數學家說：物理學是如此重要，不能全留給物理學家。物理學家說：信息和計算是如此重要，不能全留給計算機科學家……
（圖源：文章頭圖及封面圖片版權所屬：NASA/Sonoma State University/Aurore Simonnet.）
撰文 | 施郁
編輯 | 邸利會
量子信息學是量子力學與信息科學、計算機科學的交叉學科。
美國生物學家Edward Wilson有一段話，很好地說明了交叉學科的重要意義。他說：「科學是我們時代最大膽的形上學，是人類的創造，相信如果我們有夢想，堅持去發現，解釋，再夢想，從而不斷進入新的領地，讓世界顯得更清晰，我們就能掌握宇宙的真正的奇異之處，而這些奇異之處將會被證明是互相聯繫，有意義的。」(引文由作者譯自英文，下同。)
不同學科的科學家給交叉學科帶來各自的特長。
大數學家希爾伯特有句幽默的名言：「物理學如此重要，不能留給物理學家（Physics is too important to be left to physicist）。」希爾伯特對廣義相對論的數學形式做出過貢獻，當時讓愛因斯坦感到很大壓力。
我們也可以說，生物學是如此重要，不能全留給生物學家。事實上，正是物理學家協助開啟了分子生物學。
我們還可以說，信息和計算是如此重要，不能全留給計算機科學家。
本文回顧物理學家是如何開啟了量子信息學。在此道路上，物理學家也對經典的信息科學做出了貢獻。
當然，物理學對信息技術提供了硬體基礎。電子計算機的器件（電晶體、存儲器等）中的電子服從量子力學。但是，量子信息並不是指信息技術的量子物理基礎。量子計算也不是指關於量子力學的計算問題，不是計算物理。這些固然是重要的領域，但不是所謂的量子計算與量子信息。
信息是什麼？
信息的英文是information。顧名思義，Information is that which informs（信息是被告知的東西）。
信息是訊息（message）的內容，是對我們在獲得該訊息之前對它的無知程度的度量，是對不確定性的降低。當我們對於某件事的不確定性越大，就需要越多的信息來消除這個不確定性。
信息的一個性質是，它可以編碼成各種形式。比如，同樣的思想可以用不同語言來表達。資訊理論中，信息用一個字符串來表達。
信息不僅是個抽象的數學概念。信息離不開物理載體，又可在不同物理載體之間轉換。信息處理過程是物理過程，受物理規律主宰。
比如，由聲音傳遞的信息取決於空氣和耳膜的振動，由文字表達的信息取決於粉筆灰或墨水的分布；磁存儲的信息取決於磁疇的狀態；生命信息取決於遺傳物質中四種鹼基的分布；神經網絡中的信號取決於神經元的狀態。
1991年，德裔美國人Rolf Landauer提出一個口號：「信息是物理的（Information is physical）」，倡導從物理的角度研究計算和信息。
1990年，美國人John Wheeler提出一個口號：「物質來自比特（It from bit）」。Wheeler和Landauer的思想影響了最早研究量子信息的一批人，可以稱他們為量子信息學的祖父。
順便提一下，1972年，Phil Anderson曾提出一個口號：「多者異也（more is different）」，是說多體系統會展現出少體系統沒有的新性質。
綜合這些思想，從信息和量子信息的角度考慮物理定律的層展（emergence），也是一個有意思的方向。
麥克斯韋妖
最早進入物理學的信息問題，可能是麥克斯韋妖佯謬。
1867年，麥克斯韋在一封信里提出了這個佯謬。在1871年出版的《熱的理論（Theory of Heat）》一書中，他做了詳細論述。
考慮封閉容器內處於恆溫的氣體，他寫道：「假設這樣的一個容器分成兩半，A和B，隔板上有一個小洞，有一個有意識的存在（being）能夠看到單獨的分子，能夠關閉或打開這個洞，從而讓較快的分子從A運動到B，讓較慢的分子從B運動到A。因此他不需要做功，就能提高B的溫度，降低A的溫度。這與熱力學第二定律矛盾。」
1879，開爾文勳爵（William Thomson）將麥克斯韋假想的being稱為麥克斯韋妖。
麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831年6月13日－1879年11月5日）
利奧·西拉德的歷史性貢獻
希特勒在德國上台後，有幾位匈牙利猶太人從德國移居美國，包括數學大師馮諾伊曼、物理諾獎得主維格納和伽博、氫彈之父特勒（這些頭銜是後來成就的），利奧·西拉德（Leo Szilard，1898年2月11日－1964年5月30日）是另一位，雖然不及前幾位有名（維格納為此感到痛苦），但是他對於人類社會歷史進程的影響不一定在他們之下。
