什麼是正方形？它是一種有四條等長的直邊和四個90度角的形狀。
90度和四條直邊似乎是一起的。不可能畫一個全是90度角的三角形。同樣，也不可能畫出一個五邊形、六邊形或有更多直角的形狀，而這些形狀都有90度角。
真的是這樣嗎？
我們在學校里通常做幾何的二維平面被稱為歐幾里得平面。的確，在這個平面上，任何封閉的、邊長相同的、內角都是直角的圖形都必須有四條邊，它必須是一個正方形。然而，有不同類型的表面可以用曲率的概念來描述。如果你改變了平面的曲率會怎樣？形狀的邊數會不會改變？
曲率有多大？
你可以用高斯曲率的概念（以數學家卡爾-弗里德里希-高斯的名字命名）來衡量一個曲面在某一點上的彎曲程度。我們區分三種類型的曲面：每一點的高斯曲率為零，每一點的高斯曲率為正，以及每一點的高斯曲率為負。
歐幾里得平面在每一點上的恆定曲率為零，正如你可能期望的那樣：平面不是彎曲的，所以它應該有零曲率。球體在每一點上都有正的高斯曲率。直觀地說，這是因為它在所有方向上都 "向外彎曲"。如果你在球體上的任何一點坐下來，你會看到球體在所有方向上向下彎曲，遠離你的底部。
如果你坐在一個點上，例如圖中的紅色點，然後向下看，你會看到球體在所有方向上向下彎曲。從技術上講，圖中的兩條黑線給出了球體在該點的主曲率，在這種情況下都是正的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下也是正的。
如果你把自己坐在一個馬鞍的形狀上，就像你在一匹馬上一樣，會發生非常不同的事情。如果你看下你的腿，你會看到表面向下彎曲，遠離你的屁股。但如果你從你的正前方或正後方往下看，你會看到表面向你的頭部上方彎曲。這種 "相反的彎曲"，從直覺上來說，就是負曲率的特徵。
如果你在紅點處坐下來，順著你的腿看，你會看到表面向下彎曲。如果你從正前方或正後方看下去，你會看到表面向上彎曲。從技術上講，圖中的兩條黑線給出了該點上馬鞍的*主要曲率。在這種情況下，一個主曲率是正的，另一個是負的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下是負的。
一般來說，高斯曲率在一個表面的不同點可以有不同的值。事實上，上面的馬鞍就是這種情況。球體的特殊之處在於，高斯曲率的值在所有的點上都是一樣的：它有恆定的正曲率。另一個具有恆定高斯曲率的曲面的例子是偽球面，如下圖所示。在這種情況下，曲率是負的。
實際上，偽球面在垂直方向上是無限延伸的。
（註：偽球面是雙曲幾何的一個局部模型。）
球體上的形狀
那麼，在這些表面上，具有直邊和90度角的形狀可以有多少個面呢？
讓我們從一個球體開始，想像它有一個赤道和一個北極，就像地球一樣。從赤道上的一個點開始，沿著一條經線一直到北極（這樣的線總是與赤道形成90度角）。現在找到另一條經線，與你剛剛走過的那條經線成90度角，然後沿著這條新的經線走，直到你再次遇到赤道。現在沿著赤道走，直到你到達你的起點。
你所走過的線都是球體上大圓的一部分，也就是說，直徑與球體本身相同的圓。每條線都對應著一個大圓的四分之一，所以它們都有相同的長度。球體上的大圓是平面上直線的類似物。這是因為，就像平面上兩點之間的最短距離是沿著直線，所以球體上兩點之間的最短距離是沿著大圓。
我們在這裡創造的是一個直角形狀，它的邊都有相同的長度，並以90度角相交，而且它有三條邊，而不是四條！這也說明了，我們在這裡創造的是一個直角形狀。這也說明，在一個具有正曲率的形狀上繪製的三角形的角度加起來超過180度（在平面上是這樣的）。在我們的例子中，它們加起來是90+90+90=270度。
在球體上，我們甚至可以畫一個兩面的形狀，其邊長相同，並以90度角相交。一邊是半個大圓，另一邊是與原大圓成直角的大圓的一半。這樣的形狀被稱為二角形。
偽球體上的形狀
所以，我們剛剛看到，在球體（具有正曲率）上，我們可以畫出一個具有90度角、所有邊都相同長度的形狀，其邊數少於四邊。而事實證明，在偽球面（具有負曲率）上，我們可以畫出這樣一個有四條以上邊的形狀。下面是一個有五條邊的例子。
這個畫在偽球上的五邊形有等長的直邊和90度的角。(我們在這裡只展示了偽球面的頂部部分，因為它足以說明問題。) 圖片取自Numberphile視頻五邊形（https://youtu.be/n7GYYerlQWs），本文就是基於此視頻而寫的。
這裡的角度看起來比90度小，但這是由負曲率造成的錯覺。以類似的方式，球體的正曲率使我們上面看到的三角形中的90度角看起來比90度大。
雖然五邊形的邊在我們看來是彎曲的，但從它們是測地線段的意義上來說，它們是直的：假球體上的最短距離線。而且，事實證明，它們都是相同的長度。
因此，如果你認為90度角和相同長度的直邊定義了一個正方形，那麼再想想。這完全取決於曲率!
你能畫出有六條、七條、八條、甚至更多條邊的這種形狀嗎？我們把這個問題留給你自己去發現。
原作者：Hannah Darken
翻譯：MathVoice
審校：MathVoice