泰勒級數是所有數學中用於逼近函數的最強大的工具之一。它們不僅在學習數學方面有很大幫助，而且在物理學的許多領域也有很大幫助。例如，任何上過經典力學課程的人都可能已經遇到過泰勒級數在擺錘、質量彈簧系統等方面的一些應用。

但這個概念背後的直覺到底是什麼，我們如何才能真正深入地理解它所代表的含義呢？

動機

在我們了解泰勒級數實際上是什麼之前，讓我們首先了解這個數學工具試圖幫助我們解決的問題是什麼。

在許多情況下，當我們試圖解決數學和物理問題時，我們最終會得到一個包含一些複雜函數的表達式，這讓我們的生活變得困難。例如，看看下圖中描述鐘擺運動的方程式。

這不是一個容易求解的微分方程。右邊的罪對我們沒有任何好處。我們想要做的是用一個「更友好」的函數代替這個 sin 函數，這樣我們就可以求解這個方程。但是，此函數不能是任意函數。它必須表現得像我們要替換它的函數——在本例中，正弦曲線——至少在我們感興趣的區域周圍（我們稍後會解釋這意味著什麼）。

這就是泰勒級數為我們提供幫助的地方！現在讓我們深入了解它們的工作原理。

泰勒級數

你能想到的最容易處理的函數是什麼？我們想要一個函數，它的導數和積分很容易用手計算，一個函數的值我們可以很容易地用手計算，還有一個函數不會使通常的微分方程過於複雜。滿足上述標準的一個不錯的選擇是多項式！

泰勒級數允許我們用我們選擇的某些輸入附近的多項式來近似非多項式函數。

但他們如何做到這一點？

讓我們考慮函數f(x) = cos(x)。

現在，我們將嘗試思考如何找到近似於此函數的多項式，比方說，x = 0。我們稱此多項式為 P(x)。

首先，我們希望它在 x = 0 時與我們的初始函數 f(x) 具有相同的值。由於 f(0) = cos(0) = 1，我們將有：

好的，我們已經找到了多項式的第一個係數。現在，除了在我們感興趣的點上與我們的函數具有相同的值之外，我們希望我們的多項式在該點周圍也表現得像我們的函數。要理解這意味著什麼，讓我們看看下面的圖片。

在我們上面看到的函數的兩個近似值中——用綠線表示——哪個看起來更好？

顯然，第二個似乎更合適，因為它「捲曲」的方式與餘弦在 x = 0 附近的「捲曲」方式相同。如果我們想以更嚴格和正式的方式表達我們剛才所說的內容，我們可以說我們想要我們的多項式逼近與 x = 0 附近的餘弦具有相同的切線斜率。

眾所周知，函數在特定點的切線的斜率是該函數在該特定點的導數的值。我們計算如下：

對我們的多項式應用相同的限制，我們得到：

以同樣的方式繼續，我們可以看到餘弦曲線在 x = 0 附近向下。這意味著它具有負二階導數。由於我們想要模仿這種行為，因此我們遵循與上述完全相同的過程。我們在 x = 0 處計算餘弦的二階導數，並要求我們的多項式近似值在該點具有相同的值。

暫停片刻。到目前為止，我們已經找到多項式的前三個係數。假設我們忽略大於 2 的多項式中的所有項。在這種情況下，根據我們的計算，我們可以有：

正如我們可以清楚地看到的那樣，我們的多項式非常類似於我們在 x = 0 附近的初始函數。我們已經設法在我們的近似值中僅用三個項就創建了這種類似的行為！（記住 α₁ = 0）。

這種近似可能派上用場的一種方法是計算較小的餘弦值。例如，假設我們想在沒有計算器的情況下計算 cos(-0.1) 的值。起初這似乎幾乎是不可能的。或者更確切地說，如果我們沒有為我們的函數想出這個絕妙的近似值，這似乎是不可能的。讓我們在 P(x) 中代入 x = -0.1 的值。

這真的很接近我們使用泰勒級數近似得到的結果！

請記住，為了簡單起見，我們忽略了大於 2 的多項式中的任何項。如果我們繼續以我們之前解釋的相同方式計算越來越多的係數，我們將得到更好的餘弦近似值。看一下餘弦的以下多項式逼近，其中我們在 P(x) 中添加了 4 個附加項。

概括

現在讓我們嘗試概括我們的結果。假設我們有一個函數 f(x) 並且我們想在 x = 0 處使用泰勒多項式對其進行近似。就像我們之前所做的那樣，我們將評估它在 x = 0 (f(0) ) 處的值以及值在這一點上它的衍生物。我們要評估的導數的數量決定了它的近似值有多好。然後，對於我們的多項式逼近，xⁿ 項的係數是函數在 x = 0 處的第 n 次導數除以 n! 的值。

請注意，n！(n factorial) 來自我們多項式的順序推導。例如，當我們要求函數 f(x) 在零處求值的三階導數應該是一個特定值時，比方說 λ，那麼當我們對 P(x) 進行三次微分並且插入 x = 0 時，我們得到：

請注意，在這種情況下，我們根據 (x-α) 的冪來編寫多項式，因為我們希望 f(x = α) 的所有冪項都為零。

這是泰勒級數的最一般形式，泰勒級數是一種數學工具，可以僅使用多項式來準確地逼近函數。

最後的評論

就像傅立葉級數和變換將函數分解為正弦曲線的加權和一樣，泰勒級數將函數分解為單項式的加權和，即自變量的遞增冪。這種分解簡化了數學和物理學中的許多問題。我們將在以後的文章中介紹泰勒級數在物理學中的應用。

數學作為人類思想的一種表達，反映了積極的意志、沉思的理性和對審美完美的渴望。

- 理察庫蘭特。