和時間測量的相對誤差都控制在合理的範圍，測量結果才是有效的。因為光速實在太快了，實驗設計者都不約而同的把設備的距離尺度拉大，讓光傳播得遠一些，傳播時間長一些，降低時間測量的誤差。
高能宇宙線粒子的速度非常接近光速，按照光速估計，粒子穿過1 m距離的飛行時間僅為3.3 ns(ns=10⁻⁹s)。要使速度的測量誤差小於5%，時間間隔的測量誤差必須控制在0.16 ns 以下，時間測量需要相當精確。通過「重走宇宙線發現之旅」課程，我們對閃爍體探測器已經有所了解，項目組製作的閃爍體探測器時間解析度在1 ns 左右。這使我們很自然地想到利用μ子望遠鏡(圖4 所示)完成這個實驗，測量粒子在相距為的兩台探測器之間的飛行時間來確定粒子速度。
圖4 μ子望遠鏡(左)及其結構示意圖(右)
當μ子進入閃爍體探測器D1 時，會將自己的一部分能量沉積在閃爍體中，將閃爍體的原子或分子激發，這些受激原子或分子自發退激時會發出螢光，這些光被光電倍增管收集，經光電效應轉換為電子，然後進行幾百萬倍放大。這個電脈衝信號經過約3 m長的電纜線傳輸到電子學，電子學計時器將這個信號的到達時間記為t1。當μ子貫穿了上下兩台探測器D1、D2 時，電子學會相應地記錄到達時間t1、t2，這個粒子的速度就是飛行距離和飛行時間之比。我們將探測器的間距調到最遠(約2 m)，按照公式(1)估算，如果飛行距離誤差控制在2 cm 以內，飛行時間測量誤差控制在0.3 ns 以內，就可以將光速測量誤差控制在5%以內。
我們很自然地想到粒子的飛行時間就是電子學記錄的到達時間之差，即Δt = t2 -t1 ，但是這樣做會得到錯誤的結果，因為我們忽略了一個主要的計時誤差。如圖4 所示，從粒子擊中閃爍體探測器到光電倍增管收集到閃爍體發出的光，光電子在光電倍增管中逐級傳輸並放大，再經過信號線纜傳輸到電子學計時器，這一系列過程需要幾十納秒量級的時間。電子學記錄的時間是有延遲的，不等於粒子擊中探測器的時間。
將兩路探測器的時間延遲分別記為 τ1 、τ2 ，飛行時間應該是
Δt =(t2 -t1)-(τ2 -τ1) (2)
上式中第一項就是電子學計時之差，第二項τ2 -τ1是D1、D2 延遲時間之差，這一項數值往往大於0.3ns，是不能忽略的。換言之，只有精確測定了這一項才能得到正確的飛行時間，這一過程就像把兩塊走針不同步的手錶「對時」。
三.對齊時鐘
我們介紹兩種操作簡單但非常有效的方法。第一種方法是相對校準，如圖5 所示，將探測器D1放在D2 上面緊緊貼合，當μ子同時穿過D1、D2 時，粒子飛行時間表示為Δt = (t2-t1 ) - (τ2 -τ1 )。由於D1 到D2 的間距是0，粒子幾乎同時擊中兩台探測器，飛行時間Δt ≈ 0(這裡的約等於是因為忽略了探測器自身的厚度)，因此有τ2 -τ1 ≈ t2 -t1 。這個式子表示通過電子學計時差值可以計算出D1、D2 的延遲時間之差，再把這一數值代入到公式（2） 中就可以把時間算準了。
圖5 「對時」方法：相對校準(a)和交互消除法(b)
第二種方法為交互消除法，先將D1、D2 間距拉到最遠且D1 位於D2 上方。當μ子同時穿過D1、D2時( 圖5 紅色線)，粒子飛行時間表示為Δt = (t2-t1 ) - (τ2 -τ1 )。然後我們將這套裝置旋轉180 度，讓D2 位於D1 上方。當μ子同時穿過D2、D1時，粒子先擊中D2 後擊中D1(圖5 橙色線，相當於粒子飛行方向相反)，電子學時間分別記為t2'、t1'，粒子飛行時間表示為Δt = (t1' -t2') - (τ1 -τ2 ) 。將上面兩個式子相加得到Δt = [(t1' -t2' ) + (t2 -t1 )]/2，這個式子表示通過交換位置前後電子學計時差值可以直接算出飛行時間，探測器時間延遲項被消除了。
由於這些測量值都有大量統計誤差，所以不管用哪種方法，都要很多次的測量結果求平均值。
四.宇宙線飛行距離
探測器經過「對時」後時間測量就準確了，剩下的問題是粒子的飛行距離怎麼測量。如果探測器的橫向尺寸想像得無窮小，粒子的穿行距離約等於d，但這樣計算的誤差較大。如圖4 所示，μ子望遠鏡的探測器D1，D2 間隔d= 2 m，探測器的長和寬為s= 0.4 m，μ子最大傾斜角
μ子飛行距離應為l = d/cosθ。考慮μ子的方向不固定，飛行距離需要用大量μ子事例飛行距離的統計平均值代替，即
「空氣電離之謎」課程中已經講述過利用μ子望遠鏡測量不同天頂角θ的μ子流量的方法，根據這個實驗的數據就可以找到μ子隨天頂角θ的變化規律並計算出
我們再看這個結果是不是非常接近光速。
五.小結
本節課程的主要目標是引導大家利用先進的粒子探測設備，設計並完成宇宙線速度測量實驗，體驗科學實驗的探索過程。實驗方法是五花八門的，但是大家的目標和方向是一致的，那就是小心檢查和仔細消除實驗中遇到的各種各樣的誤差，尤其是對結果影響大的誤差項。大家可以自行設計各種實驗解決科學問題，希望這一課程能夠為進一步的科學探索打開通道。
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來源：現代物理知識雜誌
原標題：重走宇宙線發現之旅丨宇宙線粒子運動速度的測量
編輯：利有攸往