原子核裂變發現後，西拉德就想到鏈式反應和原子彈的可能性。為了敦促美國製造原子彈，他找到柏林時期的老朋友愛因斯坦，為他起草了致羅斯福總統的信。原子彈造出來後，西拉德又致力於制止使用原子彈。戰後他從事生物學研究，是Salk研究所創建人之一。
一戰時，20歲的西拉德在奧匈軍隊當兵，但是在上前線之前，染上了西班牙流感，被送到醫院，而他所在的部隊後來幾乎被全殲。或許是西班牙流感救了他的命。
1929年，作為博士論文，西拉德研究了麥克斯韋妖問題。他用比特（容器的左右，他沒有用比特這個名詞）表示分子的位置狀態，涉及到了信息（也沒用這個詞）。他提出麥克斯韋妖測量分子狀態時，消耗能量，熵增加了ln2，抵消了氣體分子的熵減少。這裡代表玻爾茲曼常數，ln是以2為底的對數。
西拉德還提出一種利用信息的熱機，也就是說，可以從信息提取功。我們用美國物理學家、信息理論學家Charles Bennett在1987年提出的版本來討論——
考慮一個恆定溫度的熱庫接觸的小車，以及一串小隔間組成的傳送帶，每個小隔間裡面有一個分子。假設事先知道每個分子的位置狀態（信息），也就是在小隔間的左半部或者右半部。相應地，就可以設計機械，利用活塞向右半部或者左半部移動，分子所在的空間增加到整個小隔間。從而分子總是對外做功，驅動小車運動。也就是說，信息轉化為了功。
如果事先不知道分子的位置，平均做功為零。
資訊理論
1948年，克勞德·艾爾伍德·香農（Claude Elwood Shannon，1916年4月30日－2001年2月26日）藉助熵的概念，提出了資訊理論。
考慮一個字母表，由a1,a2, ⋯, an組成，每個字母出現的機率分別是p1,p2, ⋯, pn，p1+p2+⋯+ pn=1。
香農定義了信息熵: =-p1log_n(p1) -p2log_n(p2) ⋯-pnlog_n(pn)。這裡log_n代表以n為底的對數。香農證明了這個字母組成的訊息可以壓縮到n比特。也就是說，信息熵代表平均每個字母的信息量，定量刻畫了信息存儲與傳輸所需的資源。
我們可以看出，如果1=1, 其他的pi=0，也就是說只有a1這一個字母出現，那麼=0, 也就是說沒有信息量；如果每個都等於1/n, 那麼=1，這是最大值。
Landauer原理
從1930年代開始，計算機的基礎理論和技術有很多發展，本文後面將簡述。
1961年，Rolf Landauer在IBM工作時提出了Landauer原理：每刪除一個比特的信息，環境的熵至少增加ln2，也就是說，至少需要耗散能量ln2。我們知道熵乘以溫度T就是熱量，也就是耗散到環境的能量。
1973年，Bennett提出可逆計算的概念，指出原則上不需要能耗。雖然很多邏輯運算是不可逆的，比如2+3和1+4都等於5，因此從輸出結果5，不能唯一確定輸入。但是不可逆運算可以嵌套在可逆運算中，也就是將輸入信息也當作輸出結果的一部分。1982年，他提出可逆圖靈機模型。圖靈機是最簡單的計算模型。
在這些工作的基礎上，1987年，Bennett給出了麥克斯韋妖佯謬的解決方案——對分子狀態的測量本身可以不消耗能量，測量結果存儲在妖的記憶中，氣體的熵減少由妖的記憶的熵增加補償。但是妖的記憶有限，為了存儲新的測量結果，需要刪除舊的記憶，因此必須將熵轉移到環境，也就是說，必須耗散能量到環境中去。
因此耗散的能量不是來自測量信息，而是來自刪除信息。當然，如果將氣體、妖、環境一起考慮，總熵總是不減少的。
信息與能量
作為對前述若干概念的消化，我們看一下信息與能量的關係。
如果事先知道某訊息（message,一串比特,如各分子的位置）的內容，刪除這個訊息不需要消耗能量。
例如，考慮一個盒子中有一個分子，如果知道它在盒子的哪半邊，可設法用一個小盒子包住它，它對小盒子的每個壁都有碰撞，平均做功為零，因此我們在不做功的情況下將它轉移到事先選好的盒子的一半（事先選定左邊或者右邊），也就是刪除訊息。因此，知道信息後，可以不費能量將其刪除。而且，前面說過，還可以利用它，讓分子對外做功。
但是，如果不知道分子位置時，我們只能統一地將將盒子體積壓到一半（事先選定左邊或者右邊）。這需要付出能量。
計算機極簡史
19世紀的查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage，1791年12月26日－1871年10月18日）設計了兩個機械計算機，雖然都沒能實際完成。
19世紀20年代，Babbage設計了計算多項式函數的差分機。
1837年，他又設計了可編程的機械計算機Analytic Engine，包含了計算機的主要元素。1941年，有人實現了他的設計。
Babbage製作的AnalyticEngine的模型。（圖源：Wiki）
詩人拜倫的女兒Ada Lovelace為Analytic Engine寫了程序，成為歷史上第一位程式設計師。
