為什麼自然指數函數是周期性的，虛周期為2πi？一個數的對數怎麼會有無窮多個（複數）？

如果我告訴你它與無限圓上的點有關，你可能會認為我是個瘋子！所以我現在不會那樣做 - 但我認為你會感到驚訝。

在本文中，我將向您展示上述內容的直觀幾何解釋。在此之後，我們將使用限制對其進行備份。

事實證明，根和對數之間存在美麗的幾何聯繫，真正解釋了為什麼指數函數是周期性的（不需要歐拉公式）。

理解這種聯繫的第一步是理解一個數的n次方根。

n 次根的對稱性

通常，當我們談論正實數r的平方根時，通常是指滿足方程x² = r的正數√r。但當然，這個方程有兩個解，另一個是-√r。所以一個正實數確實有兩個實平方根。

當我們轉向立方根的情況時，我們已經習慣了這樣一個事實，即任何實數總是恰好有一個實立方根。人們可能會認為實數只有一個立方根，但事實證明這是一種欺騙。真相隱藏在更高的維度——即複平面。

回想一下，複數被視為平面中的點，實軸嵌入為一維子空間。在這個二維空間中，點(r, 0)被標識為實數r，更一般地，點(a, b)被標識為數字a + bi，其中i是虛數單位（滿足i ² = -1)。

因此，複平面中的每個點都是一個複數，我們將其模數定義為到原點的距離，並將其參數定義為與實軸的角度（以弧度為單位）。

例如，由於虛數單位i由點(0, 1)標識，因此其模數為1，其自變量為π/2 + 2πk，其中k為任意整數。

理解這種多值性非常重要，因為它可以為不同的值創建截然不同的結果。

一個明確的例子是自然對數，我們將在本文中用ln表示。當我們要求正實數a 的對數時，我們通常指的是具有e^b = a屬性的（唯一）實數b。

但是就像根的情況一樣，有很多數字滿足這個性質，它們只是不在實數線上，而是再次隱藏在複數的更高維度中。

事實上，有無窮多個滿足此屬性的複數，包括ln(a)，即每個整數k的ln(a) + 2πik。

因此，當ln(10)被視為多值函數時，它看起來真的像下面這樣

其中數字都位於複平面中的一條直線上，相鄰距離為2π均勻分布。實線上的數字是通常的實對數ln(10)。

因此自然對數實際上可以理解為多值函數。

根也是如此。

事實證明，任何非零複數z 恰好有三個立方根。為了稍微簡化計算，我們將限制自己使用正實數的根和對數，但相同的論點適用於所有複數「mutatis mutandis」。

實數r > 0的立方根是複平面中構成等邊三角形頂點的三個點，等邊三角形內切於以原點為中心的圓，半徑等於r的實立方根，其頂點之一等於r的實立方根。

例如，10的立方根是複平面中的以下點

更一般地，實數 r > 0 的n次根形成一個正n 邊形，其頂點均勻分布在以原點為中心的圓上，半徑等於r的實數n次根，並且其頂點之一恰好是r 的正實數n次方根。

例如 72 的 12 個根是點

信不信由你，但如果你將這些複數中的任何一個計算為 12 的冪，你就會得到 72。

從某種意義上說，這就是我們有兩個形式為 -√r 和 √r 的實數平方根的原因；它們需要均勻分布在一個半徑為√r 的圓上，其中一個為√r。這迫使另一個為-√r。

好的，但這與對數有什麼關係？

很高興你問。

指數和對數

我們在本文中的目標是解釋對數的多值性質或等效的指數函數的周期性。為此，我們將從定義一個有趣的函數序列開始。

特別地，對於任何自然數n，我們定義函數

例如，我們也可以使用泰勒級數定義e^x ，然後證明它等價於上述定義。這只是品味和偏好的問題。

請注意，我們沒有在L_n的定義中指定第n個根的含義。實際上，很容易看出n 個根中的任何一個都將定義E_n的反函數。

為了在這裡看到全局，我們將考慮所有這些！

對於給定的 x 值，當我們增加n 時，E_n(x)會越來越接近數字e^x ，但是L_n(x)表達式中的n 個根會發生什麼變化？

如果我們假設x > 0，那麼至少有一個根將趨向於實數ln(x)。讓我們為x = 10和n的不同值繪製一些圖，因為我們增加它。

展開括號後再看L_n(x)的定義

很明顯，這個函數的 n 個值仍然會形成一個圓圈。畢竟，按 n 縮放和平移不會改變圓的形狀，只會改變它的大小和位置。

在下圖中，我們看到將 L_12(10) 定義為多值函數時的值。

讓n增加到 30 會產生以下結果。注意軸上圓的大小是如何增長的。

在下圖中，我們讓n = 1000並放大右弧。

請注意，這些點幾乎排在一條垂直線上，但分布仍然均勻。當我們增加n 時，它們之間的距離似乎也接近2π 。當我們讓n趨於無窮大時，唯一不會趨於無窮大的點是那些最終落在極限垂直線上的點。

這解釋了為什麼數字x的對數具有無限多個等效值z_m （在它們都具有e^(z_m) = x 的性質的意義上是等效的） ，並且到它們的兩個鄰居都具有相同的距離。因為它們均勻分布在複平面的無限大圓上！

這也解釋了為什麼指數函數有一個純虛周期。

但是為什麼這些數的虛部是2kπ的形式呢？

對數作為無限圓上的點

讓我們使用幾何風格的論證來證明x的所有等效對數值都具有ln(x) + 2kπi的形式。

第一步是為函數L_n(x)給出的所有 n 個點編寫一個表達式。

它們由形式的複數給出

請注意，當n → ∞時， x的第n個實根接近1，因此我們將其忽略。這清楚地顯示了指數周期的來源！它是圍繞一個圓的根的膨脹和平移的極限，在該圓的極限內變成複平面中的一條線。

最後的評論

多值函數的標準方法是使用分支切割和主值甚至黎曼曲面！然而，在某些情況下，我實際上喜歡多值性，因為我們可以一次性處理所有情況。

不過我們需要小心。就像我們需要就符號√r和ln(a)的含義達成一致一樣，我們也需要了解我們正在嘗試做什麼。

例如，如果您要解決的問題是純實數，那麼ln(a)可能應該是實數，但是，如果您正在處理複數，並且它來自求解涉及復指數函數的方程式，那麼它不是很清楚。

眾所周知，e^( πi) = -1。這是否意味著ln(-1) = πi？

好吧，這取決於您對函數ln的定義。我們可以定義無限多個對數。例如，主對數log是虛部位於區間 (- π, π]的對數，實際上會給出 Log (-1) = πi，但我們可以定義另一個對數來計算log(-1 ) = -πi.在任何一種情況下，我們都會得到e^Log(-1) = e^log(-1) = -1。

對於某個整數k，任何對數都應具有值 log(-1) = ( π + 2kπ)i並且多值定義輸出所有對數的集合。然後問題是將其變成一個連續函數，但我們要到此為止，以便您可以考慮一些事情。

這個反演問題也存在於許多其他著名的函數中，例如「反」三角函數。