微積分基本定理

我們在高中時都學過的微積分基本定理 ( FToC)如下：

定理背後的直覺非常簡單。從點a到點b的函數導數的積分是沿途所有微小「df」變化（我們可以非正式地說「dx」相互抵消）的總和。這實際上類似於Telescopic Sum，現在用連續世界（積分）而不是我們大多數人第一次遇到它的離散世界（系列）表示：

在上面的求和中，「內部」項在每一輪求和之後不斷相互抵消，最後只剩下「邊界」項，即第一個和最後一個。

我們現在要討論的是如何利用上述定理的直覺來更深刻地把握高斯定理和斯托克斯定理背後的思想。

高斯定理

高斯定理，或眾所周知的散度定理，指出矢量場穿過封閉二維表面的向外通量等於該表面所包圍的整個體積上該場的總散度之和。我們以數學形式寫：

不可否認，第一次看到它似乎有點令人生畏，但正如我們現在將要解釋的那樣，它背後的直覺實際上很簡單，類似於我們之前看到的 FToC。

正如我們所知，矢量場在特定點的發散度是衡量矢量場在該點傾向於「展開」或發散的程度的量度。

因此，上述定理左側的三重積分將向量場的所有這些趨勢相加，以分散在表面「S」所包圍的整個體積「V」上。

右側上方曲面積分中的點積僅「拾取」法線，相對於封閉曲面，向量場的分量。在此基礎上，右側的表面積分計算了表面 S 上矢量場的總向外通量。

上述兩個量（邊界處的向外通量和體積中所有點的散度之和）相等的原因源於我們用來直觀理解 FToC 的相同論點。

以類似於廣義伸縮和的方式，當所有上述分歧加起來時，由於相反的分歧，體積中間會有很多抵消，矢量場中唯一「倖存」的部分是不能抵消的部分，即沿表面邊界的正常部分，這是向外通量的另一個名稱。

在處理這些定理時應牢記的一般思想如下：

導數（可以是標準導數、散度或旋度）在一個區域上的積分等於函數在該區域邊界處的值。

我們將用這個思路來直觀地理解本文的最後一個定理，斯托克斯定理。

斯托克斯定理

斯托克斯定理指出，三維表面上矢量場的總旋度等於該場沿該表面邊界的循環。我們寫：

同樣，讓我們​用一些更簡單的詞來描述我們剛才所說的。就像高斯定理關注矢量場的散度一樣，斯托克斯定理關注矢量場的旋度。

矢量場的旋度是矢量場圍繞所討論點的旋度的量度。

因此，左側的曲面積分將向量場沿特定三維曲面 S 捲曲的所有這些趨勢相加。

右邊的線積分有一個名字。它被稱為矢量場的循環，它是矢量場傾向於圍繞定向曲線 C （在本例中為曲面 S 的邊界）循環多少的量度。

至此，矢量場相對於曲面的環流和總旋度相等的原因應該很明顯了。表面內部捲曲的「相反」趨勢相互抵消，最後剩下的是場的循環，即場在表面邊界處的捲曲。

保持好奇。