Babbage和Lovelock的照片曾經放在一起，作為英國50英鎊新鈔票上的候選人物。但最終，另一位候選人圖靈（Alan Turing）勝出。
1937年，圖靈提出了圖靈機、普適圖靈機和圖靈假說，嚴格定義了計算和程序的概念。圖靈假說是說，存在普適圖靈機，可以模擬任何圖靈機。這就是說，存在普適計算機，用程序就可以實現任何計算。
1939年，物理學家John Vincent Atanasoff與他的學生Clifford Berry建造了第一台電子計算機。這是一台特定目的的計算機，不能編程。它用2進位和布爾代數，能計算29個聯立方程。硬體上，它由電子真空管實現計算，用電容器作內存，沒有中央處理器（CPU）。
物理學家 John Mauchly 和 J. P. Eckert設計了世界上第一台電子通用計算機，即ENIAC （電子數值積分計算機，Electronic Numerical Integrator And Computer），1946年建成。ENIAC的第一個用途是馮諾依曼和烏拉姆的氫彈計算。
Machley多次訪問過Atanasoff，但是1944年之前，沒有告知後者，自己也在造計算機。這使得Machley後來沒有獲得專利。
電子計算機飛速發展。1950年代，每秒做1000次浮點運算。而現在的速度是148.6PFLOPS（P = 10^12）。1965年，Gordon Moore總結出所謂的「Moore定律」：單個集成電路晶片上的電晶體數目大約每兩年翻一番。從下圖可以看出，Moore定律延續多年。
電晶體越來越小，越來越快。如此下去，單個比特只需要原子尺寸。但是在原子尺寸，量子效應將起支配作用，適用於經典計算機的Moore定律也就不能延續。
所以，一個思路就是，變不利為有利，乾脆用量子力學作為新的計算（邏輯）原理。利用量子力學的原理，特別是量子態疊加原理，完成計算任務，處理和傳遞信息，這就是所謂的量子計算與量子信息。
量子力學基本問題的研究
量子計算與量子信息又與量子力學基本問題密切相聯。
量子糾纏是超越任何經典關聯的量子特性，研究始於愛因斯坦等人，經過戴維·玻姆（David Bohm，1917年12月20日－1992年10月27日）等人，後來由約翰·貝爾（John Bell，1928年6月28日－1990年10月1日）取得突破。
單量子系統在這些研究中體現出重要性。以前，正如薛丁格所說，「我們從來不用單個電子或原子或小分子做實驗。在思想實驗中，我們有時候假設能夠做，這不可避免導致奇怪的後果……」事實上，當年的思想實驗今天已經成為真實的實驗，對於奇怪後果的探究導致量子物理基礎和量子信息的進展。
量子計算與量子信息的興起
1982年，費曼提出，用經典計算機模擬量子過程需要指數級資源，而量子計算機則可以有效地模擬量子過程。
1985年，英國物理學家David Deutsch提出量子圖靈機和普適量子圖靈機的概念。1989年，他又提出由量子門組成的量子計算的線路模型。
作為一個有實用意義的突破，1994年，美國人Peter Shor提出有效解決素數因子分解（尋找奇數的素數因子）的量子算法。在經典計算中，這個問題是一個NP問題，也就是說，需要的時間不是數字的二進位位數n的多項式函數。事實上，需要的時間是exp(O(n^3(log(n))^(2/3) ))。而Shor的量子算法需要的時間只是O(n^2 log(n) loglog(n))。f=O(g)的意思是，|f/g|介於兩個有限正數之間。
量子計算的算法基於糾纏態的運用。量子糾纏也導致量子通信，比如量子隱形傳態。而量子密碼的某些方案基於海森堡不確定關係，某些方案基於量子糾纏。
2017年，義大利的國際理論物理中心將狄拉克獎授予Bennett，Deutsch 和Shor，以表彰他們用量子力學的基本概念解決計算和信息的基本問題，從而將量子力學、計算機科學和信息聯繫在一起。
小結
信息是物理的。因此經典計算和經典信息基於經典物理，而量子物理導致量子計算和量子信息。突破「Moore定律」的需要，經典信息和經典計算的量子推廣，量子力學基本問題的探究，形成合力，催生了量子信息和量子計算。
（延伸閱讀：施郁，揭開量子的神秘面紗。）
註：
本文作者施郁是復旦大學物理學系教授，中國科學技術大學兼職教授。文章是作者的課程《量子信息和量子計算》的緒論講稿。從2月27日起，每周四9:55開始，他將在嗶哩嗶哩直播該課程。直播間連結：https://live.bilibili.com/21868825
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（除頭圖外，文中圖片均由作者提供）
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